§ 7. Bó vectơ

Trong suốt mục này, chữ B ký hiệu một đa tạp lớp $C^r$ ($r \geqslant 1$) và chữ M ký hiệu một tập hợp được trang bị một ánh xạ $\pi$ từ M vào B. Ta nói B là cơ sở của M và với mọi $b \in B$, ta ký hiệu bởi $M_b$ và gọi là thớ của M tại $b$ tập con $\pi^{-1}(b)$ của M.

7.1. Định nghĩa bó vectơ

7.1.1. Một bản đồ vectơ của M là một bộ ba $t = (U, \varphi, F)$, trong đó U là một tập mở của B, F là một không gian Banach và $\varphi$ là một song ánh từ $\pi^{-1}(U)$ lên $U \times F$ sao cho $\pi(\varphi^{-1}(b, h)) = b$ với mọi $b \in B$ và mọi $h \in F$. Ta nói U là miền của bản đồ vectơ t và rằng t là một bản đồ vectơ của M tại $b \in B$ nếu $b \in U$. Với mọi $b \in U$, ta ký hiệu bởi $t_b$ song ánh từ F lên $M_b$ được xác định bởi $t_b(h) = \varphi^{-1}(b, h)$ với $h \in F$.

7.1.2. Ta nói rằng hai bản đồ vectơ $t = (U, \varphi, F)$ và $t' = (U', \varphi', F')$ của M là tương thích-$C^r$ (hoặc đơn giản là tương thích) nếu tồn tại một ánh xạ $\lambda$ lớp $C^r$ từ đa tạp $U \cap U'$ vào không gian Banach $\mathscr{L}(F; F')$ sao cho:

7.1.3. Ta nói rằng một tập hợp các bản đồ vectơ của M là một átlat vectơ-$C^r$ (hoặc đơn giản là átlat vectơ) của M nếu nó gồm các bản đồ vectơ từng đôi một tương thích-$C^r$ và các miền của chúng có hợp là B. Ta nói rằng hai átlat vectơ $\mathscr{A}$ và $\mathscr{B}$ của M là tương đương-$C^r$ (hoặc tương đương) nếu $\mathscr{A} \cup \mathscr{B}$ lại là một átlat vectơ của M. Quan hệ này là một quan hệ tương đương.

7.1.4. Một cấu trúc bó vectơ lớp $C^r$ (với cơ sở B) trên M là dữ kiện của một lớp tương đương các átlat vectơ (Ens., Chap. II, § 6, No. 9). Một bản đồ vectơ thuộc một átlat vectơ của lớp này được gọi là một bản đồ vectơ của bó vectơ M.

Cho M là một bó vectơ với cơ sở B. Với mọi $b \in B$, tồn tại trên thớ $M_b$ một và chỉ một cấu trúc không gian Banach sao cho, với mọi bản đồ vectơ $t = (U, \varphi, F)$ của bó vectơ M tại $b$, ánh xạ $t_b$ là một đẳng cấu từ F lên $M_b$.

Cho $c = (U, \psi, E)$ là một bản đồ của đa tạp B và cho $t = (U, \varphi, F)$ là một bản đồ vectơ của bó vectơ M, có cùng miền U. Với $x \in \pi^{-1}(U)$, đặt:

Khi đó bộ ba $(\pi^{-1}(U), \alpha, E \times F)$ là một bản đồ của tập hợp $M$. Tồn tại trên $M$ một và chỉ một cấu trúc đa tạp lớp $C'$ (được gọi là nền tảng của $M$) mà đối với nó mọi bản đồ thu được như vậy đều là các bản đồ của đa tạp $M$. Khi đó bộ ba $(M, B, \pi)$ là một phân thớ (6.1.1).

7.1.5. Cho $F$ là một không gian Banach. Đặt $M = B \times F$, ánh xạ là phép chiếu thứ nhất. Tồn tại trên $M$ một cấu trúc bó vectơ (với cơ sở $B$), và chỉ một, sao cho $(B, \mathrm{Id}_M, F)$ là một bản đồ vectơ. Người ta nói rằng $B \times F$ được trang bị cấu trúc này là bó vectơ tầm thường có cơ sở $B$ và thớ $F$, và đôi khi ký hiệu nó bởi $F_B$. Cấu trúc đa tạp của $F_B$ là cấu trúc đa tạp tích, và với mọi $b \in B$, ánh xạ $h \mapsto (b, h)$ là một đẳng cấu không gian Banach từ $F$ lên thớ của $F_B$ tại điểm $b \in B$. Người ta thường ký hiệu bởi $0$ một bó vectơ tầm thường mà thớ được thu về $0$.

