§ 6. Các phép phân thớ¹

6.1. Các phép phân thớ

6.1.1. Một phép phân thớ lớp $C'$, hay nói gọn là một phép phân thớ, được gọi là một bộ ba $(X, B, \pi)$ trong đó $B$ và $X$ là các đa tạp lớp $C'$ và $\pi$ là một cấu xạ từ $X$ vào $B$, có tính chất sau đây:

(F) Với mọi $x \in B$, tồn tại một lân cận mở $U$ của $x$, một đa tạp $F$, và một đẳng cấu $\varphi$ từ $\pi^{-1}(U)$ lên $U \times F$ sao cho $\pi(\varphi^{-1}(x, y)) = x$ với mọi $x \in U$ và mọi $y \in F$.

Nếu $\lambda = (X, B, \pi)$ là một phép phân thớ, thì $X$ được gọi là không gian của $\lambda$, $B$ là cơ sở của $\lambda$, và $\pi$ là phép chiếu của $\lambda$. Ánh xạ $\pi$ là một phép nhấn chìm; đặc biệt $\pi(X)$ là mở trong $B$, và nếu $R$ ký hiệu quan hệ tương đương được xác định bởi $\pi$ trong $X$, thì ánh xạ chính tắc từ $X/R$ vào $\pi(X)$ là một đẳng cấu. Với mọi $x \in B$, ảnh ngược $\pi^{-1}(x)$ là một đa tạp con đóng của $X$, được gọi là thớ tại $x$, và được ký hiệu là $X_x$.

6.1.2. Ví dụ: (a) Nếu $B$ và $F$ là hai đa tạp, thì bộ ba $(B \times F, B, pr_1)$ là một phép phân thớ mà các thớ của nó đẳng cấu chính tắc với $F$. (b) Nếu $\lambda = (X, B, \pi)$ và $\lambda' = (X', B', \pi')$ là các phép phân thớ,

6.1.3. Cho $\lambda = (X, B, \pi)$ và $\lambda' = (X', B', \pi')$ là hai phân thớ. Một cấu xạ từ $\lambda$ vào $\lambda'$ được gọi là mọi cặp $(f, g)$, trong đó $f$ là một cấu xạ từ $B$ vào $B'$, và $g$ là một cấu xạ từ $X$ vào $X'$, sao cho $\pi' \circ g = f \circ \pi$. Khi $B = B'$ và $f = \mathrm{Id}_B$, người ta nói rằng $g$ là một $B$-cấu xạ từ $\lambda$ vào $\lambda'$; nếu $g$ là một đẳng cấu từ $X$ lên $X'$, thì $g^{-1}$ là một $B$-cấu xạ từ $\lambda'$ vào $\lambda$, và người ta nói rằng $g$ là một $B$-đẳng cấu từ $\lambda$ lên $\lambda'$; để điều này xảy ra, điều kiện cần và đủ là, với mọi $x \in B$, ánh xạ $g_x : X_x \to X'_x$ cảm sinh bởi $g$ là một đẳng cấu.

¹ Các định nghĩa và phần lớn các kết quả của §§ 6 và 7 cũng áp dụng cho phạm trù các không gian tôpô; khi đó phải thay thế các từ « varieties », « subvarieties », « morphisms » và « nhóm varieties » bằng « không gian tôpô », « không gian con tôpô », « ánh xạ liên tục » và « nhóm tôpô ». Ngoại lệ là các kết quả liên quan đến các phép nhúng, các phép chìm, và các quan hệ tương đương chính quy, cũng như các kết quả của Nos. 6.2.3 và 6.2.4 (a).

6.1.4. Phân thớ $(B \times F, B, pr_1)$ được gọi là phân thớ tầm thường có cơ sở $B$ và thớ $F$. Một đẳng cấu từ một phân thớ $\lambda$ lên một phân thớ tầm thường được gọi là một sự tầm thường hóa của $\lambda$.

