§ 2. Các hàm khả vi thực

Trong đoạn này, giả sử rằng K = R. Chữ E ký hiệu một không gian vectơ chuẩn trên R; chữ F ký hiệu một không gian vectơ tôpô lồi địa phương tách được trên R.

2.1. Các hàm khả vi tại một điểm

2.1.1. Cho f là một hàm xác định trong một lân cận của một điểm x_0 của E và có các giá trị trong F. Cho u là một phần tử của không gian $\mathscr{L}(E; F)$ gồm các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F. Để f khả vi tại x_0 và nhận u tại đó làm đạo hàm, điều kiện cần và đủ là có

\lim_{h \to 0, h \neq 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0) - u(h)}{\|h\|} = 0.

2.1.2. Để f khả vi chặt tại x_0, điều kiện cần và đủ là có

\lim_{(h, k) \to (0, 0), h \neq k} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0 + k) - Df(x_0) \cdot (h - k)}{\|h - k\|} = 0.

2.1.3. Cho F_1 và F_2 là hai không gian lồi địa phương tách được và cho u là một ánh xạ song tuyến tính từ F_1 × F_2 vào F, thỏa mãn điều kiện liên tục sau: (SC) Nếu ((a_n, b_n)) là một dãy các phần tử của F_1 × F_2 hội tụ đến một phần tử (a, b) ∈ F_1 × F_2, thì dãy (u(a_n, b_n)) hội tụ đến u(a, b) trong F.

Cho f_i (với i = 1, 2) là một ánh xạ từ một lân cận của một điểm x_0 của E vào F_i. Nếu f_1 và f_2 khả vi tại x_0, thì u(f_1, f_2) khả vi tại x_0 và ta có:

D(u(f_1, f_2))(x_0) \cdot h = u(Df_1(x_0) \cdot h, f_2(x_0)) + u(f_1(x_0), Df_2(x_0) \cdot h)

với mọi

h \in E

2.2. Định lý giá trị trung bình

2.2.1. Cho x, y thuộc E, và cho [x, y] là đoạn đóng nối hai điểm này. Hơn nữa, cho f là một ánh xạ từ một lân cận của [x, y] vào không gian F, khả vi tại mọi điểm của [x, y]. Khi đó f(x) − f(y) thuộc bao lồi đóng của tập hợp các điểm Df(z) · (x − y) với z thuộc [x, y].

2.2.2. Cho U là một tập hợp mở liên thông của E, và cho f là một ánh xạ từ U vào

F, nhận đạo hàm không tại mọi điểm của U; khi đó $f$ là hằng trong U.

2.2.3. Cho U là một tập hợp mở lồi của E, và cho $f$ là một ánh xạ từ U vào F, khả vi tại mọi điểm của U. Cho một bán chuẩn liên tục $\gamma$ trên F và một số thực $M \geqslant 0$ , các điều kiện sau là tương đương: (i) Với mọi $x$ trong U, ta có $\|Df(x)\|_{\gamma} \leqslant M$ . (ii) Với mọi $x$ và mọi $y$ trong U, ta có $\|f(x) - f(y)\|_{\gamma} \leqslant M \cdot \|x - y\|$ .

2.2.4. Cho U là một lân cận của một điểm $x_0$ của E và cho $f$ là một hàm xác định trong phần bù của $x_0$ trong U, với các giá trị trong F. Giả sử rằng $f$ nhận một đạo hàm $Df(x)$ tại mọi điểm $x$ của U, $x \neq x_0$ , và rằng hàm $x \mapsto Df(x)$ nhận một giới hạn $D_0$ khi $x$ tiến tới $x_0$ . Khi đó, nếu $\dim(E) \geqslant 2$ , $f$ có một giới hạn tại $x_0$ và hàm $f$ được mở rộng bởi tính liên tục tới toàn bộ U là khả vi với đạo hàm $D_0$ tại $x_0$ ; điều tương tự cũng đúng nếu $\dim(E) = 1$ và giả sử rằng $f$ có một giới hạn tại $x_0$ .