7.1.6. Cho $M$ là một bó vectơ có cơ sở $B$. Với $b \in B$, người ta gọi là hạng của $M$ tại $b$ và ký hiệu bởi $\mathrm{rg}_b(M)$ chiều (hữu hạn hoặc $+\infty$) của không gian Banach $M_b$. Ta có $\dim_x M = \dim_b B + \mathrm{rg}_b M$ với $b = \pi(x)$. Hàm $b \mapsto \mathrm{rg}_b M$ là hằng địa phương. Người ta nói rằng $M$ có hạng hữu hạn nếu $\mathrm{rg}_b M < +\infty$ với mọi $b \in B$.

7.2. Cấu xạ của các bó vectơ

7.2.1. Cho $B$ và $B'$ là hai đa tạp và cho $f$ là một cấu xạ từ $B$ vào $B'$. Cho $M$ là một bó vectơ có cơ sở $B$ và $M'$ một bó vectơ có cơ sở $B'$. Người ta nói rằng một ánh xạ $g$ từ $M$ vào $M'$ là một $f$-cấu xạ của các bó vectơ nếu điều kiện sau được thỏa mãn:

Với mọi điểm $b_0 \in B$, tồn tại một biểu đồ vectơ $t = (U, \varphi, F)$ của $M$ tại $b_0$, một biểu đồ vectơ $t' = (U', \varphi', F')$ của $M'$ tại $f(b_0)$ và một ánh xạ $\lambda$ thuộc lớp $C'$ từ $U$ vào $\mathscr{L}(F; F')$ sao cho $f(U) \subset U'$ và $g_b \circ t_b = t'_{f(b)} \circ \lambda(b)$ với mọi $b \in U$, trong đó $g_b$ là hạn chế của $g$ lên $M_b$.

Dưới các giả thiết đó, $g$ là một cấu xạ của các đa tạp và, với mọi $b \in B$, $g$ cảm sinh một ánh xạ tuyến tính liên tục từ $M_b$ vào $M'_{f(b)}$. Hạng vectơ của $g$ tại $b \in B$ được gọi là và được ký hiệu bởi $\mathrm{rg}_b(g)$ hạng (hữu hạn hoặc $+\infty$) của ánh xạ tuyến tính $g_b$.

Ngược lại, nếu $r \geqslant \infty$ hoặc nếu $M$ có hạng hữu hạn, thì một $f$-cấu xạ của các phân thớ của $(M, B, \pi)$ vào $(M', B', \pi')$ mà cảm sinh trên mỗi thớ $M_b$ một ánh xạ tuyến tính từ $M_b$ vào $M'_{f(b)}$ (với mọi $b \in B$), là một $f$-cấu xạ của các bó vectơ.

7.2.2. Giả sử thêm rằng $f'$ là một cấu xạ từ $B'$ vào một đa tạp $B''$. Nếu $g$ là một $f$-cấu xạ của $M$ vào $M'$, và nếu $g'$ là một $f'$-cấu xạ của $M'$ vào một bó vectơ $M''$ có cơ sở là $B''$, thì ánh xạ $g' \circ g$ là một $(f' \circ f)$-cấu xạ của $M$ vào $M''$. Ta có $(g' \circ g)_b = g'_{f(b)} \circ g_b$ với mọi $b$ trong $B$.

7.2.3. Cho M và M' là hai bó vectơ có cùng cơ sở B. Một B-cấu xạ, hay đơn giản là một cấu xạ từ M vào M', được gọi là mọi Id_B-cấu xạ. Hợp thành của hai cấu xạ là một cấu xạ.

Cho g là một cấu xạ bó vectơ từ M vào M'; nếu g là song ánh, thì nó là một đẳng cấu của đa tạp M lên đa tạp M', ánh xạ nghịch đảo $g^{-1}$ là một cấu xạ bó vectơ từ M' vào M và ta có $(g^{-1})_b = g_b^{-1}$ với mọi b trong B. Khi đó ánh xạ g là một đẳng cấu bó vectơ.