6.1.5. Cho $\lambda = (X, B, \pi)$ là một phân thớ, và cho $f : B' \to B$ là một cấu xạ. Gọi $\pi'$ là cấu xạ chính tắc từ $B' \times_B X$ vào $B'$. Bộ ba $(B' \times_B X, B', \pi')$ là một phân thớ, được gọi là ảnh ngược của $\lambda$ bởi $f'$ hoặc là phân thớ suy ra từ $\lambda$ bởi thay đổi cơ sở từ $B$ sang $B'$ theo $f$, và được ký hiệu bởi $B' \times_B \lambda$, hoặc cũng bởi $f^*\lambda$. Nếu $f'$ ký hiệu ánh xạ chính tắc từ $B' \times_B X$ vào $X$, thì cặp $(f, f')$ là một cấu xạ từ $B' \times_B \lambda$ vào $\lambda$; nó có tính chất phổ quát sau đây: nếu $(f, g)$ là một cấu xạ từ một phân thớ $\lambda'$ có cơ sở $B'$ vào phân thớ $\lambda$, thì tồn tại duy nhất một $B'$-cấu xạ $\varphi : \lambda' \to B' \times_B \lambda$ sao cho $(f, g) = (f, f') \circ \varphi$.

Khi $B'$ là một đa tạp con của $B$, và $f$ là đơn ánh chính tắc của $B'$ vào $B$, thì $B' \times_B X$ được đồng nhất với đa tạp con $\pi^{-1}(B')$ của $X$, và $\pi'$ được đồng nhất với hạn chế của $\pi$ lên $\pi^{-1}(B')$; khi đó ảnh ngược của $\lambda$ bởi $f$ được gọi là phân thớ cảm sinh bởi $\lambda$ trên $B'$.

6.1.6. Nếu $\lambda = (X, B, \pi)$ là một phân thớ, ta gọi là tiết diện cấu xạ (hoặc đơn giản là tiết diện) của $\lambda$ mọi cấu xạ $s : B \to X$ sao cho $\pi \circ s = \mathrm{Id}_B$.

6.2. Phân thớ chính

6.2.1. Cho $B$ là một đa tạp và $G$ là một đa tạp nhóm. Ta gọi một phân thớ chính có cơ sở $B$ và nhóm cấu trúc $G$ là một bộ bốn $\lambda = (P, G, B, \pi)$ trong đó $P$ là một đa tạp trên đó $G$ tác động ở phải theo $(x, g) \mapsto x . g$ (x. n° 5.12.5), và trong đó $\pi$ là một cấu xạ từ $P$ vào $B$, các dữ kiện này thỏa mãn tiên đề sau đây:

(P) Với mọi $b \in B$ tồn tại một lân cận mở $U$ của $b$ và một đẳng cấu $f : U \times G \to \pi^{-1}(U)$ sao cho ta có

6.2.2. Cho $\lambda = (P, G, B, \pi)$ là một phân thớ chính. Bộ ba $(P, B, \pi)$ là một phân thớ; ta có $\pi(P) = B$. Quan hệ tương đương $R$ do $\pi$ xác định trong $P$ trùng với quan hệ do $G$ xác định; đồ thị của nó chính là tích $P \times_B P$ (xem No. 5.11.2); nó là một đa tạp con của $P \times P$. Ánh xạ $(x, g) \mapsto (x, x . g)$ là một đẳng cấu từ $P \times G$ lên $P \times_B P$; ánh xạ gán cho mỗi $(x, y) \in P \times_B P$ phần tử duy nhất $g \in G$ sao cho $y = x . g$ là một cấu xạ từ $P \times_B P$ vào $G$.

Nhóm $G$ tác động đúng cách và tự do trên $P$ (xem Top. Gén., chap. III, 3e éd., § 4). Nếu $x \in P$ và nếu $b = \pi(x)$, thì ánh xạ $g \mapsto x . g$ là một đẳng cấu của đa tạp $G$ lên thớ của $b$.

6.2.3. Ngược lại, cho $G$ là một đa tạp nhóm, và cho $P$ là một đa tạp trên đó $G$ tác động ở bên phải sao cho thỏa mãn hai điều kiện sau: (a) $G$ tác động đúng cách và tự do trên $P$. (b) Với mọi $x \in P$, ánh xạ $g \mapsto x . g$ là một phép nhúng của $G$ vào $P$.

