§ 3. Hàm giải tích thực hoặc phức

Trong số này, giả thiết rằng $K = \mathbf{R}$ hoặc $\mathbf{C}$. Cho $(E_i),\ 1 \leq i \leq n$, là một họ hữu hạn các không gian chuẩn trên $K$, cho $E$ là không gian tích của các $E_i$, và cho $F$ là một không gian vectơ tôpô lồi địa phương tách trên $K$.

3.1. Chuỗi hội tụ

3.1.1. Cho $f = \sum f_\alpha$ là một chuỗi hình thức thuộc $\hat{P}(E_1, \ldots, E_n; F)$ (App., No. A.5). Nếu $\gamma$ là một nửa chuẩn liên tục trên $F$ và $R = (R_1, \ldots, R_n)$ là một dãy gồm $n$ số thực dương ngặt, ta đặt:

Nếu $F$ là một không gian chuẩn và nếu $\gamma$ là chuẩn của $F$, ta viết $\|f\|_R$ thay cho $\|f\|_{\gamma, R}$.

Tập hợp $\mathscr{H}_R(E_1, \ldots, E_n; F)$ gồm các $f \in \hat{P}(E_1, \ldots, E_n; F)$ sao cho $\|f\|_{\gamma, R}$ là hữu hạn với mọi nửa chuẩn liên tục $\gamma$ trên $F$ là một không gian con vectơ của $\hat{P}(E_1, \ldots, E_n; F)$. Ta có

mỗi khi $R_i \geq R'_i$ với $1 \leq i \leq n$. Hợp của các

là một không gian con vectơ, ký hiệu là $\mathscr{H}(E_1, \ldots, E_n; F)$, của $\hat{P}(E_1, \ldots, E_n; F)$, mà các phần tử được gọi là các chuỗi hội tụ trên tích của các $E_i$, nhận giá trị trong $F$. Nó chỉ phụ thuộc vào tôpô của các $E_i$ chứ không phụ thuộc vào các chuẩn của chúng. Do đó có thể nói đến không gian $\mathscr{H}(E_1, \ldots, E_n; F)$ khi các $E_i$ là những không gian khả chuẩn, mà không cần chọn một chuẩn trên mỗi $E_i$.

3.1.2. Ánh xạ $f \mapsto \|f\|_{\gamma, R}$ là một nửa chuẩn trên $\mathscr{H}_R(E_1, \ldots, E_n; F)$. Tôpô được xác định bởi các nửa chuẩn này khi $\gamma$ chạy trong tập hợp các nửa chuẩn liên tục trên $F$ (hoặc đơn giản là trong một tập hợp các nửa chuẩn xác định tôpô của $F$) là tách. Nếu $F$ là khả chuẩn (resp. đầy đủ), thì $\mathscr{H}_R(E_1, \ldots, E_n; F)$ cũng vậy. Các nửa chuẩn trên $\mathscr{H}(E_1, \ldots, E_n; F)$ mà hạn chế của chúng lên mỗi $\mathscr{H}_R$ là liên tục xác định một tôpô tách trên $\mathscr{H}(E_1, \ldots, E_n; F)$, tôpô này chỉ phụ thuộc vào các tôpô của các $E_i$. Đơn ánh của $\mathscr{H}(E_1, \ldots, E_n; F)$ vào $\hat{P}(E_1, \ldots, E_n; F)$ là liên tục.

3.1.3. Đẳng cấu chính tắc của $\hat{P}(E; F)$ lên $\hat{P}(E_1, \ldots, E_n; F)$ suy ra, bằng hạn chế, một đẳng cấu của các không gian vectơ tôpô từ $\mathscr{H}(E; F)$ lên $\mathscr{H}(E_1, \ldots, E_n; F)$.