7.2.4. Cho f là một cấu xạ của một đa tạp B' vào B và cho M là một bó vectơ có cơ sở B. Đặt $M' = B' \times_B M$ và ký hiệu bởi $\pi'$ (tương ứng g) sự hạn chế lên M' của phép chiếu từ $B' \times M$ lên B' (tương ứng M). Tồn tại trên M' một và chỉ một cấu trúc bó vectơ có cơ sở B' (đối với $\pi'$) sao cho g là một f-cấu xạ. Ta nói M' là bó vectơ có cơ sở B' ảnh ngược của M bởi f và ký hiệu nó bởi $f^*M$; f-cấu xạ g được gọi là f-cấu xạ chính tắc của $f^*M$ vào M.

Cấu trúc đa tạp của $f^*M$ là cấu trúc của tích thớ của các đa tạp B' và M trên B (5.11.2); với mọi $b \in B'$, ánh xạ $x \mapsto (b, x)$ là một đẳng cấu các không gian Banach từ $M_{f(b)}$ lên $(f^*M)_b$.

Việc thành lập các ảnh ngược của các bó vectơ là bắc cầu.

Cho N' là một bó vectơ có cơ sở B' và cho h là một f-cấu xạ từ N' vào M. Tồn tại một và chỉ một B'-cấu xạ $\tilde{h}$ từ N' vào $f^*M$ sao cho $h = g \circ \tilde{h}$.

Cho N là một bó vectơ có cơ sở B và v là một B-cấu xạ từ N vào M. Tồn tại một và chỉ một B'-cấu xạ, ký hiệu bởi $f^*v$, từ $f^*N$ vào $f^*M$ sao cho biểu đồ

là giao hoán.

7.2.5. Cho B' là một đa tạp con của B và cho i là đơn ánh chính tắc của B' vào B. Nếu M là một bó vectơ có cơ sở B, ảnh ngược $i^*M$ được gọi là bó vectơ cảm sinh trên B' bởi M và được ký hiệu bởi $M|B'$. Nếu $t = (U, \varphi, F)$ là một thẻ vectơ của M, thì $(U \cap B', \varphi|\pi^{-1}(U \cap B'), F)$ là một thẻ vectơ của $M|B'$. f-cấu xạ chính tắc của $M|B'$ vào M là một đẳng cấu đa tạp từ $M|B'$ lên đa tạp con $\pi^{-1}(B')$ của M.

7.2.6. Cho f là một cấu xạ của một đa tạp B' vào B và cho M (tương ứng M') là một bó vectơ có cơ sở B (tương ứng B'). Một f-đối cấu xạ từ M vào M' được gọi là một B'-cấu xạ từ $f^*M$ vào M'. Khi B = B' và $f = \mathrm{Id}_B$, việc cho một $f$-đối cấu xạ từ $M$ vào $M'$ tương đương với việc cho một $B$-cấu xạ từ $M$ vào $M'$.

Cho $g$ là một $f$-đối cấu xạ từ $M$ vào $M'$. Với mọi $b \in B'$, ánh xạ $g_b : x \mapsto g(b, x)$ từ $M_{f(b)}$ vào $M'_b$ là một ánh xạ tuyến tính liên tục.

Giả sử thêm rằng $f'$ là một cấu xạ của một đa tạp $B''$ vào $B'$ và rằng $h$ là một $f'$-đối cấu xạ từ $M'$ vào một bó vectơ $M''$ có cơ sở $B''$. Khi đó ánh xạ $h \circ f^*g$ từ ${f'}^*(f^*M) = (f \circ f')^*M$ vào $M''$ là một $(f \circ f')$-đối cấu xạ từ $M$ vào $M''$, ký hiệu bởi $h \circ g$. Với $b \in B''$, ta có

7.3. Cấu xạ đa tuyến tính

7.3.1. Cho $M_1, \ldots, M_d$ và $N$ là các bó vectơ có cơ sở $B$, và cho $u$ là một ánh xạ từ tập hợp $M_1 \times_B \cdots \times_B M_d$ vào $N$. Ta nói $u$ là một cấu xạ đa tuyến tính (hay $d$-tuyến tính) nếu điều kiện sau được thỏa mãn:

Với mọi $b_0 \in B$, tồn tại một lân cận mở $U$ của $b_0$ trong $B$, các bản đồ địa phương của bó vectơ $t^j = (U, \varphi^j, F^j)$ của $M_j$ (với $1 \leq j \leq d$) và $t = (U, \varphi, F)$ của $N$, và một ánh xạ $\lambda$ thuộc lớp $C^r$ từ $U$ vào không gian Banach $\mathscr{L}(F^1, \ldots, F^d; F)$ gồm các ánh xạ $d$-tuyến tính liên tục từ $F^1 \times \cdots \times F^d$ vào $F$, sao cho:

với mọi $b \in U$ và mọi $x_j \in F^j$.