2.3. Các hàm thuộc lớp $C^r$ ( $r \neq \omega$ )

2.3.1. Cho U là một tập hợp mở của E và cho $f$ là một ánh xạ từ U vào F. Ta định nghĩa quan hệ “ $f$ thuộc lớp $C^r$ ” (với $r \in \mathbf{N}$ ) bằng quy nạp theo $r$ theo cách sau: 1) $f$ thuộc lớp $C^0$ khi và chỉ khi nó liên tục; 2) nếu $r$ là một số nguyên $\geqslant 1$ , hàm $f$ thuộc lớp $C^r$ khi và chỉ khi nó khả vi tại mọi điểm của U và ánh xạ đạo hàm $Df$ từ U vào $\mathscr{L}(E; F)$ thuộc lớp $C^{r-1}$ .

Các hàm thuộc lớp $C^r$ còn được gọi là các hàm khả vi liên tục r lần.

Ta nói rằng $f$ thuộc lớp $C^{\infty}$ (hay khả vi vô hạn) nếu nó thuộc lớp $C^r$ với mọi số nguyên $r$ .

Nếu $f$ thuộc lớp $C^r$ trong U, thì $f$ khả vi $p$ lần với mọi số nguyên $p \leqslant r$ và hàm $D^p f$ thuộc lớp $C^{r-p}$ .

2.3.2. Các ánh xạ thuộc lớp $C^r$ từ một tập hợp mở U của E vào F tạo thành một không gian con vectơ $\mathscr{C}^r(U; F)$ của không gian gồm tất cả các ánh xạ từ U vào F. Ta có $\mathscr{C}^s(U; F) \subset \mathscr{C}^r(U; F)$ với $s \geqslant r$ .

2.3.3. Để một hàm $f$ thuộc lớp $C^1$ trong một tập hợp mở U của E, điều kiện cần và đủ là nó khả vi nghiêm ngặt tại mọi điểm của U.

Nếu E là một tích của các không gian định chuẩn $E_i$ , một ánh xạ $f$ từ một tập hợp mở V của E vào F thuộc lớp $C^r$ khi và chỉ khi $f$ có các đạo hàm riêng lặp liên tục $D_{i_1} \ldots D_{i_m} f$ với mọi số nguyên $m \leqslant r$ .

2.3.4. Cho G là một không gian định chuẩn và cho U là một tập hợp mở của E. Cho V là một tập hợp mở của G, $g \in \mathscr{C}^r(U; G)$ và $f \in \mathscr{C}^r(V; F)$ . Nếu $g(U) \subset V$ , ánh xạ $f \circ g$ từ U vào F thuộc lớp $C^r$ .

Cho $F_1$ và $F_2$ là hai không gian lồi địa phương tách được và cho $u$ là một ánh xạ song tuyến tính từ $F_1 \times F_2$ vào F, nửa liên tục đều đối với tập hợp các phần bị chặn của $F_1$ (tương ứng $F_2$ ) (Esp. Vect. Top., ch. III, § 4, n° 2). Cho U là một tập hợp mở của E và $f_i \in \mathscr{C}^r(U; F_i)$ (với $i = 1, 2$ ). Khi đó hàm $u(f_1, f_2)$ thuộc về $\mathscr{C}^r(U; F)$ . Nếu E có số chiều hữu hạn, chỉ cần giả sử rằng $u$ thỏa mãn điều kiện (SC) của n° 2.1.3.

2.3.5. Nếu E là một tích của các không gian định chuẩn $E_i$ ( $1 \leq i \leq n$ ) và nếu $f$ là một ánh xạ $n$ -tuyến tính liên tục từ E vào F, thì $f$ thuộc lớp $C^\infty$ và ta có $D^p f = 0$ với $p \geq n + 1$ .

2.3.6. Giả sử rằng E và F là các không gian Banach. Cho $f$ là một hàm thuộc lớp $C^r$ (với $r \geq 1$ ) được xác định trong một lân cận của một điểm $x_0$ của E và có các giá trị trong F. Cho $y_0 = f(x_0)$ và giả sử rằng $Df(x_0)$ là một đẳng cấu của E lên F. Khi đó $f$ cảm sinh một đồng phôi $g$ của một lân cận của $x_0$ lên một lân cận của $y_0$ (1.5) và ánh xạ nghịch đảo của $g$ thuộc lớp $C^r$ trong một lân cận của $y_0$ .

2.4. Các đạo hàm của các hàm thuộc lớp $C^r$

2.4.1. Cho $f$ là một ánh xạ thuộc lớp $C^r$ của một tập mở U của E vào F. Với mọi $x \in U$ , và mọi số nguyên $s$ với $s \leq r$ , ánh xạ đa tuyến tính $D^s f(x)$ là đối xứng.

2.4.2. Giả sử thêm rằng E là hữu hạn chiều và cho $(e_1, \ldots, e_n)$ là một cơ sở của E. Các đạo hàm riêng $\partial_{i_1} \ldots \partial_{i_s} f$ phụ thuộc đối xứng vào các chỉ số $i_1, \ldots, i_s$ . Gọi $\alpha_k$ là số lần chỉ số $k$ xuất hiện trong dãy $i_1, \ldots, i_s$ và gọi $\alpha = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n)$ . Khi đó ta đặt:

\partial^{\alpha} f = \partial_1^{\alpha_1} \ldots \partial_n^{\alpha_n} f = \partial_{i_1} \ldots \partial_{i_s} f

Khi các tọa độ đối với cơ sở $(e_1, \ldots, e_n)$ được ký hiệu bởi $x_1, \ldots, x_n$ , ta cũng viết $\partial^{\alpha} f$ dưới dạng:

\frac{\partial^{|\alpha|} f}{\partial x_1^{\alpha_1} \ldots \partial x_n^{\alpha_n}}

2.5. Công thức Taylor

2.5.1. Cho $r$ là một số nguyên $\geq 1$ và cho $f$ là một ánh xạ thuộc lớp $C^r$ của một tập mở U của E vào F. Với $x \in U$ , $h \in E$ và $p \leq r$ , ta quy ước viết $D^p f(x_0) \cdot h^p$ thay cho $D^p f(x_0) \cdot (h, \ldots, h)$ . Nếu đoạn $[x, x + h]$ được chứa trong U, ta có công thức (“công thức Taylor”):

f(x + h) = \sum_{p=0}^{r-1} \frac{1}{p!} D^p f(x) \cdot h^p + v_r(x; h)

trong đó “số dư” $v_r(x; h)$ được cho bởi:

v_r(x; h) = \int_0^1 \frac{(1-t)^{r-1}}{(r-1)!} D^r f(x + th) \cdot h^r \, dt

Ta có:

v_r(x; h) \equiv \frac{1}{r!} D^r f(x) \cdot h^r \quad \text{mod } o(\|h\|^r) \quad \text{khi } h \text{ tiến tới } 0

và

f(x + h) \equiv \sum_{p=0}^r \frac{1}{p!} D^p f(x) \cdot h^p \quad \text{mod } o(\|h\|^r)

khi $h$ tiến tới không.

2.5.2. Giả sử thêm rằng $\gamma$ là một nửa chuẩn liên tục trên F; nếu ta có $\|D^r f(z)\|_\gamma \leq M$ với mọi điểm $z$ của đoạn $[x, x + h]$ , thì ta có:

\|v_r(x; h)\|_\gamma \leq \frac{M}{r!} \|h\|^r

2.5.3. Giả sử thêm rằng $E = \mathbf{R}^n$ . Khi đó ta có:

f(x + h) \equiv \sum_{|\alpha| \leq r} \Delta^\alpha f(x) h^\alpha \quad \text{mod } o(\|h\|^r) \quad \text{khi } h \text{ tiến tới } 0

với:

\Delta^\alpha f(x) = \frac{1}{\alpha!} \partial^\alpha f(x)

2.5.4. Cho $f$ và $g$ là hai hàm thuộc lớp $C^r$ trên một tập con mở $U$ của $E$ , với các giá trị trong $F$ . Để $f$ và $g$ có tại một điểm $x$ của $U$ một sự tiếp xúc cấp $\geq r$ , điều kiện cần và đủ là có $D^p f(x) = D^p g(x)$ với mọi số nguyên $p$ thỏa mãn $0 \leq p \leq r$ . Khi $E$ là hữu hạn chiều, điều này tương đương với việc nói rằng các đạo hàm riêng lặp của cấp $\leq r$ của $f$ và $g$ (đối với một cơ sở của $E$ ) bằng nhau tại điểm $x$ .

2.5.5. Cho $U$ là một tập con mở của $E \times \mathbf{R}^n$ có dạng $V \times I_1 \times \cdots \times I_n$ , trong đó $V$ là một tập con mở của $E$ và $I_1, \ldots, I_n$ là các khoảng mở của $\mathbf{R}$ chứa 0. Đặt $U_0 = V$ và $U_j = V \times I_1 \times \cdots \times I_j$ với $1 \leq j \leq n$ . Cho một hàm $f \in \mathscr{C}^r(U; F)$ (với $1 \leq r \leq \infty$ ), tồn tại một và chỉ một dãy các hàm $f_j \in \mathscr{C}^{r-1}(U_j; F)$ (với $0 \leq j \leq n$ ) sao cho:

f(x, t_1, \ldots, t_n) = f_0(x) + \sum_{j=1}^n t_j f_j(x, t_1, \ldots, t_j)

với $x \in V$ và $t_j \in I_j$ . Ta có:

f_0(x) = f(x, 0, \ldots, 0)

f_j(x, t_1, \ldots, t_j) = \int_0^1 \partial_j f(x, t_1, \ldots, t_{j-1}, t_j u, 0, \ldots, 0) du

với $1 \leq j \leq n$ . Trong công thức cuối này, $\partial_j f$ ký hiệu đạo hàm riêng thứ $j$ của hàm $(t_1, \ldots, t_n) \mapsto f(x, t_1, \ldots, t_n)$ .

2.6. Các tiêu chuẩn về khả vi

2.6.1. Giả sử rằng $F$ , ngoài tôpô $\mathscr{T}$ của nó, còn được trang bị một tôpô kém mịn hơn $\mathscr{T}'$ , tôpô này cũng làm cho $F$ trở thành một không gian lồi địa phương tách được. Hơn nữa, giả sử rằng $\mathscr{T}$ và $\mathscr{T}'$ thỏa mãn điều kiện sau: (S) Với mỗi lân cận $V$ của 0 đối với tôpô $\mathscr{T}$ , tồn tại một lân cận $W$ của 0 đối với $\mathscr{T}$ sao cho bao lồi đóng đối với $\mathscr{T}'$ của mỗi tập con compact đối với $\mathscr{T}$ của $W$ được chứa trong $V$ .

Cho $f$ là một ánh xạ từ một tập hợp mở $U$ của $E$ vào $F$ . Giả sử rằng $f$ thuộc lớp $C^r$ ( $1 \leq r \leq \infty$ ) khi $F$ được trang bị tôpô $\mathscr{T}'$ , rằng $D^m f(x)$ là, với mọi $x$ của $U$ , và mọi số nguyên $m \leq r$ , một ánh xạ đa tuyến tính liên tục từ $E^m$ vào $F$ được trang bị tôpô $\mathscr{T}$ và rằng ánh xạ $x \mapsto D^m f(x)$ là liên tục từ $U$ vào $\mathscr{L}_m(E; F)$ ( $F$ được trang bị tôpô $\mathscr{T}$ ). Khi đó $f$ thuộc lớp $C^r$ khi $F$ được trang bị tôpô $\mathscr{T}$ và các đạo hàm $D^m f$ của nó là như nhau đối với $\mathscr{T}$ và đối với $\mathscr{T}'$ .

Điều kiện (S) đặc biệt được thỏa mãn nếu tồn tại một hệ cơ bản các lân cận của 0 đối với tôpô $\mathscr{T}$ đóng đối với tôpô $\mathscr{T}'$ : đây là trường hợp nếu đối ngẫu của $F$ được trang bị $\mathscr{T}$ đồng nhất với đối ngẫu của $F$ được trang bị $\mathscr{T}'$ . Điều kiện (S) cũng được thỏa mãn nếu $F$ được trang bị tôpô $\mathscr{T}$ là gần đầy đủ (Esp. Vect. Top., Ch. III, § 2, No. 5).

2.6.2. Cho $f$ là một ánh xạ từ một tập hợp mở $U$ của $E$ vào $F$ . Nếu $f$ thuộc lớp $C^r$ (với $0 \leq r \leq \infty$ ), các hàm vô hướng $u \circ f$ thuộc lớp $C^r$ với mọi dạng tuyến tính liên tục $u$ trên $F$ . Ngược lại nếu $F$ là gần đầy đủ và nếu các hàm $u \circ f$ thuộc lớp $C^{r+1}$ với mọi $u \in F'$ , thì $f$ thuộc lớp $C^r$ .