Bourbaki

§ 7. Fibrés vectoriels

Dans tout ce paragraphe, la lettre B désigne une variété de classe CrC^r (r⩾1r \geqslant 1) et la lettre M désigne un ensemble muni d'une application π\pi de M dans B. On dit que B est la base de M et pour tout b∈Bb \in B, on désigne par MbM_b et on appelle fibre de M en bb le sous-ensemble π−1(b)\pi^{-1}(b) de M.

7.1. Définition des fibrés vectoriels

7.1.1. Une carte vectorielle de M est un triplet t=(U,φ,F)t = (U, \varphi, F), où U est un ouvert de B, où F est un espace de Banach et φ\varphi une bijection de π−1(U)\pi^{-1}(U) sur U×FU \times F telle que π(φ−1(b,h))=b\pi(\varphi^{-1}(b, h)) = b pour tout b∈Bb \in B et tout h∈Fh \in F. On dit que U est le domaine de la carte vectorielle t et que t est une carte vectorielle de M en b∈Bb \in B si b∈Ub \in U. Pour tout b∈Ub \in U, on note tbt_b la bijection de F sur MbM_b définie par tb(h)=φ−1(b,h)t_b(h) = \varphi^{-1}(b, h) pour h∈Fh \in F.

7.1.2. On dit que deux cartes vectorielles t=(U,φ,F)t = (U, \varphi, F) et t′=(U′,φ′,F′)t' = (U', \varphi', F') de M sont CrC^r-compatibles (ou simplement compatibles) s'il existe une application λ\lambda de classe CrC^r de la variété U∩U′U \cap U' dans l'espace de Banach L(F;F′)\mathscr{L}(F; F') telle que:

tb=tb′∘λ(b)pour tout b∈U∩U′. t_b = t'_b \circ \lambda(b) \quad \text{pour tout } b \in U \cap U'.

7.1.3. On dit qu'un ensemble de cartes vectorielles de M est un CrC^r-atlas vectoriel (ou simplement atlas vectoriel) de M s'il se compose de cartes vectorielles deux à deux CrC^r-compatibles dont les domaines ont B pour réunion. On dit que deux atlas vectoriels A\mathscr{A} et B\mathscr{B} de M sont CrC^r-équivalents (ou équivalents) si A∪B\mathscr{A} \cup \mathscr{B} est encore un atlas vectoriel de M. Cette relation est une relation d'équivalence.

7.1.4. Une structure de fibré vectoriel de classe CrC^r (de base B) sur M est la donnée d'une classe d'atlas vectoriels équivalents (Ens., Chap. II, § 6, n° 9). Une carte vectorielle appartenant à un atlas vectoriel de cette classe est appelée une carte vectorielle du fibré vectoriel M.

Soit M un fibré vectoriel de base B. Pour tout b∈Bb \in B, il existe sur la fibre MbM_b une structure d'espace de Banach et une seule telle que, pour toute carte vectorielle t=(U,φ,F)t = (U, \varphi, F) du fibré vectoriel M en bb, l'application tbt_b soit un isomorphisme de F sur MbM_b.

Soit c=(U,ψ,E)c = (U, \psi, E) une carte de la variété B et soit t=(U,φ,F)t = (U, \varphi, F) une carte vectorielle du fibré vectoriel M, de même domaine U. Pour x∈π−1(U)x \in \pi^{-1}(U), posons:

α(x)=(ψ(π(x)),tπ(x)−1(x)). \alpha(x) = (\psi(\pi(x)), t_{\pi(x)}^{-1}(x)).

Alors, le triplet (π−1(U),α,E×F)(\pi^{-1}(U), \alpha, E \times F) est une carte de l’ensemble MM. Il existe sur MM une structure de variété de classe C′C' et une seule (dite sous-jacente à MM) pour laquelle toutes les cartes ainsi obtenues sont des cartes de la variété MM. Le triplet (M,B,π)(M, B, \pi) est alors une fibration (6.1.1).

7.1.5. Soit FF un espace de Banach. Posons M=B×FM = B \times F, l’application étant la première projection. Il existe sur MM une structure de fibré vectoriel (de base BB) et une seule pour laquelle (B,IdM,F)(B, \mathrm{Id}_M, F) est une carte vectorielle. On dit que B×FB \times F muni de cette structure est le fibré vectoriel trivial de base BB et de fibre FF et on le note parfois FBF_B. La structure de variété de FBF_B est la structure de variété produit et pour tout b∈Bb \in B, l’application h↦(b,h)h \mapsto (b, h) est un isomorphisme d’espaces de Banach de FF sur la fibre de FBF_B au point b∈Bb \in B. On note souvent 00 un fibré vectoriel trivial de fibre réduite à 00.

7.1.6. Soit MM un fibré vectoriel de base BB. Pour b∈Bb \in B, on appelle rang de MM en bb et on note rgb(M)\mathrm{rg}_b(M), la dimension (finie ou +∞+\infty) de l’espace de Banach MbM_b. On a dim⁡xM=dim⁡bB+rgbM\dim_x M = \dim_b B + \mathrm{rg}_b M pour b=π(x)b = \pi(x). La fonction b↦rgbMb \mapsto \mathrm{rg}_b M est localement constante. On dit que MM est de rang fini si rgbM<+∞\mathrm{rg}_b M < +\infty pour tout b∈Bb \in B.

7.2. Morphismes de fibrés vectoriels

7.2.1. Soient BB et B′B' deux variétés et soit ff un morphisme de BB dans B′B'. Soient MM un fibré vectoriel de base BB et M′M' un fibré vectoriel de base B′B'. On dit qu’une application gg de MM dans M′M' est un ff-morphisme de fibrés vectoriels si la condition suivante est réalisée :

Pour tout point b0∈Bb_0 \in B, il existe une carte vectorielle t=(U,φ,F)t = (U, \varphi, F) de MM en b0b_0, une carte vectorielle t′=(U′,φ′,F′)t' = (U', \varphi', F') de M′M' en f(b0)f(b_0) et une application λ\lambda de classe C′C' de UU dans L(F;F′)\mathscr{L}(F; F') telles que f(U)⊂U′f(U) \subset U' et que gb∘tb=tf(b)′∘λ(b)g_b \circ t_b = t'_{f(b)} \circ \lambda(b) pour tout b∈Ub \in U, où gbg_b est la restriction de gg à MbM_b.

Sous ces hypothèses, gg est un morphisme de variétés et pour tout b∈Bb \in B, gg induit une application linéaire continue de MbM_b dans Mf(b)′M'_{f(b)}. On appelle rang vectoriel de gg en b∈Bb \in B et on note rgb(g)\mathrm{rg}_b(g) le rang (fini ou +∞+\infty) de l’application linéaire gbg_b.

Réciproquement, si r⩾∞r \geqslant \infty ou si MM est de rang fini, un ff-morphisme de fibrations de (M,B,π)(M, B, \pi) dans (M′,B′,π′)(M', B', \pi') qui induit sur chaque fibre MbM_b une application linéaire de MbM_b dans Mf(b)′M'_{f(b)} (pour tout b∈Bb \in B), est un ff-morphisme de fibrés vectoriels.

7.2.2. Soit de plus f′f' un morphisme de B′B' dans une variété B′′B''. Si gg est un ff-morphisme de MM dans M′M', et si g′g' est un f′f'-morphisme de M′M' dans un fibré vectoriel M′′M'' de base B′′B'', l’application g′∘gg' \circ g est un (f′∘f)(f' \circ f)-morphisme de MM dans M′′M''. On a (g′∘g)b=gf(b)′∘gb(g' \circ g)_b = g'_{f(b)} \circ g_b pour tout bb dans BB.

7.2.3. Soient M et M' deux fibrés vectoriels de même base B. On appelle B-morphisme, ou simplement morphisme de M dans M' tout Id_B-morphisme. Le composé de deux morphismes est un morphisme.

Soit g un morphisme de fibrés vectoriels de M dans M'; si g est bijectif, c'est un isomorphisme de la variété M sur la variété M', l'application réciproque g−1g^{-1} est un morphisme de fibrés vectoriels de M' dans M et l'on a (g−1)b=gb−1(g^{-1})_b = g_b^{-1} pour tout b dans B. L'application g est alors un isomorphisme de fibrés vectoriels.

7.2.4. Soit f un morphisme d'une variété B' dans B et soit M un fibré vectoriel de base B. Posons M′=B′×BMM' = B' \times_B M et notons π′\pi' (resp. g) la restriction à M' de la projection de B′×MB' \times M sur B' (resp. M). Il existe sur M' une structure de fibré vectoriel de base B' (relativement à π′\pi') et une seule pour laquelle g est un f-morphisme. On dit que M' est le fibré vectoriel de base B' image réciproque de M par f et on le note f∗Mf^*M; le f-morphisme g est appelé le f-morphisme canonique de f∗Mf^*M dans M.

La structure de variété de f∗Mf^*M est celle du produit fibré des variétés B' et M au dessus de B (5.11.2); pour tout b∈B′b \in B', l'application x↦(b,x)x \mapsto (b, x) est un isomorphisme d'espaces de Banach de Mf(b)M_{f(b)} sur (f∗M)b(f^*M)_b.

La formation des images réciproques de fibrés vectoriels est transitive.

Soit N' un fibré vectoriel de base B' et soit h un f-morphisme de N' dans M. Il existe un B'-morphisme h~\tilde{h} et un seul de N' dans f∗Mf^*M tel que h=g∘h~h = g \circ \tilde{h}.