Khi đó quan hệ tương đương do $G$ xác định trong $P$ là chính quy; nếu ta ký hiệu bởi $P/G$ đa tạp thương, và bởi $\pi$ phép chiếu chính tắc từ $P$ lên $P/G$, thì bộ bốn $(P, G, P/G, \pi)$ là một phân thớ chính. Khi $K$ có đặc số 0 và $P$ hữu hạn chiều, điều kiện (b) ở trên là một hệ quả của điều kiện (a).

6.2.4. Các điều kiện của No. trước được kiểm tra trong hai trường hợp sau: (a) $P$ là một đa tạp nhóm và $G$ là một đa tạp con nhóm tác động trên $P$ bằng các phép tịnh tiến phải; cơ sở của phân thớ chính do đó thu được là không gian thuần nhất $P/G$. (b) $G$ là một nhóm rời rạc tác động đúng cách và tự do trên $P$. Khi đó phép chiếu $\pi : P \to P/G$ là một cấu xạ étale (No. 5.7.6).

6.2.5. Ví dụ: (a) Cho $B$ là một đa tạp và $G$ là một đa tạp nhóm. Cho $G$ tác động lên $B \times G$ bởi $(b, g) . g' = (b, gg')$. Bộ bốn $(B \times G, G, B, \mathrm{pr}_1)$ là một phân thớ chính. (b) Cho $\lambda = (P, G, B, \pi)$ và $\lambda' = (P', G', B', \pi')$ là hai phân thớ chính. Cho $G \times G'$ tác động lên $P \times P'$ theo công thức:

6.3. Cấu xạ của các phân thớ chính

6.3.1. Cho $\lambda = (P, G, B, \pi)$ và $\lambda' = (P', G', B', \pi')$ là hai phân thớ chính. Một cấu xạ từ $\lambda$ vào $\lambda'$ được gọi là mọi bộ ba $(f, \varphi, h)$, trong đó $f : P \to P'$ và $h : B \to B'$ là các cấu xạ, $\varphi : G \to G'$ là một đồng cấu của các đa tạp nhóm, và thỏa $\pi' \circ f = h \circ \pi$ và $f(x . g) = f(x) . \varphi(g)$ với $x \in P, g \in G$. Ta chú ý rằng $f$ xác định $h$; người ta sẽ thường nói rằng $(f, \varphi)$, hoặc thậm chí đơn giản là $f$, là một cấu xạ.

Khi $B = B'$ và $h = \mathrm{Id}_B$ (resp. khi $G = G'$ và $\varphi = \mathrm{Id}_G$), một cấu xạ được gọi là một $B$-cấu xạ tương thích với $\varphi$ (resp. một $G$-cấu xạ tương thích với $h$). Một cấu xạ đồng thời là một $B$-cấu xạ và một $G$-cấu xạ được gọi là một $G$-$B$-cấu xạ (ở đây nữa, người ta thường chỉ nói đơn giản là “cấu xạ” khi không thể có sự nhầm lẫn nào). Mọi $G$-$B$-cấu xạ $f : P \to P'$ là một đẳng cấu của đa tạp $P$ lên đa tạp $P'$; đẳng cấu nghịch đảo $f^{-1}$ là một $G$-$B$-cấu xạ: $f$ là một $G$-$B$-đẳng cấu của $P$ lên $P'$.

Hai không gian sợi chính $P$ và $P'$ có cùng cơ sở $B$ và cùng nhóm cấu trúc $G$ được gọi là $G$-$B$-đẳng cấu (hay đơn giản là đẳng cấu) nếu tồn tại một $G$-$B$-đẳng cấu của $P$ lên $P'$.

6.3.2. Phân thớ chính $(B \times G, G, B, \mathrm{pr}_1)$ được gọi là phân thớ chính tầm thường có cơ sở $B$ và nhóm cấu trúc $G$. Một đẳng cấu của một phân thớ chính $\lambda = (P, G, B, \pi)$ lên phân thớ chính tầm thường có cơ sở $B$ và nhóm cấu trúc $G$ được gọi là một sự tầm thường hóa của $\lambda$. Mỗi tiết diện $s$ của $\lambda$ xác định một sự tầm thường hóa $f_s$ của $\lambda$ theo công thức:

Do đó ta thu được một song ánh từ tập hợp các tiết diện của $\lambda$ lên tập hợp các sự tầm thường hóa của $\lambda$. Hơn nữa, nếu $s_0$ là một tiết diện của $\lambda$, mọi tiết diện $s$ của $\lambda$ đều có thể viết được duy nhất dưới dạng $s(b) = s_0(b) \cdot r(b)$, trong đó $r : B \to G$ là một cấu xạ.

