Bài tập 23, § 4

Ta giữ các giả thiết và ký hiệu của bài tập trước, và giả sử rằng H là một nhóm Lie thực nửa đơn liên thông.

Cho G là một nhóm con compact của H. Giả sử tồn tại một nhóm con giải được liên thông đóng N của H sao cho H = GN. (Đối với mọi nhóm Lie thực nửa đơn, điều kiện này được thỏa mãn khi G là một nhóm con compact cực đại của H; xem chẳng hạn INT, VII, p. 91, § 3, No.$^o3$, Mệnh đề 7 khi G = SL($n,\mathbf{R}$)$.$)

Cho $\pi \in \widehat{G}$ và $e_{\pi}=$ dim($\pi$ )$\overline{\chi}_{\pi}$. Cho $\varrho$ là biểu diễn bất khả quy của H cho bởi câu hỏi cuối của bài tập trước; ký hiệu E là không gian của $\varrho$.

a) Tồn tại một vectơ cyclic cho hạn chế của $\varrho$ vào G. (Dùng định lý của Lie, LIE, III, p. 241, hệ quả, để tìm một $x\in E$ khác không sao cho $\mathbf{C}x$ là bất biến dưới tác động của N.) Bội số của $\pi$ trong hạn chế của $\varrho$ vào G không vượt quá dim($\pi$ ).

b) Cho $r$ là số nguyên $r$(dim($\pi$ )$^2$) được xác định trong bài tập 22; đồng nhất thức

đúng với mọi họ $a_i=e_{\pi}*g_i*e_{\pi}$ các phần tử của đại số $\mathscr{M}_c(H)$ của các độ đo có giá compact trên H, trong đó $g_i\in \mathscr{K}(H)$ với $1\leqslant i\leqslant r$.

c) Cho $\varpi$ là một biểu diễn unita bất khả quy của H trong một không gian Hilbert F. Cho $F_{\pi}$ là thành phần đẳng kiểu $\pi$ của hạn chế của $\varpi$ vào G và cho $p$ là phép chiếu trực giao của F có ảnh là $F_{\pi}$. Với mọi họ $(u_i)_{1\leqslant i\leqslant r}$ trong $\mathscr{L}(F_{\pi})$, ta có

(dùng bài tập 1 của V, p. 486).

d) Bội số của $\pi$ trong hạn chế của $\varpi$ vào G không vượt quá dim($\pi$ ). (Dùng kết quả của bài tập 22 của V, p. 510.)