Soient N un fibré vectoriel de base B et v un B-morphisme de N dans M. Il existe un B'-morphisme et un seul, noté f∗vf^*v, de f∗Nf^*N dans f∗Mf^*M tel que le diagramme

f∗N→f∗vf∗M↓↓N→vM \begin{array}{ccc} f^*N & \xrightarrow{f^*v} & f^*M \\ \downarrow & & \downarrow \\ N & \xrightarrow{v} & M \end{array}

soit commutatif.

7.2.5. Soit B' une sous-variété de B et soit i l'injection canonique de B' dans B. Si M est un fibré vectoriel de base B, l'image réciproque i∗Mi^*M s'appelle le fibré vectoriel induit sur B' par M et se note M∣B′M|B'. Si t=(U,φ,F)t = (U, \varphi, F) est une carte vectorielle de M, alors (U∩B′,φ∣π−1(U∩B′),F)(U \cap B', \varphi|\pi^{-1}(U \cap B'), F) est une carte vectorielle de M∣B′M|B'. Le f-morphisme canonique de M∣B′M|B' dans M est un isomorphisme de variétés de M∣B′M|B' sur la sous-variété π−1(B′)\pi^{-1}(B') de M.

7.2.6. Soit f un morphisme d'une variété B' dans B et soit M (resp. M') un fibré vectoriel de base B (resp. B'). On appelle f-comorphisme de M dans M' un B'-morphisme de f∗Mf^*M dans M'. Lorsque B = B' et f=IdBf = \mathrm{Id}_B, la donnée d’un ff-comorphisme de MM dans M′M' équivaut à la donnée d’un BB-morphisme de MM dans M′M'.

Soit gg un ff-comorphisme de MM dans M′M'. Pour tout b∈B′b \in B', l’application gb:x↦g(b,x)g_b : x \mapsto g(b, x) de Mf(b)M_{f(b)} dans Mb′M'_b est une application linéaire continue.

Soit de plus f′f' un morphisme d’une variété B′′B'' dans B′B' et soit hh un f′f'-comorphisme de M′M' dans un fibré vectoriel M′′M'' de base B′′B''. L’application h∘f∗gh \circ f^*g de f′∗(f∗M)=(f∘f′)∗M{f'}^*(f^*M) = (f \circ f')^*M dans M′′M'' est alors un (f∘f′)(f \circ f')-comorphisme de MM dans M′′M'', noté h∘gh \circ g. Pour b∈B′′b \in B'', on a

(h∘g)b=hb∘gf′(b). (h \circ g)_b = h_b \circ g_{f'(b)}.

7.3. Morphismes multilinéaires

7.3.1. Soient M1,…,MdM_1, \ldots, M_d et NN des fibrés vectoriels de base BB, et soit uu une application de l’ensemble M1×B⋯×BMdM_1 \times_B \cdots \times_B M_d dans NN. On dit que uu est un morphisme multilinéaire (ou dd-linéaire) si la condition suivante est réalisée:

Pour tout b0∈Bb_0 \in B, il existe un voisinage ouvert UU de b0b_0 dans BB, des cartes vectorielles tj=(U,φj,Fj)t^j = (U, \varphi^j, F^j) de MjM_j (pour 1≤j≤d1 \leq j \leq d) et t=(U,φ,F)t = (U, \varphi, F) de NN, et une application λ\lambda de classe CrC^r de UU dans l’espace de Banach L(F1,…,Fd;F)\mathscr{L}(F^1, \ldots, F^d; F) des applications dd-linéaires continues de F1×⋯×FdF^1 \times \cdots \times F^d dans FF, tels que:

(tb∘λ(b))(x1,…,xd)=u(tb1(x1),…,tbd(xd)) (t_b \circ \lambda(b))(x_1, \ldots, x_d) = u(t_b^1(x_1), \ldots, t_b^d(x_d))

pour tout b∈Ub \in U et tous xj∈Fjx_j \in F^j.

Tout morphisme multilinéaire uu est un morphisme de variétés du produit fibré M1×B⋯×BMdM_1 \times_B \cdots \times_B M_d dans NN et induit pour tout b∈Bb \in B une application dd-linéaire continue ubu_b de (M1)b×⋯×(Md)b(M_1)_b \times \cdots \times (M_d)_b dans NbN_b.

Si ff est un morphisme de BB dans une variété B′B', un morphisme multilinéaire de M1×B⋯×BMdM_1 \times_B \cdots \times_B M_d dans un fibré vectoriel M′M' de base B′B' est par définition le composé d’un morphisme multilinéaire de M1×B⋯×BMdM_1 \times_B \cdots \times_B M_d dans f∗M′f^*M' avec le ff-morphisme canonique de f∗M′f^*M' dans M′M'.

Un morphisme bilinéaire est encore appelé un accouplement. Pour d=1d = 1, un morphisme linéaire est un morphisme au sens de 7.2.1. Pour d=0d = 0, un morphisme 0-linéaire s’identifie à une section de NN (7.4).

7.3.2. On appelle fibré en algèbres de base BB un fibré vectoriel AA de base BB, muni d’un accouplement de A×BAA \times_B A dans AA. Chaque fibre AbA_b est alors munie d’une structure de KK-algèbre. Si pour tout b∈Bb \in B, l’algèbre AbA_b a un élément unité, noté ebe_b, l’application b↦ebb \mapsto e_b est une section de AA (cf. 7.4). On dit qu’un fibré en algèbres AA est localement trivial si, pour tout point b0b_0 de BB, il existe une carte vectorielle t=(U,φ,E)t = (U, \varphi, E) de AA au point b0b_0 et une structure de KK-algèbre sur EE telles que tbt_b soit un isomorphisme d’algèbres de EE sur AbA_b pour tout b∈Ub \in U.

7.3.3. Soit AA un fibré en algèbres associatives avec élément unité de base BB. On appelle fibré en A-modules de base BB un fibré vectoriel MM de base BB muni d’un accouplement m:A×BM→Mm : A \times_B M \to M tel que l’application mb:Ab×Mb→Mbm_b : A_b \times M_b \to M_b définisse, pour tout b∈Bb \in B, une structure de AbA_b-module sur la fibre MbM_b.

Soient MM et M′M' deux fibrés en AA-modules. On appelle A-homomorphisme de MM dans M′M' tout morphisme g:M→M′g : M \to M' de fibrés vectoriels de base BB qui induit pour tout bb dans BB une application AbA_b-linéaire de MbM_b dans Mb′M'_b.

Supposons AA localement trivial. On dit qu’un fibré MM en AA-modules est localement trivial si pour tout point b0b_0 de BB, il existe une carte vectorielle t=(U,φ,E)t = (U, \varphi, E) de AA en b0b_0 comme dans 7.3.2, une carte vectorielle t′=(U,φ′,L)t' = (U, \varphi', L) de MM en b0b_0, et une structure de EE-module sur LL telles que, pour tout b∈Ub \in U, tb′t'_b soit un tbt_b-isomorphisme du AbA_b-module MbM_b sur le EE-module LL.

7.3.4. Soit AA une algèbre de Banach sur KK (par exemple un corps muni d’une structure de KK-algèbre de dimension finie). Le fibré trivial ABA_B est alors un fibré en algèbres, localement trivial. Un fibré en ABA_B-modules MM localement trivial est encore appelé un fibré vectoriel sur AA (de base BB). Les fibres MbM_b sont alors des AA-modules topologiques. Un ff-morphisme uu de MM dans un autre fibré vectoriel sur AA est dit AA-linéaire si les applications ubu_b sont AA-linéaires pour tout b∈Bb \in B.

7.4. Sections

7.4.1. Soit MM un fibré vectoriel de base BB. Pour tout ouvert UU de BB, on note SMr(U)\mathscr{S}_M^r(U) l’ensemble des sections de classe CrC^r de MM sur UU, c’est-à-dire des morphismes ss de classe CrC^r de UU dans MM tels que s(b)∈Mbs(b) \in M_b pour tout b∈Ub \in U. Cet ensemble est muni d’une structure de module sur l’anneau Cr(U)\mathscr{C}^r(U) des fonctions morphiques par les règles:

(1)

(s+s′)(b)=s(b)+s′(b) (s + s')(b) = s(b) + s'(b)
(2)
(φ⋅s)(b)=φ(b)⋅s(b) (\varphi \cdot s)(b) = \varphi(b) \cdot s(b)
pour s,s′s, s' dans SMr(U)\mathscr{S}_M^r(U) et φ\varphi dans Cr(U)\mathscr{C}^r(U). Lorsque l’ouvert UU varie, on obtient un faisceau SMr\mathscr{S}_M^r d’applications de BB dans MM (cf. n° 5.4.1), appelé faisceau des sections de MM.

7.4.2. Soient M1,…,MdM_1, \ldots, M_d et NN des fibrés vectoriels de base MM et uu un morphisme multilinéaire de M1×B…×BMdM_1 \times_B \ldots \times_B M_d dans NN. Pour 1≤j≤d1 \leq j \leq d, donnons-nous une section sjs_j de MjM_j sur un ouvert UU de BB; on définit une section u(s1,…,sd)u(s_1, \ldots, s_d) de NN sur UU par la formule:

u(s1,…,sd)(b)=ub(s1(b),…,sd(b))pour b∈U. u(s_1, \ldots, s_d)(b) = u_b(s_1(b), \ldots, s_d(b)) \quad \text{pour } b \in U.