6.3.3. Cho $\lambda = (P, G, B, \pi)$ là một phân thớ chính, và cho $h : B' \to B$ là một cấu xạ. Gọi $\pi'$ (tương ứng $h'$) là cấu xạ chính tắc từ $B' \times_B P$ vào $B'$ (tương ứng vào $P$). Cho $G$ tác động trên $B' \times_B P$ theo công thức

Bộ bốn $(B' \times_B P, G, B', \pi')$ là một phân thớ chính, được gọi là ảnh ngược của $\lambda$ bởi $h$, và được ký hiệu bởi $B' \times_B \lambda$ hoặc cũng bởi $h^* \lambda$. Ánh xạ $h' : B' \times_B P \to P$ là một $G$-cấu xạ tương thích với $h$; nó có tính chất phổ quát sau đây: nếu $f$ là một $G$-cấu xạ tương thích với $h$ từ một phân thớ chính $\lambda'$ có cơ sở $B'$ vào phân thớ $\lambda$, thì tồn tại một $G$-$B'$-đẳng cấu duy nhất $k : \lambda' \to B' \times_B \lambda$ sao cho $f = h' \circ k$.

Khi $B'$ là một đa tạp con của $B$, và $h$ là đơn ánh chính tắc của $B'$ vào $B$, thì $B' \times_B P$ được đồng nhất với đa tạp con $\pi^{-1}(B')$ của $P$; nó được gọi là không gian phân thớ chính cảm sinh bởi $P$ trên $B'$, và được ký hiệu bởi $\pi^{-1}(B')$, hoặc cũng bởi $P|B'$. Mọi $x \in V$ đều có một lân cận mở $U$ sao cho $P|U$ là tầm thường.

6.4. Phép dựng các phân thớ chính bằng các cocycle

Cho B là một đa tạp, G là một đa tạp nhóm và cho $\mathscr{U} = (U_i)_{i \in I}$ là một phủ mở của B.

6.4.1. Một cocycle cấp $C^r$ trên B với giá trị trong G, phụ thuộc vào $\mathscr{U}$, được gọi là một họ $(g_{i,j})_{(i,j) \in I \times I}$ có hai tính chất sau: (1) với mọi cặp $(i,j) \in I \times I$, $g_{i,j}$ là một ánh xạ cấp $C^r$ từ tập mở $U_i \cap U_j$ của B vào G; (2) với mọi bộ ba $(i,j,k) \in I^3$, ta có

6.4.2. Cho $\lambda = (P, G, B, \pi)$ là một phân thớ chính. Với mỗi $i \in I$, ta cho trước một tiết diện $s_i$ của $\lambda$ trên $U_i$ (6.3.3). Khi đó, với mọi cặp $(i,j) \in I^2$, tồn tại một và chỉ một cấu xạ $g_{i,j}$ từ $U_i \cap U_j$ vào G sao cho: (4)

6.4.3. Ngược lại, cho $g = (g_{i,j})$ là một cocycle trên B với giá trị trong G, phụ thuộc vào phủ $\mathscr{U}$. Khi đó tồn tại một phân thớ chính $\lambda = (P, G, B, \pi)$ và một họ các tiết diện $(s_i)_{i \in I}$ của $\lambda$ trên các $U_i$, sao cho hệ thức (4) được thỏa mãn. Khi đó (5) cũng đúng. Hơn nữa, nếu $(\lambda', (s'_i))$ cũng thỏa mãn các điều kiện ấy, thì tồn tại một G-B-đẳng cấu duy nhất $f$ của $\lambda$ lên $\lambda'$ sao cho $s'_i = f \circ s_i$ với mọi $i \in I$. Kết quả này được diễn đạt bằng cách nói rằng $(\lambda, (s_i))$ được xác định, sai khác một đẳng cấu duy nhất, bởi cocycle $g$.

6.4.4. Cho $\lambda = (P, G, B, \pi)$ và $\lambda' = (P', G, B, \pi')$ là hai phân thớ chính. Cho $(s_i)$ (tương ứng $(s'_i)$) là một họ các tiết diện của $\lambda$ (tương ứng của $\lambda'$) trên các $U_i$ và cho $g$ (tương ứng $g'$) là cocycle liên kết với $(\lambda, \mathscr{U}, (s_i))$ (tương ứng với $(\lambda', \mathscr{U}, (s'_i))$). Để $\lambda$ và $\lambda'$ là G-B-đẳng cấu, điều kiện cần và đủ là các cocycle $g$ và $g'$ đồng điều. Chính xác hơn, với mọi G-B-đẳng cấu $f$ của $\lambda$ lên $\lambda'$, tồn tại một và chỉ một họ $(h_i)_{i \in I}$ các cấu xạ từ các $U_i$ vào $G$ sao cho quan hệ (3) được thỏa mãn và sao cho ta có $f \circ (s'_i(x)) = s_i(x) \cdot h_i(x)$ với mọi $i \in I$ và mọi $x \in U_i$, và do đó thu được một song ánh từ tập hợp các G-B-đẳng cấu của $\lambda$ lên $\lambda'$ đến tập hợp các họ $(h_i)_{i \in I}$ thỏa mãn (3).

6.4.5. Xét lại các ký hiệu của 6.4.2. và cho $\mathscr{V} = (V_\alpha)_{\alpha \in A}$ là một phủ mở mịn hơn phủ mở $\mathscr{U}$. Cho $\tau : A \to I$ là một ánh xạ sao cho $V_\alpha \subset U_{\tau(\alpha)}$ với mọi $\alpha \in A$. Cho $s'_\alpha$ là hạn chế lên $V_\alpha$ của tiết diện $s_{\tau(\alpha)}$ và cho $g' = (g'_{\alpha,\beta})$ là cocycle phụ thuộc vào phủ mở $\mathscr{V}$ liên kết với $(\lambda, \mathscr{V}, (s'_\alpha))$. Khi đó hàm chuyển tiếp $g'_{\alpha,\beta}$ là hạn chế lên $V_\alpha \cap V_\beta$ của hàm chuyển tiếp $g_{\tau(\alpha), \tau(\beta)}$.

6.5. Không gian thớ liên kết với một phân thớ chính

6.5.1. Cho $\lambda = (P, G, B, \pi)$ là một phân thớ chính. Cho F là một đa tạp mà trên đó nhóm G tác động bên trái; ta ký hiệu bởi $(g, y) \mapsto g \cdot y$ luật tác động của G trên F. Nhóm G tác động bên phải trên $P \times F$ theo công thức $(x, f) \cdot g = (x \cdot g, g^{-1} \cdot f)$; quan hệ tương đương do G xác định trong $P \times F$ là chính quy; thương $P \times^G F = (P \times F)/G$ được trang bị một cấu trúc đa tạp.

Cho E là một đa tạp. Ta nói rằng E được trang bị một cấu trúc không gian thớ liên kết với $\lambda$ có kiểu thớ F khi đã cho một cấu xạ $\rho : P \times F \to E$ có tính chất sau:

(As) Ta có $\rho(x \cdot g, g^{-1}f) = \rho(x, f)$ với $x \in P, f \in F, g \in G$, và ánh xạ $\bar{\rho} : P \times^G F \to E$ suy ra từ $\rho$ bằng cách chuyển qua thương là một đẳng cấu các đa tạp.

Điều đó tương đương với việc nói rằng $(P \times F, G, E, \rho)$ là một phân thớ chính. Ánh xạ $\rho$ (hoặc đôi khi ánh xạ $\bar{\rho}$) được gọi là ánh xạ repère của E, và được ký hiệu $(x, f) \mapsto x \cdot f$; ta có

Dữ kiện của $\lambda$ và F xác định E tới một đẳng cấu duy nhất; đặc biệt, có thể lấy cho E chính đa tạp $P \times^G F$; cái này được gọi là không gian sợi liên kết với $\lambda$ kiểu sợi F, và được ký hiệu bởi $\lambda(F)$.

