Bài tập 28, § 4

Cho G là một nhóm địa phương compact và K là một nhóm con compact của G.

a) Cặp $(G,K)$ là một cặp Gelfand khi và chỉ khi, với mọi biểu diễn unita $\pi$ của G trong một không gian Hilbert phức E, chiều của $E^K$ nhiều nhất là 1. (Để chứng minh rằng điều kiện là cần, hãy chứng minh rằng một biểu diễn bất khả quy của một đại số Banach đối hợp giao hoán trong một không gian Hilbert có chiều 1; để chứng minh rằng điều kiện là đủ, hãy sử dụng hệ quả của Định lý 4 của V, p. 454 để kiểm tra rằng các ký tự của đại số $\mathscr{H}(G,K)$ phân biệt các điểm.)

b) Giả sử rằng $(G,K)$ là một cặp Gelfand. Cho $\varphi \in \mathscr{H}(G,K)$. Giả sử rằng $\varphi$ là một hàm kiểu dương và rằng $\varphi (e) = 1$. Hãy chứng minh rằng $\varphi$ là một hàm K-cầu khi và chỉ khi $\varphi$ có một biểu diễn Hilbertian $(\varrho , x)$ sao cho $\varrho$ là bất khả quy.

c) Giả sử rằng $(G,K)$ là một cặp Gelfand. Tập hợp các hàm K-cầu kiểu dương trên G là song ánh với tập hợp các biểu diễn bất khả quy $\pi \in \widehat{G}$ sao cho $E^K_{\pi}$ là không.