L’application (s1,…,sd)↦u(s1,…,sd)(s_1, \ldots, s_d) \mapsto u(s_1, \ldots, s_d) est Cr(U)\mathscr{C}^r(U)-multilinéaire. On la note parfois S(u)\mathscr{S}(u).

7.4.3. Soit ff un morphisme d’une variété B′B' dans BB et soit MM un fibré vectoriel de base BB. Pour tout ouvert UU de BB et tout s∈SMr(U)s \in \mathscr{S}_M^r(U), l’application x↦(x,s(f(x)))x \mapsto (x, s(f(x))) est une section de classe CrC^r de f∗Mf^*M sur l’ouvert f−1(U)f^{-1}(U), notée f∗sf^*s et appelée image réciproque de ss par ff. L’application s↦f∗ss \mapsto f^*s de SMr(U)\mathscr{S}_M^r(U) dans Sf∗M(f−1(U))\mathscr{S}_{f^*M}(f^{-1}(U)) est semi-linéaire par rapport à l’homomorphisme g↦g∘(f∣f−1(U))g \mapsto g \circ (f|f^{-1}(U)) de Cr(U)\mathscr{C}^r(U) dans Cr(f−1(U))\mathscr{C}^r(f^{-1}(U)).

Si de plus NN est un fibré vectoriel de base B′B' et gg un ff-comorphisme de MM dans NN, on note parfois S(g)\mathscr{S}(g) l’application s↦g∘f∗ss \mapsto g \circ f^*s de SMr(U)\mathscr{S}_M^r(U) dans SNr(f−1(U))\mathscr{S}_N^r(f^{-1}(U)).

7.4.4. Soit MM un fibré vectoriel de base BB, de rang fini. On appelle repère de MM sur un ouvert UU de BB une suite finie (s1,…,sn)(s_1, \ldots, s_n) de sections de MM sur UU telle que (s1(b),…,sn(b))(s_1(b), \ldots, s_n(b)) soit une base de l’espace vectoriel MbM_b pour tout b∈Bb \in B. La suite (s1,…,sn)(s_1, \ldots, s_n) est alors une base du Cr(U)\mathscr{C}^r(U)-module SMr(U)\mathscr{S}_M^r(U). Si ff est un morphisme d’une variété B′B' dans BB, les sections f∗sjf^*s_j forment un repère de f∗Mf^*M sur f−1(U)f^{-1}(U).

7.4.5. Soit LL un corps, muni d’une structure de KK-algèbre de dimension finie et soit (M,B,π)(M, B, \pi) une fibration. Supposons donnée sur chaque fibre MbM_b une structure d’espace vectoriel sur LL, de dimension finie. Il existe alors au plus une structure de fibré vectoriel sur LL de base BB sur MM, compatible avec l’application π\pi, la structure de variété de MM et les structures LL-vectorielles sur les fibres (7.3.4). Pour qu’il en existe une, il faut et il suffit que la condition suivante soit réalisée :

(FV) Pour tout b0∈Bb_0 \in B, il existe un voisinage ouvert UU de b0b_0 dans BB et un isomorphisme de variétés φ\varphi de π−1(U)\pi^{-1}(U) sur le produit U×FU \times F de UU par un espace vectoriel FF sur LL de dimension finie, tel que pour tout b∈Ub \in U, la bijection φb\varphi_b de MbM_b sur FF induite par φ\varphi soit un isomorphisme d’espaces vectoriels sur le corps LL.

Les triplets (U,φ,F)(U, \varphi, F) satisfaisant à (FV) sont alors des cartes vectorielles du fibré vectoriel MM.

La condition (FV) est équivalente à : (FV') Pour tout b0∈Bb_0 \in B, il existe un entier nn et nn sections s1,…,sns_1, \ldots, s_n de MM sur un voisinage ouvert UU de b0b_0 tels que l’application

(b,a1,…,an)↦a1s1(b)+⋯+ansn(b) (b, a_1, \ldots, a_n) \mapsto a_1 s_1(b) + \cdots + a_n s_n(b)
soit un isomorphisme de la variété U×LnU \times L^n sur la variété π−1(U)\pi^{-1}(U).

7.4.6. Soient M1,…,MdM_1, \ldots, M_d et NN des fibrés vectoriels de base BB, les MjM_j étant de rang fini. Supposons donnée pour tout ouvert UU de BB une application φU\varphi_U de SM1r(U)×⋯×SMdr(U)\mathscr{S}_{M_1}^r(U) \times \cdots \times \mathscr{S}_{M_d}^r(U) dans SNr(U)\mathscr{S}_N^r(U), Cr(U)\mathscr{C}^r(U)-multilinéaire, telles que pour V⊂UV \subset U l’on ait:

φU(s1,…,sd)∣V=φV(s1∣V,…,sd∣V). \varphi_U(s_1, \ldots, s_d)|V = \varphi_V(s_1|V, \ldots, s_d|V).

Il existe alors un morphisme multilinéaire uu de M1×B…×BMdM_1 \times_B \ldots \times_B M_d dans NN et un seul tel que φU(s1,…,sd)=u(s1,…,sd)\varphi_U(s_1, \ldots, s_d) = u(s_1, \ldots, s_d) quelles que soient les sections sjs_j de MM sur l’ouvert UU de BB.

7.4.7. Soit ff un morphisme d’une variété B′B' dans BB et soit MM (resp. M′M') un fibré vectoriel de base BB (resp. B′B') et de rang fini. Supposons donnée pour tout ouvert UU de BB une application φU\varphi_U de SMr(U)\mathscr{S}_M^r(U) dans SM′r′(f−1(U)),Cr(U)\mathscr{S}_{M'}^{r'}(f^{-1}(U)), \mathscr{C}^r(U)-semi-linéaire, telles que

φU(s)∣f−1(V)=φV(s∣V) \varphi_U(s)|f^{-1}(V) = \varphi_V(s|V)

pour tout ouvert V⊂UV \subset U. Il existe alors un ff-comorphisme gg et un seul de MM dans M′M' tel que φU(s)=S(g)(s)\varphi_U(s) = \mathscr{S}(g)(s) pour tout s∈SMr(U)s \in \mathscr{S}_M^r(U).

*7.4.8. Soit F\mathscr{F} un faisceau de modules sur le faisceau d’anneaux CBr\mathscr{C}_B^r. On dit que F\mathscr{F} est localement libre si pour tout b∈Bb \in B, il existe un voisinage ouvert UU de bb et un entier nn tels que F∣U\mathscr{F}|U soit isomorphe (comme faisceau de CUr\mathscr{C}_U^r-modules) au faisceau (CUr)n(\mathscr{C}_U^r)^n.

Si MM est un fibré vectoriel de base BB de rang fini, le faisceau SMr\mathscr{S}_M^r est localement libre. Réciproquement, pour tout faisceau localement libre F\mathscr{F} sur BB, il existe un fibré vectoriel MM et un isomorphisme de faisceaux de SMr\mathscr{S}_M^r sur F\mathscr{F}. Si M′M' est un autre fibré vectoriel de base BB de rang fini, l’application g↦S(g)g \mapsto \mathscr{S}(g) est une bijection de l’ensemble des BB-morphismes de MM dans M′M' sur l’ensemble des morphismes de faisceaux de Cr\mathscr{C}^r-modules de SMr\mathscr{S}_M^r dans SM′r′\mathscr{S}_{M'}^{r'}*

7.5. Sous-fibrés vectoriels, fibrés vectoriels quotients, suites exactes

Dans ce numéro, on appelle fibré vectoriel un fibré vectoriel de base BB et morphisme de fibré vectoriels un IdB\mathrm{Id}_B-morphisme.

7.5.1. Soit MM un fibré vectoriel. Un sous-ensemble M′M' de MM est appelé un sous-fibré vectoriel de MM si, pour tout point b∈Bb \in B, il existe une carte vectorielle t=(U,φ,E)t = (U, \varphi, E) de MM en bb et un sous-espace vectoriel fermé FF de EE admettant un supplémentaire topologique, tels que

φ(π−1(U)∩M′)=U×F. \varphi(\pi^{-1}(U) \cap M') = U \times F.

Dans ces conditions, il existe sur M′M' une structure de fibré vectoriel et une seule pour laquelle l’injection canonique de M′M' dans MM est un morphisme. Pour chaque b∈Bb \in B, la fibre Mb′M'_b de M′M' est le sous-espace vectoriel fermé M′∩MbM' \cap M_b de MbM_b; M′M' est une sous-variété fermée de MM et la structure de variété sous-jacente à la structure de fibré vectoriel de M′M' coïncide avec celle induite par la structure de variété de MM.

7.5.2. Soit M′M' un sous-fibré vectoriel de MM. Notons R{x,y}R\{x, y\} la relation suivante entre points x,yx, y de MM: « il existe un élément bb de BB tel que x∈Mb,y∈Mbx \in M_b, y \in M_b et x−y∈Mb′x - y \in M'_b ». Alors RR est une relation d'équivalence régulière sur MM (cf. n° 5.9.7). Sur l'ensemble M/RM/R, il existe une structure de fibré vectoriel et une seule telle que l'application canonique de MM sur M/RM/R soit un morphisme. On note M/M′M/M' et l'on appelle quotient de MM par M′M' le fibré vectoriel ainsi défini ; pour chaque point bb de BB, le fibré (M/M′)b(M/M')_b est l'espace vectoriel topologique quotient Mb/Mb′M_b/M'_b et la structure de variété sur M/M′M/M' est quotient de celle de MM.