6.5.2. Cho E là một không gian sợi liên kết với $\lambda$ và có kiểu sợi F. Tồn tại một cấu xạ duy nhất $\pi_E$ từ E vào B sao cho $\pi_E(x \cdot f) = \pi(x)$ nếu $x \in P, f \in F$; bộ ba $(E, B, \pi_E)$ là một phân thớ; nếu B và F tách được, thì E tách được.

Cho $b \in B$, và đặt $F_b = \pi_E^{-1}(b)$; đó là một đa tạp con đóng của E. Nếu $x \in P$ sao cho $\pi(x) = b$, đặt $\theta_x : F \to F_b$ là ánh xạ được định nghĩa bởi $\theta_x(f) = x \cdot f$; đó là một đẳng cấu của các đa tạp. Hơn nữa, với mọi $g \in G$, ta có $\theta_{x \cdot g} = \theta_x \circ \rho_g$, trong đó $\rho_g$ ký hiệu tự đẳng cấu $f \mapsto g \cdot f$ của F. Giả sử

F được trang bị một cấu trúc s thuộc một loài bất kỳ Σ (xem Ens., chap. IV, § 1, n° 4) và giả sử s là bất biến dưới G; khi đó tồn tại trên F_b một cấu trúc s_b thuộc loài Σ, và chỉ một, sao cho các $\theta_x : F \to F_b$ là các đẳng cấu; nó thu được bằng cách chuyển cấu trúc s nhờ một trong các $\theta_x$ (loc. cit., n° 5).

Nếu s là một tiết diện của P trên một tập mở U của B, thì ánh xạ $(b, f) \mapsto s(b) . f$ là một đẳng cấu từ $U \times F$ lên $\pi_E^{-1}(U)$.

6.5.3. Ví dụ: (a) Cho $\lambda = (B \times G, B, pr_1)$, cho $E = B \times F$, và cho

(b) Cho $\lambda = (P, G, B, \pi)$ và $\lambda' = (P', G', B', \pi')$ là hai phân thớ chính. Cho F (tương ứng F') là một đa tạp trên đó G (tương ứng G') tác động bên trái; và cho E (tương ứng E') là một không gian sợi liên kết với $\lambda$ (tương ứng với $\lambda'$) có kiểu sợi F (tương ứng F'). Nhóm $G \times G'$ tác động trên $F \times F'$ bởi $(g . g') . (f, f') = (g . f, g' . f')$. Ánh xạ $(P \times P') \times (F \times F') \to E \times E'$ tạo ra các ánh xạ $P \times F \to E$ và $P' \times F' \to E'$ trang bị cho $E \times E'$ một cấu trúc không gian sợi liên kết với $\lambda \times \lambda'$ có kiểu sợi $F \times F'$.

(c) Với ký hiệu của (b), nếu giả sử rằng $B' = B$, thì ta định nghĩa tương tự trên $E \times_B E'$ một cấu trúc không gian sợi liên kết với $\lambda \times_{B'} \lambda'$ có kiểu sợi $F \times F'$.

6.5.4. Với ký hiệu của n° 6.5.1, cho $h : B' \to B$ là một cấu xạ, cho $\lambda' = B' \times_B \lambda$, và cho $E' = E' \times_B E$. Nếu $P' = B' \times_B P$, hãy định nghĩa một ánh xạ $P' \times F \to E'$ bằng cách đặt $(b', x) . f = (b', x . f)$; như vậy ta trang bị cho $E'$ một cấu trúc không gian sợi liên kết với $\lambda'$ có kiểu sợi F; nó được gọi là ảnh ngược bởi $h$ của cấu trúc đã cho trên $E$.

6.5.5. Cho $\lambda = (P, G, B, \pi)$ là một thớ chính, và cho E (tương ứng E') là một không gian thớ liên kết với $\lambda$ có kiểu thớ F (tương ứng F'). Cho $u : F \to F'$ là một cấu xạ tương thích với các phép toán của G (nghĩa là sao cho $u(g . f) = g . u(f)$ với $f \in F, g \in G$). Khi đó tồn tại một và chỉ một cấu xạ $\bar{u} : E \to E'$ sao cho ta có $\bar{u}(x . f) = x . u(f)$ với $x \in P, f \in F$. Nếu $u$ là một phép nhúng (tương ứng một phép chìm, một phép nhúng cục bộ), thì $\bar{u}$ cũng vậy.