3.1.4. Cho $f \in \mathscr{H}(E_1, \ldots, E_n; F)$ và gọi $J(f)$ là tập hợp các $R \in (\mathbf{R}_+^*)^n$ sao cho $f \in \mathscr{H}_R(E_1, \ldots, E_n; F)$. Phần trong $I(f)$ của $J(f)$ được gọi là biểu đồ chỉ miền hội tụ ngặt của $f$. Nó là tập hợp các $R$ mà tồn tại một $R' \in J(f)$ với $0 < R_i < R'_i$ đối với $1 \leq i \leq n$. Ta ký hiệu bởi $\Omega(f)$ tập hợp các điểm $(\log R_1, \ldots, \log R_n)$ của $\mathbf{R}^n$ với $R \in I(f)$: đó là một tập con lồi của $\mathbf{R}^n$.

Khi $n = 1$, tập hợp $I(f)$ là một khoảng $]0, \rho(f)[$ của $\mathbf{R}$, và $\rho(f)$ được gọi là bán kính hội tụ ngặt của $f$. Nó cũng là cận trên bé nhất (hữu hạn hoặc $+\infty$) của tập hợp các số thực $R > 0$ sao cho với mọi nửa chuẩn liên tục $\gamma$ trên $F$, tồn tại một hằng $M$ sao cho $\|f_m\|_{\gamma} \leq MR^{-m}$ (với $f = \sum f_m, f_m \in P_m(E; F)$) đối với mọi số nguyên $m \geq 0$.

Tập hợp các điểm $x = (x_i) \in E_1 \times \cdots \times E_n$ sao cho tồn tại $R \in I(f)$ với $\|x_i\| \leq R_i$ đối với mọi $i$ được gọi là miền hội tụ ngặt của $f$ và được ký hiệu bởi $C(f)$. Nó cũng là phần trong của tập hợp các điểm $x$ mà tồn tại $R \in J(f)$ với $\|x_i\| < R_i$ đối với mọi $i$.

3.1.5. Với $f_\alpha \in P_\alpha(E_1, \ldots, E_n; F)$ và với mọi nửa chuẩn liên tục $\gamma$ trên $F$, ta đặt:

Nếu $f \in \mathscr{H}(E_1, \ldots, E_n; F)$, thì chỉ tiêu hội tụ được định nghĩa là phần trong $\tilde{I}(f)$ của tập hợp $\tilde{J}(f)$ các $R \in (\mathbf{R}_+^*)$ sao cho $f \in \tilde{\mathscr{H}}_R$. Ta có:

3.1.6. Với $R \in (\mathbf{R}_+^*)^n$, đa cầu (đóng) tâm 0 và bán kính $R$ trong $E$ là tập hợp $B(R)$ các $x \in E$ sao cho $\|x_i\| \leq R_i$ với mọi $i$. Nếu $\dim E_i = 1$, người ta cũng nói là đa đĩa. Nếu $f \in \mathscr{H}(E_1, \ldots, E_n; F)$, thì miền hội tụ (resp. miền hội tụ ngặt) của $f$ là hợp của các đa cầu $B(R)$ với $R \in \tilde{I}(f)$ (resp. $R \in I(f)$).

3.1.7. Cho $f \in \mathscr{H}(E_1, \ldots, E_n; F)$. Giả sử rằng $F$ là quasi-đầy đủ. Với mọi $x \in \tilde{C}(f)$, họ các $f_a(x)$ là khả tổng trong $F$. Tổng của nó, được ký hiệu bởi $\hat{f}(x)$ hoặc đơn giản là $f(x)$, là một hàm liên tục trên $\tilde{C}(f)$. Chính xác hơn, với mọi $R$ sao cho $f \in \tilde{\mathscr{H}}_R$, họ các $f_a(x)$ là khả tổng đều với $x \in B(R)$. Ánh xạ $f \mapsto \hat{f}$ là một ánh xạ tuyến tính liên tục đơn ánh từ $\tilde{\mathscr{H}}_R$ vào không gian các hàm liên tục bị chặn trên $B(R)$, được trang bị tôpô hội tụ đều.

3.1.8. Cho $F_1, \ldots, F_m$ là các không gian đa chuẩn tách biệt và cho $u$ là một ánh xạ $m$-tuyến tính liên tục từ $F_1 \times \cdots \times F_m$ vào $F$. Cho $f_i \in \mathscr{H}(E_1, \ldots, E_n; F_i)$ với $1 \leq i \leq m$. Chuỗi hình thức $u(f_1, \ldots, f_m)$ thuộc $\mathscr{H}(E_1, \ldots, E_n; F)$. Ta có:

và nếu $x \in \bigcap_i \tilde{C}(f_i)$, với $F$ và các $F_i$ là quasi-đầy đủ, thì ta có:

3.1.9. Cho $F_1, \ldots, F_m$ là các không gian định chuẩn đầy đủ và giả sử rằng $F$ là quasi-đầy đủ. Cho $f = (f_i)_{1 \leq i \leq m}$ với $f_i \in \mathscr{H}(E_1, \ldots, E_n; F_i)$ và $g \in \mathscr{H}(F_1, \ldots, F_m; F)$, sao cho $(f_i(0))_{1 \leq i \leq m}$ thuộc miền hội tụ ngặt của $g$. Khi đó, với mọi $\alpha \in \mathbf{N}^m$, chuỗi hình thức $g_\alpha \circ f$ thuộc $\mathscr{H}(E_1, \ldots, E_n; F)$ và họ các $g_\alpha \circ f$ là khả tổng trong $\mathscr{H}(E_1, \ldots, E_n; F)$ và a fortiori trong $\hat{P}(E_1, \ldots, E_n; F)$. Tổng của nó sẽ được ký hiệu bởi $g \circ f$.

Chính xác hơn, tồn tại $R \in \bigcap_i I(f_i)$ và $R' \in I(g)$ sao cho $\|f_i\|_R < R'_i$ với $1 \leq i \leq m$. Trong các điều kiện ấy, chuỗi hình thức $g_\alpha \circ f$ thuộc $\mathscr{H}_R(E_1, \ldots, E_n; F)$, và họ các $g_\alpha \circ f$ là khả tổng trong $\mathscr{H}_R(E_1, \ldots, E_n; F)$. Sau hết, nếu $x \in B(R)$, thì $f(x) = (f_i(x))$ thuộc $B(R') \subset F_1 \times \cdots \times F_m$ và ta có:

3.1.10. Giả sử rằng $E_i = K$ với $1 \leq i \leq n$. Khi đó không gian $\hat{P}(K^n; F)$ được đồng nhất với không gian các chuỗi hình thức theo $n$ bất định $X_1, \ldots, X_n$ với hệ số trong $F$, và một phần tử của $\hat{P}(K^n; F)$ được viết:

Nếu $R \in (\mathbf{R}_+^*)^n$ và nếu $\gamma$ là một nửa chuẩn liên tục trên $F$, thì ta có:

Ta có $I(f) = \tilde{I}(f)$, $C(f) = \tilde{C}(f)$ và, khi $n = 1$, $\rho(f) = \tilde{\rho}(f)$.

Không gian $\mathscr{H}(K^n; K)$ các chuỗi hội tụ với hệ số trong $K$ cũng được ký hiệu bởi $K\{(X_1, \ldots, X_n)\}$; nó là một đại số con của $K[[X_1, \ldots, X_n]]$. Không gian $\mathscr{H}(K^n; F)$ là một môđun trên $K\{(X_1, \ldots, X_n)\}$ và nếu $F$ hữu hạn chiều, thì môđun này được đồng nhất với $K\{(X_1, \ldots, X_n)\} \otimes_K F$.

3.1.11. Cho $f \in \mathscr{H}(K^n; K^m)$, được biểu diễn bởi một hệ gồm $m$ chuỗi hội tụ $f_j(X_1, \ldots, X_n)$, với hệ số trong $K$. Tương tự, cho $g \in \mathscr{H}(K^m; K^p)$, được biểu diễn bởi một hệ gồm $p$ chuỗi hội tụ $g_k(Y_1, \ldots, Y_m) = \sum g_{k,\beta} Y^\beta$. Phần tử $h = g \circ f$ của $\mathscr{H}(K^n; K^p)$ (xem 3.1.9) được biểu diễn bởi $p$ chuỗi hình thức $h_k(X_1, \ldots, X_n)$, được xác định như sau: với $\alpha \in \mathbf{N}^n$ và $\beta \in \mathbf{N}^m$, gọi $c_{\alpha,\beta}$ là hệ số của $X^\alpha$ trong chuỗi hình thức $f^\beta = \prod f_j^{\beta_j}$; khi đó họ $(g_{k,\beta} c_{\alpha,\beta})_{\beta \in \mathbf{N}^m}$ là khả tổng trong $K$ và có tổng là hệ số của $X^\alpha$ trong $h_k$.

3.1.12. Giả sử $F$ gần đầy đủ và gọi $\hat{E}_i$ là bổ sung đầy đủ của $E_i$. Mọi đa thức liên tục trên $E_1 \times \cdots \times E_n$ nhận giá trị trong $F$ đều kéo dài được, bởi tính liên tục, thành một đa thức liên tục trên $\hat{E}_1 \times \cdots \times \hat{E}_n$, nhận giá trị trong $F$. Từ đó suy ra một song ánh $j$ từ $\hat{P}(E_1, \ldots, E_n; F)$ lên $\hat{P}(\hat{E}_1, \ldots, \hat{E}_n; F)$. Nếu $f \in \mathscr{H}(E_1, \ldots, E_n; F)$, thì $j(f) \in \mathscr{H}(\hat{E}_1, \ldots, \hat{E}_n; F)$ và ngược lại. Các chỉ dấu hội tụ ngặt của $f$ và của $j(f)$ là như nhau.

3.1.13. Giả sử rằng $K = \mathbf{R}$, nhưng $F$ được trang bị một cấu trúc không gian vectơ phức tương thích với cấu trúc không gian vectơ thực của nó. Đặt $E_i^C = E_i \otimes_\mathbf{R} \mathbf{C}$. Nếu $y \in E_i^C$, đặt

trong đó cận dưới lớn nhất được lấy trên mọi họ hữu hạn các cặp $(x_k, a_k) \in E_i \times \mathbf{C}$ sao cho $y = \sum_k x_k \otimes a_k$. Theo cách đó, ta thu được một chuẩn trên không gian vectơ phức $E_i^C$; chuẩn này mở rộng chuẩn đã cho trên $E_i$ nếu ta đồng nhất $x \in E_i$ với $x \otimes 1$. Cho $h$ là một ánh xạ đa thức-liên tục trên $\mathbf{R}$ trên $E_1 \times \cdots \times E_n$, nhận giá trị trong $F$, và thuần nhất bậc đa $\alpha$; khi đó tồn tại duy nhất một ánh xạ đa thức-liên tục trên $\mathbf{C}$ $\tilde{h}$ trên $E_1^C \times \cdots \times E_n^C$, nhận giá trị trong $F$, mở rộng $h$, và thuần nhất bậc đa $\alpha$. Ta có

với mọi nửa chuẩn liên tục $\gamma$ trên không gian vectơ phức $F$.

Nếu $f = \sum_{\alpha} f_{\alpha} \in \mathscr{H}(E_1, \ldots, E_n; F)$, thì $\tilde{f} = \sum_{\alpha} \tilde{f}_{\alpha} \in \mathscr{H}(E_1^c, \ldots, E_n^c; F)$. Chuỗi $f$ và $\tilde{f}$ có cùng biểu đồ hội tụ ngặt (và cùng bán kính hội tụ ngặt khi $n = 1$).

Ngược lại, giả sử $K = C$. Cho $E_i^0$ và $F^0$ là các không gian trên $\mathbf{R}$ thu được bằng hạn chế vô hướng. Nếu $f_{\alpha} \in P_{\alpha}(E_1, \ldots, E_n; F)$, thì $f_{\alpha} \in P_{\alpha}(E_1^0, \ldots, E_n^0; F^0)$. Nếu $f = \sum_{\alpha} f_{\alpha} \in \mathscr{H}(E_1, \ldots, E_n; F)$, thì chuỗi hình thức $f^0 = \sum_{\alpha} f_{\alpha} \in \hat{P}(E_1^0, \ldots, E_n^0; F^0)$ là một chuỗi hội tụ. Các biểu đồ hội tụ (resp. các biểu đồ hội tụ ngặt) của $f$ và $f^0$ là đồng nhất và ta có $f(x) = f^0(x)$ với mọi $x \in \bar{C}(f) = \bar{C}(f^0)$.

3.2. Hàm giải tích

3.2.1. Cho $U$ là một tập hợp mở của $E$ và $f$ là một ánh xạ từ $U$ vào $F$. Ta nói rằng $f$ thuộc lớp $C^{\omega}$, hay K-giải tích (hoặc đơn giản là giải tích) trong $U$ nếu, với mọi điểm $a$ của $U$, tồn tại một chuỗi hội tụ $f_{\alpha} \in \mathscr{H}(E; F)$ sao cho $f(a + x) = f_{\alpha}(x)$ với mọi $x$ trong $E$ đủ gần không. Nếu $K = \mathbf{R}$ (resp. $\mathbf{C}$), người ta cũng nói rằng $f$ là giải tích thực (resp. giải tích phức hoặc chỉnh hình). Các ánh xạ giải tích từ $U$ vào $F$ lập thành một không gian con vectơ, ký hiệu bởi $\mathscr{C}^{\omega}(U; F)$, của không gian tất cả các ánh xạ từ $U$ vào $F$.

Với $a \in U$, chuỗi hình thức $f_{\alpha}$ là duy nhất: nó được gọi là khai triển chuỗi lũy thừa của $f$ tại điểm $a$. Nếu $f_{\alpha} = \sum_{\alpha} (f_{\alpha})_{\alpha}$ (với $(f_{\alpha})_{\alpha} \in P_{\alpha}(E_1, \ldots, E_n; F)$), ta đặt:

3.2.2. Nếu $f \in \mathscr{C}^{\omega}(U; F)$, ánh xạ $\Delta^{\alpha} f : a \mapsto \Delta^{\alpha} f(a)$ từ $U$ vào

là giải tích. Ánh xạ $\Delta^{\alpha} : f \mapsto \Delta^{\alpha} f$ là một ánh xạ $K$-tuyến tính từ $\mathscr{C}^{\omega}(U; F)$ vào $\mathscr{C}^{\omega}(U; P_{\alpha}(E_1, \ldots, E_n; F))$. Do đó, với $a \in U$, ta có, với $\alpha, \beta \in \mathbf{N}^n$, $\Delta^{\beta}(\Delta^{\alpha} f)(a) \in P_{\beta}(E_1, \ldots, E_n; P_{\alpha}(E_1, \ldots, E_n; F))$. Nếu $x = (x_i) \in E$, do đó ta có $(\Delta^{\beta}(\Delta^{\alpha} f)(a))(x) \in P_{\alpha}(E_1, \ldots, E_n; F)$ và $((\Delta^{\beta}(\Delta^{\alpha} f)(a))(x))(x) \in F$. Phần tử này của $F$ bằng $((\alpha, \beta))(\Delta^{\alpha+\beta} f(a))(x)$. Điều này được biểu thị bằng cách viết:

3.2.3. Các chỉ báo hội tụ ngặt (và các bán kính hội tụ ngặt khi $n = 1$) của các khai triển chuỗi lũy thừa của $f$ và của $\Delta^{\alpha} f$ tại cùng một điểm $a$ của $U$ là đồng nhất.

3.2.4. Cho $f \in \mathscr{C}^\omega(U; F)$. Khi đó $f$ khả vi chặt và khả vi vô hạn trong $U$ (nếu $K = \mathbf{R}$, thì $f$ thuộc lớp $C^\infty$ trong $U$). Các đạo hàm lặp của $f$ là giải tích, và giá trị của chúng tại một điểm $a$ là những ánh xạ đa tuyến tính đối xứng. Khi đó có thể đưa vào ký hiệu $D^\alpha f$ cho các đạo hàm riêng lặp như ở No. 2.4.2. Ta có:

với mọi $a \in U$ và $h \in E$, điều này được viết là:

3.2.5. Cho $U$ là một tập con mở của $E$ và cho $f, g$ là hai ánh xạ giải tích từ $U$ vào $F$. Cho $a \in U$. Để $f$ và $g$ tiếp xúc bậc $\geq k$ tại $a$, điều kiện cần và đủ là $\Delta^\alpha f(a) = \Delta^\alpha g(a)$ với mọi $\alpha$ sao cho $|\alpha| \leq k$. Nếu $f$ và $g$ tiếp xúc vô hạn cấp tại $a$, thì chúng bằng nhau trong một lân cận của $a$. Tập hợp các điểm của $U$ tại đó $f$ và $g$ tiếp xúc vô hạn cấp là mở và đóng.

Đặc biệt, nếu $U$ liên thông và nếu tồn tại một tập con mở khác rỗng của $U$ trên đó $f$ và $g$ bằng nhau, thì $f = g$ ("nguyên lý thác triển giải tích").

3.2.6. Cho $U$ là một tập con mở của $E$ và cho $f$ là một ánh xạ giải tích từ $U$ vào $F$. Nếu đạo hàm $Df$ của $f$ bằng không, thì $f$ địa phương hằng.

3.2.7. Giả sử $F$ gần đầy đủ và gọi $G$ là một không gian định chuẩn đầy đủ. Cho $g$ là một ánh xạ giải tích từ một tập hợp mở $U$ của $E$ vào $G$ và $f$ là một ánh xạ giải tích từ một tập hợp mở $V$ của $G$, chứa $g(U)$, vào $F$. Ánh xạ hợp thành $f \circ g$ là giải tích trong $U$. Hơn nữa giả sử rằng $0 \in U$ và $g(0) = 0$. Khi đó khai triển của $f \circ g$ thành chuỗi lũy thừa tại $0$ thu được bằng cách thay, trong khai triển của $f$ tại $0$, chuỗi lũy thừa khai triển của $g$ tại $0$ (3.1.9).

3.2.8. Cho $F_1, \ldots, F_m$ là các không gian đa định chuẩn tách được và $u$ là một ánh xạ đa tuyến tính liên tục từ $F_1 \times \cdots \times F_m$ vào $F$. Cho $U$ là một tập hợp mở của $E$ và $f_i \in \mathscr{C}^\omega(U; F_i)$. Hàm $u(f_1, \ldots, f_m)$ là giải tích, và khai triển của nó thành chuỗi lũy thừa tại một điểm $a \in U$ là chuỗi $u((f_1)_a, \ldots, (f_m)_a)$ (3.1.8).

3.2.9. Giả sử $F$ gần đầy đủ. Cho $f \in \mathscr{H}(E_1, \ldots, E_n; F)$; hàm $x \mapsto f(x)$ (3.1.7) là giải tích trong tập hợp mở $C(f)$, miền hội tụ ngặt của $f$. Nếu $n = 1$ và nếu $\|a\| < \rho(f)$, thì bán kính hội tụ ngặt của khai triển của $f$ thành chuỗi lũy thừa tại $a$ ít nhất bằng $\rho(f) - \|a\|$. Nếu $\rho(f) = + \infty$, thì người ta nói rằng $f$ là một hàm nguyên.

3.2.10. Giữ lại các giả thiết của 3.2.9. Nếu $K = \mathbf{C}$, các kết quả của 3.2.9 vẫn còn đúng nếu thay $C(f)$ bởi $\tilde{C}(f)$ và $\rho(f)$ bởi $\tilde{\rho}(f)$ (với $n = 1$). Nếu $K = \mathbf{R}$, hàm $x \mapsto f(x)$ là giải tích trong $\tilde{C}(f)$.

3.2.11. Giả sử rằng $E_i = K$ với $1 \leq i \leq n$. Cho $U$ là một tập mở của $K^n$ và $f \in \mathscr{C}^\omega(K^n; F)$. Nếu $0 \in U$ và nếu $f_0 = \sum_\alpha X^\alpha c_\alpha$ là khai triển thành chuỗi lũy thừa của $f$ tại $0$, thì khai triển thành chuỗi lũy thừa của $\Delta^\alpha f$ tại $0$ được viết (sau khi đồng nhất $P_\alpha(K^n; F)$ với $F$):

Đặc biệt, với $1 \leq i \leq n$ và với $x \in C(f_0)$, ta có:

3.3 Hàm chỉnh hình

Trong số này, giả sử rằng $K = \mathbf{C}$.

3.3.1. Giả sử $F$ là gần đầy đủ. Cho $U$ là một tập mở của $E$ và $f$ là một ánh xạ từ $U$ vào $F$. Các điều kiện sau là tương đương: (i) $f$ là chỉnh hình; (ii) $f$ khả vi; (iii) $f$ bị chặn địa phương và, với mọi $a \in U$ và $h \in E$, hàm $t \mapsto f(a + th)$, được xác định trong một lân cận mở của $0$ trong C, là chỉnh hình; (iv) $f$ bị chặn địa phương và với mọi dạng tuyến tính liên tục $u$ trên $F$, hàm nhận giá trị trong $\mathbf{C}$ $u \circ f$ là chỉnh hình; (v) $f$ liên tục và bị chặn địa phương và tồn tại một tập hợp toàn phần $H$ của đối ngẫu của $F$ sao cho $u \circ f$ là chỉnh hình với mọi $u \in H$.

Khi $E$ hữu hạn chiều (tương ứng khi $F$ là một không gian Banach), các điều kiện này còn tương đương với các điều kiện (iii'), (iv') hoặc (v') (tương ứng (iv') hoặc (v')) thu được từ (iii), (iv) hoặc (v) (tương ứng từ (iv) hoặc (v)) bằng cách bỏ giả thiết "$f$ bị chặn địa phương".

3.3.2. Giả sử $F$ là gần đầy đủ. Cho $U$ là một tập mở của $E$ và $(f_n)$ là một dãy các ánh xạ chỉnh hình từ $U$ vào $F$, có tính chất sau: (W) Mọi điểm của $U$ đều có một lân cận trong đó dãy $(f_n)$ hội tụ đều. Khi đó giới hạn $f$ của dãy $(f_n)$ là chỉnh hình, dãy các đạo hàm $(Df_n)$ (nhận giá trị trong không gian gần đầy đủ $\mathscr{L}(E; F)$) có tính chất (W), và $Df$ là giới hạn của $(Df_n)$.

3.3.3. Cho U là một tập mở của E và f là một ánh xạ chỉnh hình từ U vào F, giả thiết là gần đầy đủ. Cho $R = (R_i) \in (\mathbf{R}_+^*)^n$ và giả sử rằng đa cầu B(R) được chứa trong U và rằng f bị chặn trên B(R). Khi đó, với mọi $\alpha \in \mathbf{N}^n$ và mọi $x = (x_i) \in B(R)$:

(trong đó $e(\theta) = \exp 2\pi i \theta$).

Hơn nữa, cho $\gamma$ là một nửa chuẩn liên tục trên F và M là cận trên của $\|f(x)\|_\gamma$ với $\|x_i\| = R_i$. Khi đó $\|\Delta^\alpha f(0)(x)\|_\gamma \leq M$ với mọi $x \in B(R)$ và $\|\Delta^\alpha f(0)\|_\gamma \leq MR^{-\alpha}$. Sau cùng, miền hội tụ của khai triển chuỗi của f tại 0 chứa phần trong của đa cầu B(R).

3.3.4. Giữ lại các giả thiết của 3.3.3 và giả sử thêm rằng $E_i = \mathbf{C}$. Cho $\sum_{\alpha} X^\alpha c_\alpha$ là khai triển chuỗi của f tại 0. Ta có:

và:

(“bất đẳng thức Cauchy”). Miền hội tụ ngặt của chuỗi $\sum_{\alpha} X^\alpha c_\alpha$ chứa phần trong của B(R).

3.3.5. Giả sử E hữu hạn chiều và F gần đầy đủ. Cho f là một ánh xạ chỉnh hình từ E vào F. Khi đó tồn tại trong $\mathscr{H}(E; F)$ một và chỉ một chuỗi $f_0$, có bán kính hội tụ vô hạn (đối với mọi chuẩn trên E), sao cho $f(x) = f_0(x)$ với mọi $x \in E$.

3.3.6. Nếu f là một ánh xạ chỉnh hình từ E vào F sao cho $f(E)$ bị chặn, thì hàm f là hằng (“định lý Liouville”).

3.3.7. Ta giả sử rằng $E \neq 0$. Cho f là một ánh xạ chỉnh hình từ một tập mở U của E vào F. Cho a là một điểm của U và $\gamma$ là một nửa chuẩn liên tục trên F. Với mọi lân cận V của a, được chứa trong U, tồn tại $x \in V, x \neq a$, sao cho:

Nếu hơn nữa $F = \mathbf{C}$ và nếu f không hằng trong một lân cận của a, thì ta có $|f(a)| < \sup_{x \in V, x \neq a} |f(x)|$ và ánh xạ f là mở trong một lân cận của a.

Sau cùng, cho B là một tập mở bị chặn mà bao đóng của nó được chứa trong U và cho B' là biên của nó. Ta có:

(“nguyên lý cực đại”).

3.3.8. Giả sử E hữu hạn chiều. Cho U là một tập mở của E, S là một không gian con vectơ của E có đối chiều $\geq 2$ và $f$ là một ánh xạ chỉnh hình từ $U \cap (E - S)$ vào F. Khi đó f kéo dài được bằng liên tục thành một ánh xạ chỉnh hình từ U vào F.

3.3.9. Giả sử rằng $E = \mathbf{C}$ và cho $0 \leq \lambda < \mu \leq +\infty$. Cho $f$ là một ánh xạ chỉnh hình từ tập mở $U = \{ z \in \mathbf{C} | \lambda < |z| < \mu \}$ vào F. Tồn tại một và chỉ một họ $(a_n(f))_{n \in \mathbf{Z}}$ các phần tử của F sao cho, với mọi tập compact H của U, họ $(a_n(f)z^n)_{n \in \mathbf{Z}}$ là cộng được đều với tổng là $f(z)$ khi $z$ chạy trên H (“khai triển Laurent”).

Giả sử hơn nữa rằng $\lambda = 0$. Cấp của $f$ tại điểm $x = 0$ được định nghĩa là cận dưới lớn nhất (hữu hạn hoặc vô hạn) của tập hợp các số nguyên $n$ sao cho $a_n(f) \neq 0$. Nếu tồn tại một lân cận V của 0 sao cho $f$ bị chặn trong $V - \{0\}$, thì $f$ có cấp 0 tại điểm $x = 0$ và kéo dài được bằng liên tục thành một hàm chỉnh hình trên tập mở $|z| < \mu$. Cho $p$ là một số nguyên $> 0$; nếu $f$ có cấp $-p$ tại điểm $x = 0$, thì người ta nói rằng 0 là một cực bậc $p$ của $f$.

3.3.10. Giả sử rằng $E = \mathbf{C}$ và rằng F được trang bị chuẩn. Gọi $f$ là một ánh xạ chỉnh hình từ đĩa đơn vị mở U của E vào F, sao cho $f(0) = 0$ và đặt $M = \sup_{z \in U} \|f(z)\|$. Khi đó $\|f(z)\| \leq M \cdot |z|$ với mọi $z \in U$ ("bổ đề Schwarz").