7.5.3. Conservons les hypothèses de 7.5.2. Pour tout point b0b_0 de BB, on peut trouver un voisinage ouvert UU de b0b_0, un espace de Banach FF, somme directe de deux sous-espaces fermés F′F' et F′′F'', et un isomorphisme de fibrés vectoriels ι\iota de FUF_U sur M∣UM|U avec les propriétés suivantes : (i) La restriction ι′\iota' de ι\iota à U×F′U \times F' est un isomorphisme de FU′F'_U sur M′∣UM'|U. (ii) Si ρ\rho est l'application canonique de MM sur M′′=M/M′M'' = M/M', et si ι′′\iota'' est la restriction de ι\iota à U×F′′U \times F'', l'application ρ∘ι′′\rho \circ \iota'' est un isomorphisme de FU′′F''_U sur M′′∣UM''|U.

7.5.4. Si un morphisme de fibrés vectoriels g:L→Mg : L \to M a son image contenue dans M′M', c'est un morphisme de fibrés vectoriels de LL dans M′M'. Considérons maintenant un morphisme de fibrés vectoriels h:M→Nh : M \to N et supposons que, pour tout bb dans BB, la restriction de hbh_b à Mb′M'_b soit nulle. Si ρ\rho est le morphisme canonique de MM sur M/M′M/M', il existe un morphisme hˉ\bar{h} de M/M′M/M' dans NN et un seul tel que h=hˉ∘ρh = \bar{h} \circ \rho.

7.5.5. Soient PP et QQ deux fibrés vectoriels, et gg un morphisme de PP dans QQ; pour tout point bb de BB, notons NbN_b et IbI_b respectivement le noyau et l'image de l'application linéaire gb:Pb→Qbg_b : P_b \to Q_b. Posons N=⋃b∈BNbN = \bigcup_{b \in B} N_b et I=⋃b∈BIbI = \bigcup_{b \in B} I_b. On dit que le morphisme gg est localement direct si NN est un sous-fibré vectoriel de PP et II un sous-fibré vectoriel de QQ. Le morphisme gg définit alors par passage au quotient un isomorphisme de P/NP/N sur II. On dit que NN est le noyau de gg et on le note Ker g\mathrm{Ker}\,g. De même, le sous-fibré II est appelé l'image de gg et est noté Im g\mathrm{Im}\,g. Si r⩾∞r \geqslant \infty, le morphisme gg est localement direct si et seulement si gg est une subimmersion. Si PP est de rang fini, le morphisme gg est localement direct si et seulement si le rang vectoriel de gg est localement constant ou encore si et seulement si gg est une subimmersion.

7.5.6. Soient M→fM′→gM′′M \xrightarrow{f} M' \xrightarrow{g} M'' deux morphismes de fibrés vectoriels. On dit que la suite (f,g)(f, g) est exacte localement directe si les deux morphismes ff et gg sont localement directs et si Im⁡f=Ker⁡g\operatorname{Im} f = \operatorname{Ker} g. Si g∘f=0g \circ f = 0, l’ensemble DD des points b∈Bb \in B tels que la suite Mb→fbMb′→gbMb′′M_b \xrightarrow{f_b} M'_b \xrightarrow{g_b} M''_b soit exacte directe (c’est-à-dire tels que Ker⁡fb\operatorname{Ker} f_b et Im⁡gb\operatorname{Im} g_b admettent des supplémentaires topologiques et que Im⁡fb=Ker⁡gb\operatorname{Im} f_b = \operatorname{Ker} g_b) est ouvert et la suite M∣D→fM′∣D→gM′′∣DM|D \xrightarrow{f} M'|D \xrightarrow{g} M''|D est exacte localement directe.

On définir de même les suites exactes localement directes de longueur quelconque. Par abus de langage, on dit parfois suite exacte directe au lieu de suite exacte localement directe.

7.5.7. Soit 0→M→fM′→gM′′→00 \to M \xrightarrow{f} M' \xrightarrow{g} M'' \to 0 une suite de morphismes de fibrés vectoriels. Pour que cette suite soit exacte localement directe, il faut et il suffit que ff soit un isomorphisme de MM sur un sous-fibré vectoriel f(M)f(M) de M′M' et que gg définisse par passage au quotient un isomorphisme du fibré vectoriel quotient M′/f(M)M'/f(M) sur M′′M''.

7.6. Foncteurs vectoriels

Dans ce n° et dans les trois n°s suivants 7.7 à 7.9, la lettre I désigne un ensemble fini, réunion de deux sous-ensembles disjoints I+I_+ et I−I_-. On désigne par V=(Vi)i∈I\mathscr{V} = (V_i)_{i \in I} (et de manière analogue par V′,V′′,…\mathscr{V}', \mathscr{V}'', \ldots) une famille d’espaces de Banach indexée par II. On désigne par Hom⁡(V,V′)\operatorname{Hom}(\mathscr{V}, \mathscr{V}') l’espace de Banach ∏i∈I+L(Vi;Vi′)×∏i∈I−L(Vi′;Vi)\prod_{i \in I_+} \mathscr{L}(V_i; V'_i) \times \prod_{i \in I_-} \mathscr{L}(V'_i; V_i) et par f=(fi)f = (f_i) un élément de Hom⁡(V,V′)\operatorname{Hom}(\mathscr{V}, \mathscr{V}'). On note Id⁡V\operatorname{Id}_{\mathscr{V}} l’élément (Id⁡Vi)i∈I(\operatorname{Id}_{V_i})_{i \in I} de Hom⁡(V,V)\operatorname{Hom}(\mathscr{V}, \mathscr{V}). Pour f∈Hom⁡(V,V′)f \in \operatorname{Hom}(\mathscr{V}, \mathscr{V}') et f′∈Hom⁡(V′,V′′)f' \in \operatorname{Hom}(\mathscr{V}', \mathscr{V}''), on note f′∘ff' \circ f l’élément de Hom⁡(V,V′′)\operatorname{Hom}(\mathscr{V}, \mathscr{V}'') dont les composantes sont données par:

(f′∘f)i=fi′∘fisi i∈I+ (f' \circ f)_i = f'_i \circ f_i \quad \text{si } i \in I_+
(f′∘f)i=fi∘fi′si i∈I− (f' \circ f)_i = f_i \circ f'_i \quad \text{si } i \in I_-

7.6.1. On appelle foncteur vectoriel (resp. foncteur vectoriel en dimension finie) de type I et de classe CrC^r la donnée pour toute famille V=(Vi)i∈I\mathscr{V} = (V_i)_{i \in I} d’espaces de Banach (resp. d’espaces vectoriels de dimension finie sur KK) d’un espace de Banach τ(V)\tau(\mathscr{V}) et pour tout f∈Hom⁡(V,V′)f \in \operatorname{Hom}(\mathscr{V}, \mathscr{V}') d’un élément τ(f)∈L(τ(V);τ(V′))\tau(f) \in \mathscr{L}(\tau(\mathscr{V}); \tau(\mathscr{V}')), ces données étant assujetties aux deux conditions suivantes: (a) On a τ(Id⁡V)=Id⁡τ(V)\tau(\operatorname{Id}_\mathscr{V}) = \operatorname{Id}_{\tau(\mathscr{V})} et τ(f′∘f)=τ(f′)∘τ(f)\tau(f' \circ f) = \tau(f') \circ \tau(f). (b) L’application τ:Hom⁡(V,V′)→L(τ(V);τ(V′))\tau : \operatorname{Hom}(\mathscr{V}, \mathscr{V}') \to \mathscr{L}(\tau(\mathscr{V}); \tau(\mathscr{V}')) est de classe CrC^r.

7.6.2. Soit M=(Mi)i∈I\mathscr{M} = (M^i)_{i \in I} une famille de fibrés vectoriels de base BB. Pour b∈Bb \in B, posons Mb=(Mbi)i∈I\mathscr{M}_b = (M^i_b)_{i \in I}. Soit τ\tau un foncteur vectoriel et soit τ(M)\tau(\mathscr{M}) l’ensemble somme des τ(Mb)\tau(\mathscr{M}_b) pour b∈Bb \in B; il existe sur τ(M)\tau(\mathscr{M}) une structure de fibré vectoriel et une seule (de base BB relativement à l’application π\pi de τ(M)\tau(\mathscr{M}) dans BB telle que pour tout b∈Bb \in B, on ait τ(Mb)={b}\tau(\mathscr{M}_b) = \{ b \}) possédant la propriété suivante:

Soit UU un ouvert de BB et, pour tout ii, soit ti=(U,φi,Fi)t^i = (U, \varphi_i, F_i) une carte vectorielle de MiM^i, de domaine UU; posons F=(Fi)i∈I\mathscr{F} = (F_i)_{i \in I} et soit ψb\psi_b l’élément de Hom(Mb,F)\mathrm{Hom}(\mathscr{M}_b, \mathscr{F}) défini par (ψb)i=(tbi)−1(\psi_b)_i = (t^i_b)^{-1} pour i∈I+i \in I_+ et (ψb)i=tbi(\psi_b)_i = t^i_b pour i∈I−i \in I_-; pour x∈π−1(U)x \in \pi^{-1}(U), posons ψ(x)=(π(x),τ(ψπ(x))(x))\psi(x) = (\pi(x), \tau(\psi_{\pi(x)})(x)). Alors le triplet (U,ψ,τ(F))(U, \psi, \tau(\mathscr{F})) est une carte vectorielle du fibré vectoriel τ(M)\tau(\mathscr{M}).

Muni de cette structure, τ(M)\tau(\mathscr{M}) s’appelle le fibré vectoriel déduit de la famille M\mathscr{M} par le foncteur vectoriel τ\tau.