Mọi cấu xạ đa tuyến tính $u$ đều là một cấu xạ đa tạp từ tích thớ $M_1 \times_B \cdots \times_B M_d$ vào $N$ và cảm sinh, với mỗi $b \in B$, một ánh xạ $d$-tuyến tính liên tục $u_b$ từ $(M_1)_b \times \cdots \times (M_d)_b$ vào $N_b$.

Nếu $f$ là một cấu xạ từ $B$ vào một đa tạp $B'$, thì theo định nghĩa, một cấu xạ đa tuyến tính từ $M_1 \times_B \cdots \times_B M_d$ vào một bó vectơ $M'$ có cơ sở $B'$ là hợp thành của một cấu xạ đa tuyến tính từ $M_1 \times_B \cdots \times_B M_d$ vào $f^*M'$ với cấu xạ $f$ chính tắc từ $f^*M'$ vào $M'$.

Một cấu xạ song tuyến tính cũng được gọi là một ghép đôi. Với $d = 1$, một cấu xạ tuyến tính là một cấu xạ theo nghĩa của 7.2.1. Với $d = 0$, một cấu xạ $0$-tuyến tính được đồng nhất với một tiết diện của $N$ (7.4).

7.3.2. Một bó đại số có cơ sở $B$ được gọi là một bó vectơ $A$ có cơ sở $B$, được trang bị một phép ghép cặp từ $A \times_B A$ vào $A$. Khi đó mỗi thớ $A_b$ được trang bị một cấu trúc đại số trên $K$. Nếu, với mọi $b \in B$, đại số $A_b$ có một phần tử đơn vị, ký hiệu bởi $e_b$, thì ánh xạ $b \mapsto e_b$ là một tiết diện của $A$ (xem 7.4). Một bó đại số $A$ được gọi là địa phương tầm thường nếu, với mọi điểm $b_0$ của $B$, tồn tại một phiến đồ vectơ $t = (U, \varphi, E)$ của $A$ tại điểm $b_0$ và một cấu trúc đại số trên $K$ của $E$ sao cho $t_b$ là một đẳng cấu đại số từ $E$ lên $A_b$ với mọi $b \in U$.

7.3.3. Cho $A$ là một bó đại số kết hợp có phần tử đơn vị, có cơ sở $B$. Một bó A-môđun có cơ sở $B$ được gọi là một bó vectơ $M$ có cơ sở $B$ được trang bị một phép ghép cặp $m : A \times_B M \to M$ sao cho ánh xạ $m_b : A_b \times M_b \to M_b$ xác định, với mọi $b \in B$, một cấu trúc $A_b$-môđun trên thớ $M_b$.

Cho $M$ và $M'$ là hai bó $A$-môđun. Một đồng cấu A từ $M$ vào $M'$ được gọi là mọi cấu xạ $g : M \to M'$ của các bó vectơ có cơ sở $B$ mà với mọi $b$ thuộc $B$ cảm sinh một ánh xạ $A_b$-tuyến tính từ $M_b$ vào $M'_b$.

Giả sử $A$ là địa phương tầm thường. Một phân thớ $M$ các $A$-môđun được gọi là địa phương tầm thường nếu, với mọi điểm $b_0$ của $B$, tồn tại một bản đồ vectơ $t = (U, \varphi, E)$ của $A$ tại $b_0$ như trong 7.3.2, một bản đồ vectơ $t' = (U, \varphi', L)$ của $M$ tại $b_0$, và một cấu trúc môđun của $E$ trên $L$ sao cho, với mọi $b \in U$, $t'_b$ là một $t_b$-đẳng cấu của $A_b$-môđun $M_b$ lên $E$-môđun $L$.