Đặc biệt, giả sử rằng một đa tạp nhóm H tác động bên phải lên F sao cho $g . (f . h) = (g . f) . h$ với $g \in G, f \in F, h \in H$. Khi đó mọi $h \in H$ xác định một tự đẳng cấu $u_h$ của F tương thích với các phép toán của G, do đó một tự đẳng cấu $\bar{u}_h$ của E; nhóm H tác động bên phải lên E bởi $(y, h) \mapsto \bar{u}_h(y)$.

6.5.6. Cho $\lambda = (P, G, B, \pi)$ là một thớ chính, và cho E là một không gian thớ liên kết với $\lambda$ có kiểu thớ F. Cho $s : B \to E$ là một tiết diện của E. Với mọi $x \in P$, tồn tại một phần tử duy nhất $\sigma(x) \in F$ sao cho $s(\pi(x)) = x . \sigma(x)$. Ánh xạ $\sigma : P \to F$ được xác định như vậy là một cấu xạ của các đa tạp, và thỏa mãn đẳng thức:

(*)

Ánh xạ $s \mapsto \sigma$ là một song ánh từ tập hợp các tiết diện của E lên tập hợp các cấu xạ từ P vào F thỏa mãn đẳng thức (*).

6.5.7. Cho $\lambda = (P, G, B, \pi)$ và $\lambda' = (P', G, B, \pi')$ là hai thớ chính có cùng cơ sở B và cùng nhóm cấu trúc G. Thớ chính $\lambda \times_B \lambda' = (P \times_B P', G \times G, B, (\pi, \pi')_B)$ có nhóm cấu trúc $G \times G$. Cho $G \times G$ tác động bên trái lên G theo công thức:

và cho E là không gian thớ liên kết với $\lambda \times_B \lambda'$ có kiểu thớ G (được trang bị luật tác động xác định ở trên). Khi đó các tiết diện của E tương ứng song ánh với các đẳng cấu từ P lên P’. Chính xác hơn, nếu s là một tiết diện của E tương ứng (xem n° 6.5.6) với cấu xạ $\sigma : P \times_B P' \to G$, thì tồn tại một và chỉ một G-B-đẳng cấu $f_s : P \to P'$ sao cho $\sigma(x, f_s(x)) = e$ với mọi $x \in P$; ánh xạ $s \mapsto f_s$ là một song ánh từ tập hợp các tiết diện của E lên tập hợp các G-B-đẳng cấu từ P lên P’.

6.6. Mở rộng và hạn chế nhóm cấu trúc

6.6.1. Cho $\lambda = (P, G, B, \pi)$ là một thớ chính, và cho $\varphi$ là một đồng cấu từ G vào một đa tạp nhóm H. Cho G tác động bên trái lên H bởi $g . h = \varphi(g) . h$ và cho $P \times^G H$ là không gian thớ liên kết với $\lambda$ có kiểu thớ H. Vì các phép tịnh tiến bên phải trong H tương thích với các phép toán của G, nhóm H tác động bên phải lên $P \times^G H$ (xem n° 6.5.5); nếu $\pi_H$ ký hiệu phép chiếu của $P \times^G H$ lên B, thì bộ bốn $(P \times^G H, H, B, \pi_H)$ là một thớ chính, ký hiệu là $\varphi(\lambda)$; ta nói rằng nó được suy ra từ $\lambda$ bởi đồng cấu $\varphi$.

Ánh xạ $f$ từ P vào $P \times^G H$ gán cho $x \in P$ lớp của $(x, e)$ là một B-cấu xạ từ P vào $P \times^G H$ tương thích với $\varphi$ (xem No. 6.3.1). Hơn nữa, nếu $f'$ là một B-cấu xạ từ P vào một không gian xơ chính $P'$ có nhóm cấu trúc H, và nếu $f'$ tương thích với $\varphi$, thì tồn tại duy nhất một H-B-đẳng cấu $\theta$ từ $P \times^G H$ lên $P'$ sao cho $f' = \theta \circ f$.

6.6.2. Giả sử rằng $\lambda$ được định nghĩa bằng một phủ mở $\mathscr{V} = (U_i)$ của B và một cocycle $(g_{ij})$ (6.4.2). Khi đó $\varphi(\lambda)$ có thể được định nghĩa bằng cùng phủ ấy và cocycle $(h_{ij})$, với $h_{ij} = \varphi \circ g_{ij}$.

6.6.3. Cho F là một đa tạp trên đó nhóm H tác động bên trái; ta ký hiệu bởi $(h, y) \mapsto h . y$ luật phép toán của H trên F. Nhóm G tác động trên F bởi $(g, y) \mapsto \varphi(g) . y$. Cho E là một không gian xơ liên kết với $\varphi(\lambda)$ có kiểu xơ F. Ánh xạ $(x, y) \mapsto f(x) . y$ từ $P \times F$ vào E (trong đó ánh xạ $f$ là ánh xạ đã được định nghĩa ở No. 6.6.1) trang bị cho E một cấu trúc không gian xơ liên kết với $\lambda$ có kiểu xơ F. Đặc biệt, $(P \times^G H) \times^H F$ được đồng nhất một cách chính tắc với $P \times^G F$.

6.6.4. Giả sử rằng G là một đa tạp nhóm con của H, và rằng $\varphi : G \to H$ là đơn ánh chính tắc của G vào H. Khi đó người ta nói rằng $\varphi(\lambda)$ thu được từ $\lambda$ bằng phép mở rộng nhóm cấu trúc lên H. Cấu xạ $f : P \to P \times^G H$ ở No. 6.6.1 là một đẳng cấu từ P lên một đa tạp con đóng của $P \times^G H$ (bằng $P \times^G H$ nếu $G = H$); đẳng cấu này tương thích với các phép toán của G (chú ý rằng G tác động trên $P \times^G H$ như một nhóm con của H).

6.6.5. Lại giả sử rằng G là một đa tạp nhóm con của H, và cho $\mu = (Q, H, B, \pi)$ là một phân thớ chính có nhóm cấu trúc H và cơ sở B, và cho E là một không gian xơ liên kết với $\mu$ có kiểu xơ $H/G$. Nếu $\gamma$ ký hiệu phép chiếu chính tắc của H lên $H/G$, đặt $\delta(y) = y . \gamma(e)$, với $y \in Q$ (trong đó $e$ ký hiệu phần tử đơn vị của H); như vậy ta thu được một cấu xạ $\delta : Q \to E$ và bộ bốn $(Q, G, E, \delta)$ là một phân thớ chính. Đặc biệt, $Q/G$ được đồng nhất một cách chính tắc với E, bản thân E đẳng cấu với $Q \times^H H/G$ $^{1}$.

Bây giờ cho $s : B \to E$ là một tiết diện của E, và cho $\lambda_s$ là ảnh ngược theo $s$ của phân thớ $(Q, G, E, \delta)$ mà ta vừa định nghĩa. Đó là một phân thớ chính, có cơ sở B và nhóm cấu trúc G, và phép mở rộng của nó lên H là đẳng cấu với $\mu$; mọi phân thớ có các tính chất ấy đều có thể thu được theo cách này, sai khác một đẳng cấu; hai tiết diện $s_1$ và $s_2$ của E xác định các phân thớ đẳng cấu nếu và chỉ nếu chúng được biến đổi thành nhau bởi một H-B-tự đẳng cấu của $\mu$.

6.7. Các thay đổi cấu trúc

Các cấu trúc và các phép toán được mô tả trong đoạn này là tương thích với các thay đổi cấu trúc được mô tả ở Nos. 5.13 và 5.14.

$^1$ Trong trường hợp tôpô (x. chú ý $^1$, trang 61), cần giả sử rằng các phép tịnh tiến phải bởi các phần tử của G làm cho H thành một không gian sợi chính với nhóm cấu trúc G, có cơ sở là $H/G$; điều này quy về việc nói rằng tồn tại một tập con mở khác rỗng của $H/G$ mà phía trên nó phép chiếu $H \to H/G$ thừa nhận một tiết diện liên tục. Trong phạm trù các đa tạp, điều kiện tương tự luôn luôn được thỏa mãn (x. No. 6.2.4).