7.6.3. Soit ff un morphisme de BB dans une variété B′B'. Soit M=(Mi)\mathscr{M} = (M^i) (resp. M′=(M′i)\mathscr{M}' = ({M'}^i)) un famille indexée par II de fibrés vectoriels de base BB (resp. B′B'). Pour tout i∈I+i \in I_+, soit gig_i un ff-morphisme de MiM^i dans M′i{M'}^i et pour tout i∈I−i \in I_-, soit gig_i un ff-comorphisme de M′i{M'}^i dans MiM^i. Posons g=(gi)i∈Ig = (g_i)_{i \in I} et pour b∈Bb \in B, posons gb=((gi)b)i∈Ig_b = ((g_i)_b)_{i \in I} (cf. 7.2.1 et 7.2.6). Il existe un ff-morphisme et un seul, noté τ(g)\tau(g), de τ(M)\tau(\mathscr{M}) dans τ(M′)\tau(\mathscr{M}') tel que τ(g)b=τ(gb)\tau(g)_b = \tau(g_b) pour tout b∈Bb \in B.

Si en particulier Mi=f∗M′iM^i = f^*{M'}^i, les gig_i étant les morphismes ou comorphismes canoniques, alors le BB-morphisme de τ(M)\tau(\mathscr{M}) dans f∗τ(M′)f^*\tau(\mathscr{M}') défini par τ(g)\tau(g) (7.2.4) est un isomorphisme : on exprime ce fait en disant que τ\tau commute aux images réciproques.

En particulier soit B′B' une sous-variété de BB et posons M∣B′=(Mi∣B′)i∈I\mathscr{M}|B' = (M^i|B')_{i \in I}. Les fibrés vectoriels τ(M)∣B′\tau(\mathscr{M})|B' et τ(M∣B′)\tau(\mathscr{M}|B') sont alors canoniquement B′B'-isomorphes.

7.6.4. Soient τ,τ1,…,τd\tau, \tau_1, \ldots, \tau_d des foncteurs vectoriels (de type II et de classe C′C'). Un morphism d-linéaire θ\theta de (τ1,…,τd)(\tau_1, \ldots, \tau_d) dans τ\tau est la donnée pour toute famille V\mathscr{V} d’espaces de Banach indexée par II d’une application dd-linéaire continue θV\theta_{\mathscr{V}} de τ1(V)×⋯×τd(V)\tau_1(\mathscr{V}) \times \cdots \times \tau_d(\mathscr{V}) dans τ(V)\tau(\mathscr{V}), cette donnée satisfaisant à la condition suivante : pour tout f∈Hom(V′,V′′)f \in \mathrm{Hom}(\mathscr{V}', \mathscr{V}'') on a

τ(f)∘θV=θV′′∘(τ1(f)×⋯×τd(f)). \tau(f) \circ \theta_{\mathscr{V}} = \theta_{\mathscr{V}''} \circ (\tau_1(f) \times \cdots \times \tau_d(f)).
Pour d=1d = 1, on dit simplement un morphism de τ1\tau_1 dans τ\tau.

Soit alors M\mathscr{M} une famille indexée par II de fibrés vectoriels de base BB. Il existe un B-morphisme d-linéaire θM\theta_{\mathscr{M}} et un seul de τ1(M)×B⋯×Bτd(M)\tau_1(\mathscr{M}) \times_B \cdots \times_B \tau_d(\mathscr{M}) dans τ(M)\tau(\mathscr{M}) tel que (θM)b=θMb(\theta_{\mathscr{M}})_b = \theta_{\mathscr{M}_b} pour tout b∈Bb \in B.

Avec les notations de 7.6.3., on a

τ(g)∘θM=θM′∘(τ1(g)×⋯×τd(g)). \tau(g) \circ \theta_{\mathscr{M}} = \theta_{\mathscr{M}'} \circ (\tau_1(g) \times \cdots \times \tau_d(g)).
Si d=1d = 1, et si θ\theta est un isomorphisme (ce qui veut dire que θV\theta_{\mathscr{V}} est un isomorphisme pour toute famille V\mathscr{V}), alors θM\theta_{\mathscr{M}} est un isomorphisme.

7.6.5. Les définitions et résultats des n°s 7.6.2 à 7.6.4 s’étendent au cas des foncteurs vectoriels en dimension finie, à condition de supposer partout les fibrés vectoriels donnés de rang fini.

Ils s’étendent également au cas suivant : soit L un corps muni d’une structure de K-algèbre de dimension finie ; on prend pour τ un foncteur vectoriel sur L (i.e. satisfaisant aux hypothèses de 7.6.1 où l’on a remplacé K par L), et on ne considère que des fibrés vectoriels sur L au sens de 7.3.4.

7.6.6. On appelle foncteur vectoriel (resp. en dimension finie) pour les isomorphismes la donnée pour tout espace de Banach V (resp. tout espace vectoriel de dimension finie sur K) d’un espace de Banach τ(V) et pour tout isomorphisme f de V sur un espace de Banach V’ d’un isomorphisme τ(f) de τ(V) sur τ(V’), ces données étant assujetties à la condition (a) de 7.6.1 et à la condition suivante :

(b’) L’application f↦τ(f)f \mapsto \tau(f) du sous-ensemble ouvert de L(V;V′)\mathscr{L}(V; V') constitué par les isomorphismes de V sur V’, dans L(τ(V);τ(V′))\mathscr{L}(\tau(V); \tau(V')), est de classe CrC^r.

Les définitions et résultats des n°s précédents s’étendent au cas des foncteurs vectoriels pour les isomorphismes (en faisant I+={1}I_+ = \{1\} et I−=∅I_- = \varnothing), à l’exception de ceux du premier alinéa du n° 7.6.3.

7.7. Sommes directes, fibrés d’applications multilinéaires, dual

7.7.1. On suppose que I−=∅I_- = \varnothing. On définit un foncteur vectoriel σ appelé foncteur somme directe en posant σ(V)=⨁i∈IVi\sigma(\mathscr{V}) = \bigoplus_{i \in I} V_i et σ(f)=⨁i∈Ifi\sigma(\mathfrak{f}) = \bigoplus_{i \in I} f_i. Si M=(Mi)i∈I\mathscr{M} = (M^i)_{i \in I} est une famille de fibrés vectoriels de base B, le fibré vectoriel σ(M)\sigma(\mathscr{M}) est appelé la somme directe des MiM^i et est noté ⨁i∈IMi\bigoplus_{i \in I} M^i. Pour tout b∈Bb \in B, la fibre en bb de ⨁i∈IMi\bigoplus_{i \in I} M^i est la somme directe des fibres des MiM^i en bb.

Soit U un ouvert de B et soit si∈FMi(U)s_i \in \mathscr{F}_{M_i}(U) (pour i∈Ii \in I). L’application b↦∑i∈Isi(b)b \mapsto \sum_{i \in I} s_i(b) est alors une section, notée ∑isi\sum_i s_i, de classe CrC^r de M=⨁i∈IMiM = \bigoplus_{i \in I} M^i et l’application (si)i∈I↦∑isi(s_i)_{i \in I} \mapsto \sum_i s_i est un isomorphisme de Cr(U)\mathscr{C}^r(U)-modules de ⨁i∈IFMi(U)\bigoplus_{i \in I} \mathscr{F}_{M_i}(U) sur FM(U)\mathscr{F}_M(U).

La variété sous-jacente à ⨁i∈IMi\bigoplus_{i \in I} M^i s’identifie au produit fibré ∏BMi\prod_B M^i.

On désigne par pri\mathrm{pr}_i le morphisme de fibrés vectoriels de ⨁i∈IMi\bigoplus_{i \in I} M^i dans MiM^i qui sur chaque fibre ⨁i∈IMbi\bigoplus_{i \in I} M^i_b est la i-ème projection. On définit de même l’injection canonique jij_i de MiM^i dans ⨁i∈IMi\bigoplus_{i \in I} M^i.

Soit ff un morphisme de B dans une variété B′B'; soit H un second ensemble fini et soit N=(Nh)h∈H\mathscr{N} = (N^h)_{h \in H} une famille de fibrés vectoriels de base B′B'. L’application u→⨁i∈I(prh∘u∘ji)(h,i)∈H×Iu \to \bigoplus_{i \in I} (\mathrm{pr}_h \circ u \circ j_i)_{(h,i) \in H \times I} est une bijection de l’ensemble des ff-morphismes de ⨁i∈IMi\bigoplus_{i \in I} M^i dans ⨁h∈HNh\bigoplus_{h \in H} N^h sur l’ensemble des matrices (uh,i)(h,i)∈H×I(u_{h,i})_{(h,i) \in H \times I}, où uh,iu_{h,i} est un ff-morphisme de MiM^i dans NhN^h.

Si I={1,2}I = \{1,2\}, la suite

0→M1→j1M1⊕M2→pr2M2→0 0 \to M^{1} \xrightarrow{j_1} M^1 \oplus M^2 \xrightarrow{\mathrm{pr}_2} M^2 \to 0
est exacte directe.

Inversement, soit MM un fibré vectoriel de base BB et soit M′M' un sous-fibré vectoriel de MM. Supposons que la variété BB soit paracompacte et que l’une des deux conditions suivantes soit satisfaite : (i) KK est différent de R\mathbf{R} ou C\mathbf{C}; (ii) K=R,r≠ωK = \mathbf{R}, r \neq \omega et la variété BB admet des partitions de l’unité de classe CrC^r (5.3.6).

