Bài tập 30, § 4

Cho $n\in \mathbf{N}$. Gọi G là nhóm con của nhóm afin $A(\mathbf{R}^n)$ của không gian $\mathbf{R}^n$ tạo bởi các phần tử $g\in A(\mathbf{R}^n)$ sao cho ánh xạ tuyến tính $g_0$ liên kết với $g$ thuộc $\mathbf{S}\mathbf{O}(\mathbf{R}^n)$; nó là một nhóm Lie thực (xem A, II, p. 131 và LIE, III, p. 102, ví dụ). Ta viết $g= (g_0, a)$ cho các phần tử của G, với $g_0\in \mathbf{S}\mathbf{O}(\mathbf{R}^n)$ và $a\in \mathbf{R}^n$.

a) Cặp $(G,\mathbf{S}\mathbf{O}(\mathbf{R}^n))$ là một cặp Gelfand.

b) Cho $\varphi \in \mathscr{H}(G,\mathbf{S}\mathbf{O}(\mathbf{R}^n))$. Gọi $f:\mathbf{R}^n\rightarrow \mathbf{C}$ là hàm được xác định bởi $f(r) =\varphi (1_{\mathbf{R}^N}, g(e_1))$. Ánh xạ $u:\varphi \mapsto f$ là một cấu xạ đơn ánh của các đại số phức của $\mathscr{H}(G,K)$ vào $\mathscr{K}(\mathbf{R}^n)$; ảnh của nó là không gian con của $\mathscr{K}(\mathbf{R}^n)$ tạo bởi các hàm $f$ sao cho $f(g_0(x)) =f(x)$ với mọi $g_0\in \mathbf{S}\mathbf{O}(\mathbf{R}^n)$ và mọi $x\in \mathbf{R}^n$.

c) Gọi Δ là toán tử Laplace trên $\mathbf{R}^n$. Một hàm $\varphi \in \mathscr{K}(G)$ là một hàm cầu khi và chỉ khi hàm $f=u(\varphi )$ thuộc lớp $C^{\infty}$, thỏa mãn $f(0) = 1$, và tồn tại $\lambda \in \mathbf{C}$ sao cho $\Delta f=\lambda f$. (Dùng sự kiện rằng $\Delta (f\circ g_0) = (\Delta f)\circ g_0$ với mọi $g_0\in \mathbf{S}\mathbf{O}(\mathbf{R}^n).$)