Bài tập 32, § 4

Cho G là một nhóm địa phương compact. Giả sử tồn tại một nhóm con H của G vừa compact vừa mở trong G. Gọi $\mu$ là độ đo Haar trái duy nhất trên G sao cho $\mu(H) = 1$ và $\varphi$ là hàm đặc số của H.

a) Cho $\pi$ là một biểu diễn khả tích bình phương của G trong một không gian Hilbert phức E. Bây giờ chứng minh rằng tự đồng cấu $\pi (\varphi )$ là một tự đồng cấu Hilbert–Schmidt.

b) Không gian $E^H$ có số chiều hữu hạn và thỏa mãn

dim(E$^H$)$\leqslant \frac{1}{c(\pi)}$

trong đó $c(\pi )$ là bậc hình thức của $\pi$ đối với $\{e\}$. (Dùng Bài tập 6 của V, p. 487.)

c) Một nhóm rời rạc vô hạn không có biểu diễn khả tích bình phương; nếu $n\geqslant 2$ là một số nguyên, nhóm $\mathbf{S}\mathbf{L}(n,\mathbf{Z})$ không có biểu diễn khả tích bình phương modulo tâm.