Il existe alors un sous-fibré vectoriel M′′M'' de MM tel que MM s’identifie à la somme directe M′⊕M′′M' \oplus M''.

7.7.2. Supposons que I+={0}I_+ = \{0\} et que I−={1,2,…,d}I_- = \{1,2,\ldots,d\}. On définit un foncteur vectoriel ηd\eta_d de type II et de classe CrC^r en posant ηd(V)=L(V1,…,Vd;V0)\eta_d(\mathscr{V}) = \mathscr{L}(V_1,\ldots,V_d; V_0) et ηd(f)(u)=f0∘u∘(f1×⋯×fd)\eta_d(f)(u) = f_0 \circ u \circ (f_1 \times \cdots \times f_d) pour u∈ηd(V)u \in \eta_d(\mathscr{V}). Si M=(Mi)i∈I\mathscr{M} = (M_i)_{i \in I} est une famille de fibrés vectoriels de base BB, le fibre vectoriel ηd(M)\eta_d(\mathscr{M}) se note L(M1,…,Md;M0)\mathscr{L}(M_1,\ldots,M_d; M_0).

Soit uu un morphisme multilinéaire de M1×B⋯×BMdM_1 \times_B \cdots \times_B M_d dans M0M_0. L’application u^:b↦ub\hat{u} : b \mapsto u_b est alors une section de L(M1,…,Md;M0)\mathscr{L}(M_1,\ldots,M_d; M_0) et l’application u↦u^u \mapsto \hat{u} est bijective.

7.7.3. Gardons les notations de 7.7.2 et supposons de plus que d=1d = 1. Le fibré vectoriel L(M1;M0)\mathscr{L}(M_1; M_0) s’appelle alors le fibré des homomorphismes de M1M_1 dans M0M_0. Ses sections correspondent aux BB-morphismes de M1M_1 dans M0M_0.

Si de plus M0M_0 est le fibré trivial KBK_B, le fibré vectoriel L(M1;KB)\mathscr{L}(M_1; K_B) s’appelle le dual de M=M1M = M_1 et se note M′M' : la fibre (M′)b(M')_b est l’espace des formes linéaires continues sur la fibre MbM_b de MM au point b∈Bb \in B.

Si ss (resp. tt) est une section de MM (resp. M′M') sur un ouvert UU de BB, l’application b↦(b,⟨s(b),t(b)⟩)b \mapsto (b, \langle s(b), t(b) \rangle) est une section, notée ⟨s,t⟩\langle s, t \rangle du fibré trivial KBK_B.1^1

7.8. Fibrés d’applications multilinéaires alternées

Dans les nos 7.8.1 à 7.8.5, on suppose que KK est de caractéristique 0 ou que les fibrés vectoriels considérés sont de rang fini. On ignore si la définition du foncteur αd\alpha_d donnée dans 7.8.1 peut se faire sans aucune restriction.

7.8.1. Prenons I+={0},I−={1}I_+ = \{0\}, I_- = \{1\} et soit dd un entier ⩾1\geqslant 1. On définit un

1^1 Lorsque MM est de rang fini, on écrit M∗M^* au lieu de M′M'.

foncteur vectoriel αd\alpha_d en désignant par αd(V)\alpha_d(\mathscr{V}) l’espace de Banach des applications dd-linéaires continues alternées de V1dV_1^d dans V0V_0 et en posant αd(f)(u)=f0∘u∘f1d\alpha_d(f)(u) = f_0 \circ u \circ f_1^d pour u∈αd(V)u \in \alpha_d(\mathscr{V}). Le fibré vectoriel αd((M1,M0))\alpha_d((M_1, M_0)) se note Altd(M1;M0)\mathrm{Alt}^d(M_1; M_0) et s’appelle le fibré vectoriel des applications dd-linéaires alternées de M1M_1 dans M0M_0.

L’injection canonique de Altd(M1;M0)\mathrm{Alt}^d(M_1; M_0) dans L(M1,…,M1;M0)\mathscr{L}(M_1, \ldots, M_1; M_0) est un morphisme de fibrés vectoriels ; Altd(M1;M0)\mathrm{Alt}^d(M_1; M_0) est un sous-fibré vectoriel de L(M1,…,M1;M0)\mathscr{L}(M_1, \ldots, M_1; M_0).

On a Alt1(M1;M0)=L(M1;M0)\mathrm{Alt}^1(M_1; M_0) = \mathscr{L}(M_1; M_0). On pose Alt0(M1;M0)=M0\mathrm{Alt}^0(M_1; M_0) = M_0.

Si ω\omega est une section 1^1 de Altd(M1;M0)\mathrm{Alt}^d(M_1; M_0) et si s1,…,sds_1, \ldots, s_d sont des sections de M1M_1, il existe une section et une seule de M0M_0, notée ω(s1,…,sd)\omega(s_1, \ldots, s_d), telle que

ω(s1,…,sd)(b)=ω(b)(s1(b),…,sd(b))pour tout b∈B. \omega(s_1, \ldots, s_d)(b) = \omega(b)(s_1(b), \ldots, s_d(b)) \quad \text{pour tout } b \in B.

7.8.2 Soit φ\varphi un accouplement de N×BN′N \times_B N' dans N′′N'' (cf. n° 7.3.1) ; pour chaque bb, on a une application bilinéaire φb\varphi_b de Nb×Nb′N_b \times N'_b dans Nb′′N''_b qui définit (cf. A, III, p. 142) une application bilinéaire de

Altd(M;N)b×Alte(M;N′)b \mathrm{Alt}^d(M; N)_b \times \mathrm{Alt}^e(M; N')_b
dans Altd+e(M;N′′)b\mathrm{Alt}^{d+e}(M; N'')_b. La collection de ces applications bilinéaires définit un accouplement uu de
Altd(M;N)×BAlte(M;N′) \mathrm{Alt}^d(M; N) \times_B \mathrm{Alt}^e(M; N')
dans Altd+e(M;N′′)\mathrm{Alt}^{d+e}(M; N''); si ω\omega et ω′\omega' sont respectivement des sections de Altd(M;N)\mathrm{Alt}^d(M; N) et Alte(M;N′)\mathrm{Alt}^e(M; N') sur un ouvert UU, la section u(ω,ω′)u(\omega, \omega') de Altd+e(M;N′′)\mathrm{Alt}^{d+e}(M; N'') sur UU sera notée ω∧φω′\omega \wedge_\varphi \omega', et appelée le produit extérieur de ω\omega et ω′\omega'. On a la formule : (1)
(ω∧φω′)(s1,…,sd+e)=∑σεσφ(ω(sσ(1),…,sσ(d)),ω′(sσ(d+1),…,sσ(d+e))) (\omega \wedge_\varphi \omega')(s_1, \ldots, s_{d+e}) = \sum_\sigma \varepsilon_\sigma \varphi(\omega(s_{\sigma(1)}, \ldots, s_{\sigma(d)}), \omega'(s_{\sigma(d+1)}, \ldots, s_{\sigma(d+e)}))
où les sis_i sont des sections de MM sur UU, et où la sommation est étendue aux permutations σ\sigma de {1,2,…,d+e}\{1, 2, \ldots, d+e\} telles que
σ(1)<⋯<σ(d)etσ(d+1)<⋯<σ(d+e). \sigma(1) < \cdots < \sigma(d) \quad \text{et} \quad \sigma(d+1) < \cdots < \sigma(d+e).

7.8.3. Soient MM un fibré vectoriel et AA un fibré en algèbres, de base BB. Supposons que les fibres AbA_b de AA soient des algèbres associatives et commutatives, possédant un élément unité, noté ebe_b. Pour tout ouvert UU de BB, nous noterons Ωd(U)\Omega^d(U) le Cr(U)\mathscr{C}^r(U)-module formé des sections du fibré Altd(M;A)\mathrm{Alt}^d(M; A) et Ω∗(U)\Omega^*(U) la somme directe des Ωd(U)\Omega^d(U) pour d≥0d \geq 0. Les multiplications sur chaque fibre définissent un accouplement de A×BAA \times_B A dans AA, d’où (7.8.2) une structure d’algèbre graduée sur Ω∗(U)\Omega^*(U), qui est associative et anticommutative. La sous-algèbre Ω0(U)\Omega^0(U) est l’algèbre des

¹ Le lecteur aura soin de ne pas confondre cet emploi de la lettre ω\omega avec celui défini p. 10.

sections de A. Un élément ω\omega de Ω1(U)\Omega^1(U) s'identifie à un U-morphisme de M∣UM|U dans A∣UA|U (7.7.3): si s∈SM′(U)s \in \mathscr{S}'_M(U), nous noterons ⟨ω,s⟩\langle \omega, s \rangle la section ω(s)\omega(s) de A (7.4.2). Soient sj∈SM′(U)s_j \in \mathscr{S}'_M(U) et ωj∈Ω1(U)\omega_j \in \Omega^1(U) (pour 1≤j≤d1 \leq j \leq d); on a:

(2)

ω(s1,…,sd)=det⁡(⟨ωi,sj⟩)pour ω=ω1∧…∧ωd. \omega(s_1, \ldots, s_d) = \det(\langle \omega_i, s_j \rangle) \quad \text{pour } \omega = \omega_1 \wedge \ldots \wedge \omega_d.

7.8.4. Soit d≥1d \geq 1. Il existe un accouplement ii de M×BAltd(M;A)M \times_B \mathrm{Alt}^d(M; A) dans Altd−1(M;A)\mathrm{Alt}^{d-1}(M; A) dont la restriction à chaque fibre est donnée par le produit intérieur droit (cf. A, III, p. 156). Si ss est une section de MM sur l'ouvert UU et si ω∈Ωd(U)\omega \in \Omega^d(U), on note i(s)ωi(s)\omega la section i(s,ω)i(s, \omega) de Altd−1(M;A)\mathrm{Alt}^{d-1}(M; A) sur UU; on pose i(s)ω=0i(s)\omega = 0 pour ω\omega dans Ω0(U)\Omega^0(U).

On associe ainsi à toute section ss de MM sur UU un endomorphisme du C′(U)\mathscr{C}'(U)-module Ω∗(U)\Omega^*(U). On a le formulaire:

(3)

(i(s)ω)(s1,…,sd−1)=ω(s,s1,…,sd−1)pour ω∈Ωd(U),d≥1(i(s)\omega)(s_1, \ldots, s_{d-1}) = \omega(s, s_1, \ldots, s_{d-1}) \quad \text{pour } \omega \in \Omega^d(U), d \geq 1
(4)
i(s)∘i(s)=0i(s) \circ i(s) = 0
(5)
i(s)ω=⟨ω,s⟩pour ω∈Ω1(U)i(s)\omega = \langle \omega, s \rangle \quad \text{pour } \omega \in \Omega^1(U)
(6)
i(s).(ω∧ω′)=i(s)ω∧ω′+(−1)dω∧i(s)ω′pour ω∈Ωd(U)i(s) . (\omega \wedge \omega') = i(s)\omega \wedge \omega' + (-1)^d \omega \wedge i(s)\omega' \quad \text{pour } \omega \in \Omega^d(U)
(7)
i(s)(ω1∧…∧ωp)=∑i=1p(−1)i+1⟨ωi,s⟩ω1∧…∧ω^i∧…∧ωd.i(s)(\omega_1 \wedge \ldots \wedge \omega_p) = \sum_{i=1}^p (-1)^{i+1} \langle \omega_i, s \rangle \omega_1 \wedge \ldots \wedge \hat{\omega}_i \wedge \ldots \wedge \omega_d.

Dans la dernière formule, les ωi\omega_i sont dans Ω1(U)\Omega^1(U) et le signe ^\hat{} indique que le symbole qu'il surmonte doit être omis.

Toutes les opérations décrites ci-dessus sur les sections sont multilinéaires sur l'anneau C′(U;K)\mathscr{C}'(U; K).

7.8.5. Soit L une algèbre de Banach sur K. Les définitions et résultats des n° 7.7 et 7.8 s'étendent au cas des fibrés vectoriels sur L : on définit de manière analogue les fibrés d'applications L-multilinéaires ou L-multilinéaires alternées.

7.9. Produits tensoriels, espaces tensoriels, algèbre extérieure

On garde les notations de 7.6. De plus, on désigne par L un corps commutatif muni d'une structure de K-algèbre de dimension finie et on appelle fibré vectoriel un fibré vectoriel sur L, de base B et de rang localement fini.

7.9.1. Supposons que I−=∅I_- = \varnothing. Si V\mathscr{V} et V′\mathscr{V}' sont deux familles indexées par I d'espaces vectoriels de dimension finie sur L, on désigne par τ(V)\tau(\mathscr{V}) le produit tensoriel des ViV_i pour i∈Ii \in I (A, II, p. 71) et si f∈Hom(V,V′)f \in \mathrm{Hom}(\mathscr{V}, \mathscr{V}'), on pose τ(f)=⊗fi\tau(f) = \otimes f_i. On définit ainsi un foncteur vectoriel sur L en dimension finie et si M=(Mi)i∈I\mathscr{M} = (M_i)_{i \in I} est une famille de fibrés vectoriels, on désigne par ⨂i∈IMi\bigotimes_{i \in I} M_i et on appelle produit tensoriel (sur L) des MiM_i le fibré vectoriel τ(M)\tau(\mathscr{M}).

Si sis_i est une section de MiM_i sur l’ouvert U de B (pour i∈Ii \in I), l’application b↦⨂i∈Isi(b)b \mapsto \bigotimes_{i \in I} s_i(b) est une section de ⨂i∈IMi\bigotimes_{i \in I} M_i, notée ⨂i∈Isi\bigotimes_{i \in I} s_i. L’application (si)i∈I↦⨂i∈Isi(s_i)_{i \in I} \mapsto \bigotimes_{i \in I} s_i est multilinéaire sur l’anneau Cr(U;L)\mathscr{C}^r(U;L).

7.9.2. Les isomorphismes canoniques définis dans Alg., chap. II fournissent des isomorphismes de foncteurs vectoriels. Il en résulte d’après 7.6.4 des isomorphismes de fibrés vectoriels. Par exemple, on a des isomorphismes canoniques :

(M1⊕M2)⊗M3⟶(M1⊗M3)⊕(M2⊗M3) (M_1 \oplus M_2) \otimes M_3 \longrightarrow (M_1 \otimes M_3) \oplus (M_2 \otimes M_3)
M1∗⊗M2⟶L(M1;M2) M_1^* \otimes M_2 \longrightarrow \mathscr{L}(M_1; M_2)

etc.

7.9.3. Soit M un fibré vectoriel et soient I et J deux ensembles finis disjoints. Le fibré tensoriel TJI(M)T^I_J(M) est défini comme le produit tensoriel ⨂α∈I∪JMα\bigotimes_{\alpha \in I \cup J} M_\alpha, où Mα=MM_\alpha = M si α∈I\alpha \in I, et Mα=M∗M_\alpha = M^* si α∈J\alpha \in J, M∗M^* désignant le dual de M (A, III, p. 63). La fibre TJI(M)bT^I_J(M)_b de ce fibré en un point bb est égale à l’espace tensoriel TJI(Mb)T^I_J(M_b) défini en Alg., loc. cit. Lorsque I={1,…,p}I = \{1, \ldots, p\} et J={p+1,…,p+q}J = \{p+1, \ldots, p+q\}, on écrit Tqp(M)T^p_q(M) au lieu de TJI(M)T^I_J(M); on a

Tqp(M)=(⨂pM)⊗(⨂qM∗). T^p_q(M) = (\bigotimes^p M) \otimes (\bigotimes^q M^*).
La donnée d’un ordre total sur I et sur J définit un isomorphisme canonique de TJI(M)T^I_J(M) sur Tqp(M)T^p_q(M).

7.9.4. Si I (resp. J) est réunion de deux sous-ensembles disjoints I' et I'' (resp. J' et J''), TJI(M)T^I_J(M) s’identifie canoniquement au produit tensoriel TJ′I′(M)⊗TJ′′I′′(M)T^{I'}_{J'}(M) \otimes T^{I''}_{J''}(M). En particulier, si s′s' (resp. s′′s'') est une section de TJ′I′(M)T^{I'}_{J'}(M) (resp. de TJ′′I′′(M)T^{I''}_{J''}(M)), le produit tensoriel s′⊗s′′s' \otimes s'' s’identifie à une section de TJI(M)T^I_J(M).

7.9.5. Le dual de TJI(M)T^I_J(M) s’identifie à TIJ(M)T^J_I(M).

7.9.6. Soient i∈Ii \in I et j∈Jj \in J. Pour tout b∈Bb \in B, l’homomorphisme de contraction des indices ii et jj est défini (cf. Alg., loc. cit.); c’est un homomorphisme (cji)b:TJI(Mb)→TJ−{j}I−{i}(Mb)(c^i_j)_b : T^I_J(M_b) \to T^{I-\{i\}}_{J-\{j\}}(M_b). La collection des (cji)b(c^i_j)_b définit un morphisme d’espaces fibrés vectoriels

cji:TJI(M)→TJ−{j}I−{i}(M), c^i_j : T^I_J(M) \to T^{I-\{i\}}_{J-\{j\}}(M),

appelé encore contraction des indices ii et jj. On définit de même la contraction des indices i1,…,iki_1, \ldots, i_k de II avec les indices j1,…,jkj_1, \ldots, j_k de JJ.

7.9.7. Soit dd un entier ⩾0\geqslant 0; soient VV et V′V' deux espaces vectoriels de dimension finie sur LL et f∈HomL(V,V′)f \in \mathrm{Hom}_L(V, V'); posons λd(V)=⋀d(V)\lambda_d(V) = \bigwedge^d(V) et λd(f)=⋀d(f)\lambda_d(f) = \bigwedge^d(f). On définit ainsi un foncteur vectoriel sur LL en dimension finie et, si MM est un fibré vectoriel, on note ⋀d(M)\bigwedge^d(M) et on appelle puissance extérieure dd-ème de MM (sur LL) le fibré vectoriel λd(M)\lambda_d(M).

L’application canonique de ⨂dV\bigotimes^d V sur ⋀d(V)\bigwedge^d(V) définit un morphisme de foncteurs vectoriels, d’où un morphisme, dit canonique, de ⨂dM\bigotimes^d M dans ⋀d(M)\bigwedge^d(M). Ce morphisme est surjectif.

Les isomorphismes canoniques de l’espace des applications dd-multilinéaires alternées sur l’espace ⋀d(V∗)\bigwedge^d(V^*) ou sur (⋀d(V))∗(\bigwedge^d(V))^* fournissent des isomorphismes, dits canoniques, du fibré vectoriel Altd(M;L)\mathrm{Alt}^d(M; L) des applications dd-multilinéaires alternées sur LL, sur le fibré vectoriel ⋀d(M∗)\bigwedge^d(M^*) ou sur (⋀d(M))∗(\bigwedge^d(M))^*.

7.9.8. Posons maintenant λ(V)=⋀(V)\lambda(V) = \bigwedge(V) et λ(f)=⋀(f)\lambda(f) = \bigwedge(f); on définit encore ainsi un foncteur vectoriel sur LL en dimension finie. Le fibré vectoriel λ(M)\lambda(M) se note ⋀(M)\bigwedge(M). Sa fibre ⋀(M)b\bigwedge(M)_b en b∈Bb \in B est l’algèbre extérieure (sur LL) de la fibre MbM_b. Le fibré vectoriel ⋀(M)\bigwedge(M) est un fibré vectoriel en algèbres localement trivial.

Les définitions et propriétés des produits intérieurs données en Alg., chap. III, 3e éd., § 10 s’étendent immédiatement aux sections des fibrés vectoriels ⋀(M)\bigwedge(M) et ⋀(M∗)\bigwedge(M^*) (cf. aussi les formules (1) à (7) des n° 7.8.2 à 7.8.4).

7.9.9. Soit MM un fibré vectoriel. Pour tout entier nn, soit BnB_n l’ensemble (ouvert) des points b∈Bb \in B tels que la dimension (sur LL) de MbM_b soit égale à nn. Pour b∈Bnb \in B_n, posons Nb=⋀n(Mb)N_b = \bigwedge^n(M_b) et soit NN l’ensemble somme des NbN_b pour b∈Bb \in B. Il existe sur NN une structure de fibré vectoriel et une seule telle que l’application évidente de N∣BnN|B_n dans ⋀n(M)∣Bn\bigwedge^n(M)|B_n soit un isomorphisme pour tout nn. Muni de cette structure, le fibré vectoriel NN de rang un en chaque point se note det⁡(M)\det(M).

7.10. Fibrés vectoriels et fibrés principaux

7.10.1. Soit FF un espace de Banach. On dit qu’un fibré vectoriel MM de base BB est pur de type FF si toutes les fibres MbM_b de MM (pour b∈Bb \in B) sont isomorphes (comme espaces de Banach) à FF.

Soit MM un fibré vectoriel de base BB pur de type FF et soit PP la sous-variété ouverte du fibré vectoriel L(FB;M)\mathscr{L}(F_B; M) composée des couples (b,u)(b, u) où b∈Bb \in B et où uu est un isomorphisme de Fb=FF_b = F sur MbM_b. Le groupe GL(F)\mathrm{GL}(F) des automorphismes de FF opère à droite sur PP en posant (b,u)⋅g=(b,u∘g)(b, u) \cdot g = (b, u \circ g) pour (b,u)∈P(b, u) \in P et g∈GL(F)g \in \mathrm{GL}(F). Notons πP\pi_P l’application (b,u)↦b(b, u) \mapsto b de P dans B. Le quadruplet λ=(P,GL(F),B,πP)\lambda = (P, GL(F), B, \pi_P) (où GL(F)GL(F) est muni de sa structure canonique de variété de groupe (5.12.2)) est une fibration principale (6.2.1): on l’appelle la fibration des repères de M. L’application ((b,u),h)↦u(h)((b, u), h) \mapsto u(h) de P×FP \times F dans M munit M d’une structure de fibré associé à λ\lambda, de fibre type F (6.5.1).

Lorsque F=KnF = K^n, on peut identifier un isomorphisme uu de F sur MbM_b à la base de MbM_b image par uu de la base canonique de KnK^n. L’espace fibré des repères de M s’identifie alors à la sous-variété ouverte de M×B…×BMM \times_B \ldots \times_B M formée des bases (e1,…,en)(e_1, \ldots, e_n) des différentes fibres MbM_b.

Soit U un ouvert de B et soit t=(U,φ,E)t = (U, \varphi, E) une carte vectorielle de M de domaine U, avec E=FE = F. L’application b↦(b,tb)b \mapsto (b, t_b) est alors une section de P, notée t~\tilde{t}, et l’application t↦t~t \mapsto \tilde{t} est une bijection de l’ensemble des cartes vectorielles de M de la forme (U,φ,F)(U, \varphi, F) sur l’ensemble des sections de P sur U.

7.10.2. Réciproquement, soit λ=(Q,G,B,πQ)\lambda = (Q, G, B, \pi_Q) une fibration principale et soit φ\varphi un homomorphisme de variétés de groupe de G dans le groupe GL(F)GL(F) des automorphismes d’un espace de Banach F. Faisons opérer G à gauche sur F en posant g.h=φ(g)(h)g . h = \varphi(g)(h) (h∈F,g∈Gh \in F, g \in G). Soit M un espace fibré associé à λ\lambda, de fibre type F, et soit ρ:Q×F→M\rho : Q \times F \to M son application repère (6.5.1). Soit π\pi l’application de M dans B définie par

π(ρ(q,h))=πQ(q)(q∈Q et h∈F). \pi(\rho(q, h)) = \pi_Q(q) \quad (q \in Q \text{ et } h \in F).
Soit s une section de Q sur un ouvert U de B; l’application
s~:(b,h)↦(s(b),h) \tilde{s} : (b, h) \mapsto (s(b), h)
est alors une bijection de U×FU \times F sur π−1(U)\pi^{-1}(U). Il existe sur le couple (M,π)(M, \pi) une structure de fibré vectoriel de base B et une seule pour laquelle les triplets ts=(U,s~−1,F)t_s = (U, \tilde{s}^{-1}, F) sont des cartes vectorielles (pour toute section s de Q). La structure de variété sous-jacente à cette structure est celle de l’espace fibré associé à λ\lambda.

Soit q∈Qq \in Q; posons b=πQ(q)b = \pi_Q(q) et soit uu l’isomorphisme de F sur MbM_b défini par u(h)=ρ(q,h)u(h) = \rho(q, h) (pour h∈Fh \in F). L’application f:q↦(b,u)f : q \mapsto (b, u) est un B-morphisme de fibrations principales, compatible avec φ\varphi, de (Q,G,B,πQ)(Q, G, B, \pi_Q) dans le fibré des repères (P,GL(F),B,πP)(P, GL(F), B, \pi_P) du fibré vectoriel M.

7.10.3. Reprenons les notations du n° 7.6. Pour tout i∈Ii \in I, soit

λi=(Pi,Gi,B,πi) \lambda_i = (P_i, G_i, B, \pi_i)
une fibration principale de base B et supposons que GiG_i opère à gauche sur un espace de Banach ViV_i au moyen d’un homomorphisme
φi:Gi→GL(Vi). \varphi_i : G_i \to GL(V_i).
Soit MiM_i un espace fibré associé à λi\lambda_i de fibre type ViV_i. Posons M=(Mi)i∈I\mathscr{M} = (M_i)_{i \in I} et V=(Vi)i∈I\mathscr{V} = (V_i)_{i \in I} et soit λ\lambda la fibration principale produit des λi\lambda_i au dessus de B (6.2.5). Posons λ^=(P,G,B,πp)\hat{\lambda} = (\mathbf{P}, G, B, \pi_p), avec G=∏i∈IGiG = \prod_{i \in I} G_i.

Soit maintenant τ\tau un foncteur vectoriel. Pour g=(gi)∈Gg = (g_i) \in G, soit φ(g)\varphi(g) l’élément de Hom(V,V)\mathrm{Hom}(\mathscr{V}, \mathscr{V}) défini par:

φ(g)i=φi(gi)si i∈I+ \varphi(g)_i = \varphi_i(g_i) \quad \text{si } i \in I_+
φ(g)i=φi(gi)−1si i∈I− \varphi(g)_i = \varphi_i(g_i)^{-1} \quad \text{si } i \in I_-

Le groupe GG opère alors sur τ(V)\tau(\mathscr{V}) au moyen du morphisme g↦τ(φ(g))g \mapsto \tau(\varphi(g)) de GG dans GL(τ(V))\mathbf{GL}(\tau(\mathscr{V})).

Soit d’autre part x=(xi)x = (x_i) un point de P\mathbf{P} et soit b=πp(x)b = \pi_p(x). Pour chaque ii, l’application θxi\theta_{x_i} définie au n° 6.5.2 est un isomorphisme de ViV_i sur (Mi)b(M_i)_b. Soit θx\theta_x l’élément de Hom(V,((Mi)b)i∈I)\mathrm{Hom}(\mathscr{V}, ((M_i)_b)_{i \in I}) défini par:

(θx)i=θxisi i∈I+ (\theta_x)_i = \theta_{x_i} \quad \text{si } i \in I_+
(θx)i=θxi−1si i∈I− (\theta_x)_i = \theta_{x_i}^{-1} \quad \text{si } i \in I_-

Soit ρ\rho l’application (x,h)↦(b,τ(θx)(h))(x, h) \mapsto (b, \tau(\theta_x)(h)) de P×τ(V)\mathbf{P} \times \tau(\mathscr{V}) dans le fibré vectoriel τ(M)\tau(\mathscr{M}); l’application ρ\rho munit τ(M)\tau(\mathscr{M}) d’une structure d’espace fibré associé à λ\lambda de fibre type τ(V)\tau(\mathscr{V}).

Ces considérations se généralisent au cas de foncteurs vectoriels en dimension finie, ou de foncteurs vectoriels sur un corps LL muni d’une structure de K-algèbre de dimension finie.

7.11. Changement de structure

Les structures et opérations décrits dans ce paragraphe sont compatibles avec les changements de structure décrits aux numéros 5.13 et 5.14.

Transcribed from the printed volume. Not translated.