7.3.4. Cho $A$ là một đại số Banach trên $K$ (ví dụ một trường được trang bị một cấu trúc $K$-đại số hữu hạn chiều). Khi đó phân thớ tầm thường $A_B$ là một phân thớ các đại số, địa phương tầm thường. Một phân thớ địa phương tầm thường các $A_B$-môđun $M$ cũng được gọi là một phân thớ vectơ trên $A$ (có cơ sở là $B$). Khi đó các thớ $M_b$ là các $A$-môđun tôpô. Một $f$-cấu xạ $u$ của $M$ vào một phân thớ vectơ khác trên $A$ được gọi là $A$-tuyến tính nếu các ánh xạ $u_b$ là $A$-tuyến tính với mọi $b \in B$.

7.4. Các tiết diện

7.4.1. Cho $M$ là một phân thớ vectơ có cơ sở $B$. Với mọi tập mở $U$ của $B$, ta ký hiệu bởi $\mathscr{S}_M^r(U)$ tập hợp các tiết diện cấp $C^r$ của $M$ trên $U$, nghĩa là, các cấu xạ cấp $C^r$ từ $U$ vào $M$ sao cho $s(b) \in M_b$ với mọi $b \in U$. Tập hợp này được trang bị một cấu trúc môđun trên vành các hàm cấu xạ $\mathscr{C}^r(U)$ theo các quy tắc:

(1)

7.4.2. Cho $M_1, \ldots, M_d$ và $N$ là các bó vectơ có cơ sở $M$ và cho $u$ là một cấu xạ đa tuyến tính từ $M_1 \times_B \ldots \times_B M_d$ vào $N$. Với $1 \leq j \leq d$, giả sử ta cho một tiết diện $s_j$ của $M_j$ trên một tập mở $U$ của $B$; ta định nghĩa một tiết diện $u(s_1, \ldots, s_d)$ của $N$ trên $U$ bởi công thức:

Ánh xạ $(s_1, \ldots, s_d) \mapsto u(s_1, \ldots, s_d)$ là đa tuyến tính trên $\mathscr{C}^r(U)$. Đôi khi nó được ký hiệu là $\mathscr{S}(u)$.

7.4.3. Cho $f$ là một cấu xạ từ một đa tạp $B'$ vào $B$ và cho $M$ là một bó vectơ có cơ sở $B$. Với mọi tập mở $U$ của $B$ và mọi $s \in \mathscr{S}_M^r(U)$, ánh xạ $x \mapsto (x, s(f(x)))$ là một tiết diện cấp $C^r$ của $f^*M$ trên tập mở $f^{-1}(U)$, được ký hiệu là $f^*s$ và gọi là ảnh ngược của $s$ bởi $f$. Ánh xạ $s \mapsto f^*s$ từ $\mathscr{S}_M^r(U)$ vào $\mathscr{S}_{f^*M}(f^{-1}(U))$ là nửa tuyến tính đối với đồng cấu $g \mapsto g \circ (f|f^{-1}(U))$ từ $\mathscr{C}^r(U)$ vào $\mathscr{C}^r(f^{-1}(U))$.

Nếu hơn nữa $N$ là một bó vectơ có cơ sở $B'$ và $g$ là một $f$-đối cấu xạ từ $M$ vào $N$, đôi khi người ta ký hiệu bởi $\mathscr{S}(g)$ ánh xạ $s \mapsto g \circ f^*s$ từ $\mathscr{S}_M^r(U)$ vào $\mathscr{S}_N^r(f^{-1}(U))$.

7.4.4. Cho $M$ là một bó vectơ với cơ sở $B$, có hạng hữu hạn. Một khung của $M$ trên một tập mở $U$ của $B$ được gọi là một dãy hữu hạn $(s_1, \ldots, s_n)$ các tiết diện của $M$ trên $U$ sao cho $(s_1(b), \ldots, s_n(b))$ là một cơ sở của không gian vectơ $M_b$ với mọi $b \in B$. Khi đó dãy $(s_1, \ldots, s_n)$ là một cơ sở của $\mathscr{C}^r(U)$-môđun $\mathscr{S}_M^r(U)$. Nếu $f$ là một cấu xạ từ một đa tạp $B'$ vào $B$, thì các tiết diện $f^*s_j$ lập thành một khung của $f^*M$ trên $f^{-1}(U)$.

