Bài tập 29, § 4

Cho G là một nhóm compact và K là một nhóm con đóng của G. Giả sử rằng $(G,K)$ là một cặp Gelfand. Ký hiệu bởi $\nu$ (resp. $\mu$) độ đo Haar chuẩn hoá trên G (resp. trên K).

Cho $\varphi$ là một hàm cầu K trên G.

a) Ký hiệu bởi $E_{\varphi}$ không gian con của $\mathscr{C}(G)$ gồm các hàm có dạng $\alpha *\varphi$, trong đó $\alpha$ là một độ đo trên G có giá hữu hạn. Với mọi $\psi \in \mathscr{H}(G,K)$, tự đồng cấu $v_{\psi}:f\mapsto f*\psi$ của $\mathscr{C}(G))$ là compact và $E_{\varphi}$ được chứa trong một không gian riêng của $v_{\psi}$.

b) Không gian $E_{\varphi}$ là hữu hạn chiều. Nó có thể được đồng nhất với một không gian con của các vectơ G-hữu hạn của biểu diễn chính quy $\boldsymbol{\gamma }_G$ chứa $\varphi$.

c) Không gian các vectơ K-bất biến của $E_{\varphi}$ có chiều 1 và biểu diễn của G trong $E_{\varphi}$ là bất khả quy.

d) Cho $(f_i)_{i\in I}$ là một cơ sở trực chuẩn của $E_{\varphi}$ và cho $k: G\times G\rightarrow \mathbf{C}$ là hàm được xác định bởi

Ta có

với mọi $f\in E_{\varphi}$ và $x\in G$.

e) Ta có $k(x, y) =$ dim(E$_{\varphi}$)$\varphi (y^{-1}x)$ với mọi $(x, y)\in G\times G$.

f) Hàm $\varphi$ là có kiểu dương.

g) Cho $\varphi$ là một hàm cầu K trên G và cho $(\pi , x)$ là một hiện thực Hilbert của $\varphi$. Biểu diễn $\pi$ là bất khả quy; ta có

với mọi $x\in G$, và $\int_G|\varphi |^2d\nu =$ dim($\pi$ )$^{-1}$.