Bài tập 26, § 4

Ta lấy lại ký hiệu của bài tập trước. Ta ký hiệu $\varphi_K$ là hàm đặc trưng của K. a) Cho $\pi$ là một biểu diễn unita của G trong một không gian Hilbert phức E. Biểu diễn của $\mathscr{M}_c(G)$ trong E xác định, bằng cách chuyển qua các không gian con, một biểu diễn của đại số $\mathscr{H}(G,K)$ trong không gian $E^K$ các vectơ K-bất biến của E.

b) Nếu E chứa một vectơ cyclic $x$ sao cho $x\in E^K$, thì $\pi$ là bất khả quy. c) Giả sử rằng $\pi$ là bất khả quy. Nếu không gian $E^K$ không rút gọn về 0, biểu diễn của $\mathscr{H}(G,K)$ trong $E^K$ là bất khả quy.

d) Cho $\varphi$ là một hàm kiểu dương trên G và cho $(\varrho , x)$ là một hiện thực Hilbert cyclic của $\varphi$. Ta có $\varphi \in \mathscr{H}(G,K)$ khi và chỉ khi $x\in E^K$.