7.4.5. Cho $L$ là một trường, được trang bị một cấu trúc đại số trên $K$ có số chiều hữu hạn và cho $(M, B, \pi)$ là một phân thớ. Giả sử rằng trên mỗi thớ $M_b$ đã cho một cấu trúc không gian vectơ trên $L$, có số chiều hữu hạn. Khi đó tồn tại nhiều nhất một cấu trúc bó vectơ trên $L$ với cơ sở $B$ trên $M$, tương thích với ánh xạ $\pi$, cấu trúc đa tạp của $M$ và các cấu trúc không gian vectơ trên $L$ trên các thớ (7.3.4). Để một cấu trúc như vậy tồn tại, điều kiện cần và đủ là điều kiện sau được thỏa mãn:

(FV) Với mọi $b_0 \in B$, tồn tại một lân cận mở $U$ của $b_0$ trong $B$ và một đẳng cấu đa tạp $\varphi$ từ $\pi^{-1}(U)$ lên tích $U \times F$ của $U$ với một không gian vectơ $F$ trên $L$ có số chiều hữu hạn, sao cho với mọi $b \in U$, song ánh $\varphi_b$ từ $M_b$ lên $F$ cảm sinh bởi $\varphi$ là một đẳng cấu các không gian vectơ trên trường $L$.

Khi đó các bộ ba $(U, \varphi, F)$ thỏa mãn (FV) là các bản đồ địa phương của bó vectơ của bó vectơ $M$.

Điều kiện (FV) tương đương với: (FV') Với mọi $b_0 \in B$, tồn tại một số nguyên $n$ và $n$ tiết diện $s_1, \ldots, s_n$ của $M$ trên một lân cận mở $U$ của $b_0$ sao cho ánh xạ

7.4.6. Cho $M_1, \ldots, M_d$ và $N$ là các bó vectơ có cơ sở $B$, trong đó các $M_j$ có hạng hữu hạn. Giả sử rằng với mọi tập mở $U$ của $B$ ta được cho một ánh xạ $\varphi_U$ từ $\mathscr{S}_{M_1}^r(U) \times \cdots \times \mathscr{S}_{M_d}^r(U)$ vào $\mathscr{S}_N^r(U)$, $\mathscr{C}^r(U)$-đa tuyến tính, sao cho với $V \subset U$ ta có:

Khi đó tồn tại một và chỉ một cấu xạ đa tuyến tính $u$ từ $M_1 \times_B \ldots \times_B M_d$ vào $N$ sao cho $\varphi_U(s_1, \ldots, s_d) = u(s_1, \ldots, s_d)$ với mọi tiết diện $s_j$ của $M$ trên tập mở $U$ của $B$.

7.4.7. Cho $f$ là một cấu xạ của một đa tạp $B'$ vào $B$ và cho $M$ (tương ứng $M'$) là một bó vectơ có cơ sở $B$ (tương ứng $B'$) và có hạng hữu hạn. Giả sử rằng với mọi tập mở $U$ của $B$ ta được cho một ánh xạ $\varphi_U$ từ $\mathscr{S}_M^r(U)$ vào $\mathscr{S}_{M'}^{r'}(f^{-1}(U))$, $\mathscr{C}^r(U)$-nửa tuyến tính, sao cho

với mọi tập mở $V \subset U$. Khi đó tồn tại một và chỉ một $f$-đối cấu xạ $g$ từ $M$ vào $M'$ sao cho $\varphi_U(s) = \mathscr{S}(g)(s)$ với mọi $s \in \mathscr{S}_M^r(U)$.

*7.4.8. Cho $\mathscr{F}$ là một bó các môđun trên bó các vành $\mathscr{C}_B^r$. Ta nói rằng $\mathscr{F}$ là địa phương tự do nếu với mọi $b \in B$, tồn tại một lân cận mở $U$ của $b$ và một số nguyên $n$ sao cho $\mathscr{F}|U$ đẳng cấu (như một bó các $\mathscr{C}_U^r$-môđun) với bó $(\mathscr{C}_U^r)^n$.

Nếu $M$ là một bó vectơ có cơ sở $B$ và hạng hữu hạn, thì faisceau $\mathscr{S}_M^r$ là tự do địa phương. Ngược lại, với mọi faisceau tự do địa phương $\mathscr{F}$ trên $B$, tồn tại một bó vectơ $M$ và một đẳng cấu của faisceau từ $\mathscr{S}_M^r$ lên $\mathscr{F}$. Nếu $M'$ là một bó vectơ khác có cơ sở $B$ và hạng hữu hạn, thì ánh xạ $g \mapsto \mathscr{S}(g)$ là một song ánh từ tập hợp các $B$-cấu xạ của $M$ vào $M'$ lên tập hợp các cấu xạ của faisceau các $\mathscr{C}^r$-môđun từ $\mathscr{S}_M^r$ vào $\mathscr{S}_{M'}^{r'}$*

7.5. Bó vectơ con, bó vectơ thương, dãy khớp

Trong số này, bó vectơ có nghĩa là bó vectơ có cơ sở $B$ và cấu xạ của các bó vectơ có nghĩa là một $\\mathrm{Id}_B$-cấu xạ.

7.5.1. Cho $M$ là một bó vectơ. Một tập con $M'$ của $M$ được gọi là một bó vectơ con của $M$ nếu, với mọi điểm $b \in B$, tồn tại một bản đồ vectơ $t = (U, \varphi, E)$ của $M$ tại $b$ và một không gian con vectơ đóng $F$ của $E$ có một phần bù tôpô, sao cho

Trong các điều kiện đó, trên $M'$ tồn tại một và chỉ một cấu trúc bó vectơ sao cho đơn ánh chính tắc của $M'$ vào $M$ là một cấu xạ. Với mỗi $b \in B$, thớ $M'_b$ của $M'$ là không gian con vectơ đóng $M' \cap M_b$ của $M_b$; $M'$ là một đa tạp con đóng của $M$ và cấu trúc đa tạp nền của cấu trúc bó vectơ của $M'$ trùng với cấu trúc được cảm sinh bởi cấu trúc đa tạp của $M$.

7.5.2. Cho $M'$ là một bó vectơ con của $M$. Gọi $R\{x, y\}$ là quan hệ sau giữa các điểm $x, y$ của $M$: « tồn tại một phần tử $b$ của $B$ sao cho $x \in M_b, y \in M_b$ và $x - y \in M'_b$ ». Khi đó $R$ là một quan hệ tương đương chính quy trên $M$ (x. n° 5.9.7). Trên tập hợp $M/R$, tồn tại một và chỉ một cấu trúc bó vectơ sao cho ánh xạ chính tắc từ $M$ lên $M/R$ là một cấu xạ. Ta ký hiệu nó bởi $M/M'$ và gọi bó vectơ được xác định như vậy là thương của $M$ bởi $M'$; với mỗi điểm $b$ của $B$, bó $(M/M')_b$ là không gian vectơ tôpô thương $M_b/M'_b$ và cấu trúc đa tạp trên $M/M'$ là thương của cấu trúc đa tạp trên $M$.

7.5.3. Giữ các giả thiết của 7.5.2. Với mọi điểm $b_0$ của $B$, ta có thể tìm được một lân cận mở $U$ của $b_0$, một không gian Banach $F$, là tổng trực tiếp của hai không gian con đóng $F'$ và $F''$, và một đẳng cấu bó vectơ $\iota$ từ $F_U$ lên $M|U$ với các tính chất sau: (i) Hạn chế $\iota'$ của $\iota$ lên $U \times F'$ là một đẳng cấu từ $F'_U$ lên $M'|U$. (ii) Nếu $\rho$ là ánh xạ chính tắc từ $M$ lên $M'' = M/M'$, và nếu $\iota''$ là hạn chế của $\iota$ lên $U \times F''$, thì ánh xạ $\rho \circ \iota''$ là một đẳng cấu từ $F''_U$ lên $M''|U$.

7.5.4. Nếu một cấu xạ của các bó vectơ $g : L \to M$ có ảnh được chứa trong $M'$, thì nó là một cấu xạ của các bó vectơ từ $L$ vào $M'$. Bây giờ xét một cấu xạ của các bó vectơ $h : M \to N$ và giả sử rằng, với mọi $b$ thuộc $B$, hạn chế của $h_b$ lên $M'_b$ bằng không. Nếu $\rho$ là cấu xạ chính tắc từ $M$ lên $M/M'$, thì tồn tại một và chỉ một cấu xạ $\bar{h}$ từ $M/M'$ vào $N$ sao cho $h = \bar{h} \circ \rho$.

7.5.5. Cho $P$ và $Q$ là hai bó vectơ, và cho $g$ là một cấu xạ từ $P$ vào $Q$; với mọi điểm $b$ của $B$, ký hiệu bởi $N_b$ và $I_b$ tương ứng là hạt nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính $g_b : P_b \to Q_b$. Đặt $N = \bigcup_{b \in B} N_b$ và $I = \bigcup_{b \in B} I_b$. Cấu xạ $g$ được gọi là trực tiếp địa phương nếu $N$ là một bó vectơ con của $P$ và $I$ là một bó vectơ con của $Q$. Khi đó cấu xạ $g$ xác định, bằng cách chuyển qua thương, một đẳng cấu từ $P/N$ lên $I$. Người ta nói rằng $N$ là hạt nhân của $g$ và ký hiệu nó bởi $\mathrm{Ker}\,g$. Tương tự, bó con $I$ được gọi là ảnh của $g$ và được ký hiệu bởi $\mathrm{Im}\,g$. Nếu $r \geqslant \infty$, cấu xạ $g$ là trực tiếp địa phương khi và chỉ khi $g$ là một phép dưới-ngâm. Nếu $P$ có hạng hữu hạn, cấu xạ $g$ là trực tiếp địa phương khi và chỉ khi hạng vectơ của $g$ là hằng địa phương, hay tương đương, khi và chỉ khi $g$ là một phép dưới-ngâm.

7.5.6. Cho $M \xrightarrow{f} M' \xrightarrow{g} M''$ là hai cấu xạ của các bó vectơ. Ta nói rằng dãy $(f, g)$ là khớp trực tiếp địa phương nếu hai cấu xạ $f$ và $g$ là trực tiếp địa phương và nếu $\operatorname{Im} f = \operatorname{Ker} g$. Nếu $g \circ f = 0$, tập hợp $D$ các điểm $b \in B$ sao cho dãy $M_b \xrightarrow{f_b} M'_b \xrightarrow{g_b} M''_b$ là khớp trực tiếp (nghĩa là $\operatorname{Ker} f_b$ và $\operatorname{Im} g_b$ có các phần bù tôpô và $\operatorname{Im} f_b = \operatorname{Ker} g_b$) là mở, và dãy $M|D \xrightarrow{f} M'|D \xrightarrow{g} M''|D$ là khớp trực tiếp địa phương.

Người ta định nghĩa tương tự các dãy khớp trực tiếp địa phương có độ dài tùy ý. Do lạm dụng ngôn ngữ, đôi khi người ta nói dãy khớp trực tiếp thay cho dãy khớp trực tiếp địa phương.

7.5.7. Cho $0 \to M \xrightarrow{f} M' \xrightarrow{g} M'' \to 0$ là một dãy các cấu xạ của các bó vectơ. Để dãy này là khớp trực tiếp địa phương, điều kiện cần và đủ là $f$ là một đẳng cấu từ $M$ lên một bó vectơ con $f(M)$ của $M'$ và $g$ định nghĩa, bằng cách chuyển qua thương, một đẳng cấu của bó vectơ thương $M'/f(M)$ lên $M''$.

7.6. Hàm tử vectơ

Trong số này và trong ba số tiếp theo 7.7 đến 7.9, chữ I chỉ một tập hợp hữu hạn, hợp của hai tập con rời nhau $I_+$ và $I_-$. Ta ký hiệu bởi $\mathscr{V} = (V_i)_{i \in I}$ (và tương tự bởi $\mathscr{V}', \mathscr{V}'', \ldots$) một họ các không gian Banach được đánh chỉ số bởi $I$. Ta ký hiệu bởi $\operatorname{Hom}(\mathscr{V}, \mathscr{V}')$ không gian Banach $\prod_{i \in I_+} \mathscr{L}(V_i; V'_i) \times \prod_{i \in I_-} \mathscr{L}(V'_i; V_i)$ và bởi $f = (f_i)$ một phần tử của $\operatorname{Hom}(\mathscr{V}, \mathscr{V}')$. Ta ký hiệu bởi $\operatorname{Id}_{\mathscr{V}}$ phần tử $(\operatorname{Id}_{V_i})_{i \in I}$ của $\operatorname{Hom}(\mathscr{V}, \mathscr{V})$. Với $f \in \operatorname{Hom}(\mathscr{V}, \mathscr{V}')$ và $f' \in \operatorname{Hom}(\mathscr{V}', \mathscr{V}'')$, ta ký hiệu bởi $f' \circ f$ phần tử của $\operatorname{Hom}(\mathscr{V}, \mathscr{V}'')$ mà các thành phần được cho bởi: