§ 12. Jets

Trong đoạn này, ta ký hiệu $X$ và $Y$ là hai đa tạp thuộc lớp $C^r$, trong đó $r \in \mathbf{N}_k$, và $k$ là một số nguyên sao cho $0 \leq k \leq r$.

Từ No. 12.3 trở đi, ta giả sử:

— hoặc $K$ có đặc số không;

— hoặc các đa tạp, không gian Banach và bó vectơ được xét có số chiều hữu hạn địa phương.

12.1. Jets của ánh xạ

12.1.1. Cho $x \in X$ và $f, g$ là hai ánh xạ liên tục xác định trong một lân cận của $x$ và nhận giá trị trong $Y$. Ta nói rằng $f$ và $g$ có tiếp xúc cấp $\geq k$ tại $x$ nếu $f(x)=g(x)$ và tồn tại các bản đồ $(U,\varphi,E)$ của $X$ tại $x$ và $(V,\psi,F)$ của $Y$ tại $f(x)$ sao cho các ánh xạ $\psi \circ f \circ \varphi^{-1}$ và $\psi \circ g \circ \varphi^{-1}$, được xác định trong một lân cận của $\varphi(x)$ trong $E$ và nhận giá trị trong $F$, có tiếp xúc cấp $\geq k$ tại $\varphi(x)$ (1.1.2). Tính chất này khi đó được thỏa mãn bởi mọi bản đồ của $X$ tại $x$ và của $Y$ tại $f(x)$.

12.1.2. Cho $x \in X$, $y \in Y$. Trong tập hợp các ánh xạ thuộc lớp $C^r$ được xác định trong một lân cận của $x$, nhận giá trị trong $Y$, và ánh xạ $x$ lên $y$, quan hệ « $f$ và $g$ có tiếp xúc cấp $\geq k$ » là một quan hệ tương đương; lớp của $f$ đối với quan hệ này được ký hiệu bởi $j^k_x(f)$ và được gọi là jet cấp $k$ của $f$ với nguồn $x$ và đích $y$. Nguồn của một jet được ký hiệu bởi $s(j)$ và đích của nó bởi $b(j)$.

Tập hợp các jet cấp $k$ từ $X$ vào $Y$ (tương ứng với nguồn $x$, tương ứng với đích $y$) được ký hiệu bởi $J^k(X,Y)$ (tương ứng $J^k_x(X,Y)$, tương ứng $J^k(X,Y)_y$) và ta đặt

12.1.3. Nếu $U$ và $V$ lần lượt là các tập con mở của $X$ và $Y$, thì theo một cách hiển nhiên, người ta đồng nhất $J^k(U,V)$ với ảnh ngược của $U \times V$ qua ánh xạ

12.1.4. Cho $Z$ là một đa tạp lớp $C^r$, và cho $(x,y,z) \in X \times Y \times Z$. Cho $j \in J^k(X,Y)_y$ và $j' \in J^k(Y,Z)_z$. Các ánh xạ $f' \circ f$, với $f \in j$ và $f' \in j'$, có cùng jet cấp $k$ tại $x$; jet này được gọi là hợp của $j$ và $j'$ và được ký hiệu là $j' \circ j$; ta có $s(j' \circ j)=s(j)$ và $b(j' \circ j)=b(j')$. Nếu $T$ là một đa tạp lớp $C^r$ và nếu $j'' \in J^k_z(Z,T)$, thì ta có

12.1.5. Cho $j \in J_x^k(X, Y)$, với $x \in X$, và cho $k'$ là một số nguyên sao cho $0 \leq k' \leq k$. Các jet $j_x^{k'}(f)$, với $f \in j$, bằng nhau; jet được xác định như vậy được ký hiệu là $r^{k', k}(j)$; ánh xạ $r^{k, k'} : J^k(X, Y) \to J^{k'}(X, Y)$ là toàn ánh.

12.1.6. Giả sử $r$ bằng $\infty$ hoặc $\omega$. Cho $f$ và $g$ là hai ánh xạ lớp $C^r$ được xác định trong một lân cận của một điểm $x \in X$, và nhận giá trị trong $Y$. Nếu $j_x^m(f) = j_x^m(g)$ với mọi số nguyên $m \geq 0$, người ta nói rằng $f$ và $g$ có tiếp xúc cấp vô hạn tại $x$. Như vậy ta được một quan hệ tương đương mà các lớp của nó được gọi là các jet cấp vô hạn tại $x$; jet cấp vô hạn của $f$ được ký hiệu bởi $j_x^\infty(f)$ hoặc $j_x^\omega(f)$. Các định nghĩa và kết quả ở trên mở rộng không thay đổi đến các jet cấp vô hạn.

12.2. Các jet của ánh xạ giữa các không gian Banach

Trong No. này, $E$ và $F$ ký hiệu hai không gian Banach. Nếu $m$ là một số nguyên $\geq 0$, ta ký hiệu $P_m(E; F)$ là không gian Banach của các đa thức thuần nhất liên tục bậc $m$ trên $E$ nhận giá trị trong $F$ (Phần 1, phụ lục, A.2).

12.2.1. Cho U là một tập con mở của E, cho $f : U \to F$ là một ánh xạ thuộc lớp $C^r$, và cho $a \in U$. Tồn tại duy nhất một đa thức liên tục

12.2.2. Cho U (resp. V) là một tập con mở của E (resp. F). Ký hiệu $Q^k(E, F)$ là không gian Banach tích của các $P_m(E; F)$ với $1 \leq m \leq k$. Ánh xạ

12.3. Các đa tạp jet

12.3.1. Cho $c = (U, \varphi, E)$ và $c' = (V, \psi, F)$ lần lượt là các biểu đồ của X và Y. Các ánh xạ $\varphi$ và $\psi$ xác định, bằng phép chuyển cấu trúc, một song ánh $\pi$ từ $J^k(U, V)$ lên

Nếu $(x, y) \in X \times Y$, các tập hợp $J_x^k(X, Y), J^k(X, Y)_y$ và $J_x^k(X, Y)_y$ là các đa tạp con đóng của $J^k(X, Y)$.

12.3.2. Nếu $X$ và $Y$ đều thuần (resp. hữu hạn chiều, resp. tách được, resp. liên thông), thì điều tương tự cũng đúng đối với $J^k(X, Y)$.

Nếu $U$ (resp. $V$) là mở trong $X$ (resp. trong $Y$), $J^k(U, V)$ là một đa tạp con mở của $J^k(X, Y)$, xem 12.1.3.

12.3.3. Các ánh xạ $s : J^k(X, Y) \to X, b : J^k(X, Y) \to Y$ và $(s, b) : J^k(X, Y) \to X \times Y$ là các phân thớ (6.1.1) thuộc lớp $C^{r-k}$. Khi $k = 0$, $(s, b)$ là một đẳng cấu.

12.3.4. Gọi $T_X$ và $T_Y$ là các bó vectơ $pr_1^* T(X)$ và $pr_2^* T(Y)$ trên $X \times Y$, và gọi $\mathscr{L}(T_X; T_Y)$ là bó các đồng cấu từ $T_X$ vào $T_Y$ (7.7.3); nếu $(x, y) \in X \times Y$, ta có

Với $X = K$, đẳng cấu này đồng nhất $J_0^1(K, Y)$ với $T(Y)$; với $Y = K$, nó đồng nhất $J^1(X, K)_0$ với không gian đối ngẫu $T'(X)$ của $T(X)$.

12.3.5. Cho $k'$ là một số nguyên sao cho $0 \leqslant k' \leqslant k$. Ánh xạ

12.3.6. Cho $Z$ là một đa tạp thuộc lớp $C^r$, và cho $T$ là tập hợp các cặp

12.3.7. Nếu $f : X \to Y$ là một cấu xạ thuộc lớp $C^r$, ánh xạ $x \mapsto j_x^k(f)$ là một cấu xạ $j^k(f)$ thuộc lớp $C^{r-k}$ từ $X$ vào $J^k(X, Y)$.

12.3.8. Cho $k'$ và $k''$ là các số nguyên dương có tổng bằng $k$. Cho $x \in X$, cho $U$ là một lân cận mở của $x$, và cho $f : U \to Y$ là một cấu xạ thuộc lớp $C^r$. Ánh xạ

12.3.9. Cho $X', Y'$ là các đa tạp thuộc lớp $C^r$, cho $f : X \to X'$ và $g : Y' \to Y$ là các cấu xạ, và cho $(x, y') \in X \times Y'$, $x' = f(x)$, $y = g(y')$. Nếu $u \in J_{x'}^k(X', Y')_{y'}$, đặt

12.3.10. Cho $A$ là một tập con compact của $X$. Cho $\mathscr{C}^k(X; Y)$ là tập hợp các ánh xạ thuộc lớp $C^k$ từ $X$ vào $Y$. Với mọi $f \in \mathscr{C}^k(X; Y)$, ánh xạ $j^k(f)|A$ thuộc tập hợp $\mathscr{C}(A; J^k(X, Y))$ các ánh xạ liên tục từ $A$ vào $J^k(X, Y)$. Do đó ta đã xác định một ánh xạ $\lambda$ từ $\mathscr{C}^k(X; Y)$ vào $\mathscr{C}(A; J^k(X, Y))$. Ảnh ngược bởi $\lambda$ của tôpô hội tụ compact trên $\mathscr{C}(A; J^k(X, Y))$ (TG, X, § 3, Định nghĩa 1) là một tôpô trên $\mathscr{C}^k(X; Y)$; nó được gọi là tôpô hội tụ $C^k$ đều trên $A$.

12.4. Khung và các phân thớ chính

12.4.1. Cho $j \in J^k(X, Y)$ và cho $x = s(j)$, $y = b(j)$. Ta nói rằng $j$ là khả nghịch nếu tồn tại $j' \in J_y^k(Y, X)_x$ sao cho $j' \circ j = j_x^k(\mathrm{Id}_X)$ và $j \circ j' = j_y^k(\mathrm{Id}_Y)$; khi đó jet $j'$ được xác định duy nhất; ta ký hiệu nó là $j^{-1}$. Nếu $k = 0$, mọi jet đều khả nghịch. Nếu $k \geqslant 1$, các điều kiện sau là tương đương: a) $j$ khả nghịch; b) ánh xạ $T(j) : T_x(X) \to T_y(Y)$ (cf. 12.3.4) là một đẳng cấu; c) tồn tại một đẳng cấu $g$ lớp $C^r$ từ một lân cận mở của $x$ lên một lân cận mở của $y$, sao cho $j_x^k(g) = j$.

12.4.2. Cho $E$ là một không gian Banach. Ta ký hiệu $\mathbf{GL}^k(E)$ là tập hợp các jet cấp $k$ từ $E$ vào $E$ khả nghịch và có $0$ làm nguồn và đích; đó là một tập mở của $J_0^k(E, E)_0$. Được trang bị luật hợp thành của các jet và cấu trúc đa tạp cảm sinh bởi cấu trúc của không gian Banach $J_0^k(E, E)_0 = Q^k(E, E)$, nó là một đa tạp nhóm lớp $C^\omega$.

Ta có $\mathbf{GL}^0(E) = \{ e \}$. Nhóm $\mathbf{GL}^1(E)$ được đồng nhất, thông qua $T$, với nhóm $\mathbf{GL}(E)$ các tự đẳng cấu của $E$.

Nếu $k' \leqslant k$, ánh xạ $r^{k, k'} : \mathbf{GL}^k(E) \to \mathbf{GL}^{k'}(E)$ là một đồng cấu lớp $C^\omega$ và là một phép ngập toàn ánh. Ánh xạ $f \mapsto \mathrm{Id}_E + f$ là một đẳng cấu của các đa tạp nhóm từ $P_k(E, E)$ lên hạt nhân của $r^{k, k-1}$.

12.4.3. Cho E là một không gian Banach. Với mọi $x \in X$, một E-khung cấp k của X tại x được gọi là bất kỳ phần tử khả nghịch nào của $J_0^k(E, X)_x$. Tập hợp các E-khung cấp k của X là một đa tạp con mở $R^k(E, X)$ của $J_0^k(E, X)$; ánh xạ b có hạn chế của nó là một cấu xạ, vẫn ký hiệu là b, từ $R^k(E, X)$ vào X; tương tự, nếu $k' \leq k$, ta vẫn ký hiệu $r^{k, k'}$ là cấu xạ từ $R^k(E, X)$ vào $R^{k'}(E, X)$, hạn chế của ánh xạ $r^{k, k'}$ của 12.1.5.

12.4.4. Ta giả sử rằng X thuần túy kiểu E (5.1.7). Nhóm $GL^k(E)$ tác động bên phải trên $R^k(E, X)$ theo luật $(\rho, u) \mapsto \rho \circ u$ và bộ bốn $\lambda_X = (R^k(E, X), GL^k(E), X, b)$ là một phân thớ chính (6.2.1) với nhóm cấu trúc $GL^k(E)$, cơ sở X và lớp $C^{r-k}$.

Nếu $k' \leq k$, gọi H là hạt nhân của $r^{k, k'} : GL^k(E) \to GL^{k'}(E)$; bộ bốn $(R^k(E, X), H, R^{k'}(E, X), r^{k, k'})$ là một phân thớ chính lớp $C^{r-k}$.

Đa tạp $J^k(X, Y)$ được trang bị một cấu trúc của không gian sợi liên kết với $\lambda_X$ (6.5.1): sợi kiểu là $J_0^k(E, Y)$ trên đó $GL^k(E)$ tác động bên trái theo luật $(u, j) \mapsto j \circ u^{-1}$; ánh xạ khung $R^k(E, X) \times J_0^k(E, Y) \to J^k(X, Y)$ biến $(\rho, j)$ thành $j \circ \rho^{-1}$. Phép chiếu $J^k(X, Y) \to X$ tương ứng với cấu trúc không gian sợi liên kết này là s.

12.4.5. Cho F là một không gian Banach, và giả sử rằng Y thuần túy có kiểu F. Khi đó $J^k(X, Y)$ được trang bị một cấu trúc của không gian sợi liên kết với $\lambda_Y$: sợi kiểu là $J^k(X, F)_0$ trên đó $GL^k(F)$ tác động bên trái theo luật $(v, j) \mapsto v \circ j$; ánh xạ khung là $(\sigma, j) \mapsto \sigma \circ j$; phép chiếu $J^k(X, Y) \to Y$ là b.

12.4.6. Với các giả thiết là các giả thiết của 12.4.4 và 12.4.5, cho $\mu$ là phân thớ chính

12.5. Các jet của các tiết diện

12.5.1. Cho $\pi : Y \to X$ là một phép chìm, cho $x \in X$, và cho $s \in J_x^k(X, Y)$. Ta nói rằng s là một jet của tiết diện (cấp k) của $\pi$ nếu s có dạng $j_x^k(f)$, trong đó f là một tiết diện lớp $C^r$ của $\pi$ phía trên một lân cận mở của x; điều kiện này tương đương với

Nếu $k' \leq k$, ánh xạ $r^{k, k'} : J^k(X, Y) \to J^{k'}(X, Y)$ áp dụng $P^k(\pi)$ vào $P^{k'}(\pi)$; ánh xạ từ $P^k(\pi)$ vào $P^{k'}(\pi)$ suy ra từ $r^{k, k'}$ là một phân thớ lớp $C^{r-k}$.

12.5.2. Cho $Z$ là một đa tạp lớp $C^r$; giả sử rằng $Y = X \times Z$ và đặt $\pi = \mathrm{pr}_1 : Y \to X$. Hạn chế của $J^k(\mathrm{Id}_X, \mathrm{pr}_2)$ (xem 12.3.9) lên $P^k(\pi)$ là một đẳng cấu của $P^k(\pi)$ lên $J^k(X, Z)$, qua đó ta đồng nhất hai đa tạp này.

12.5.3. Cho $Y'$ là một đa tạp lớp $C^r$, cho $\pi : Y \to X$ và $\pi' : Y' \to X$ là các phép chìm và cho $g : Y \to Y'$ là một cấu xạ sao cho $\pi' \circ g = \pi$. Ánh xạ $J^k(\mathrm{Id}_X, g)$ có hạn chế là một ánh xạ

có lớp $C^{r-k}$.

Cho $X'$ là một đa tạp lớp $C^r$, và cho $f : X' \to X$ là một cấu xạ; đặt $(Y', \pi') = f^*(Y, \pi)$, xem 5.11.5. Ánh xạ $J^k(f, \mathrm{Id}_Y)$ (xem 12.3.9) định nghĩa một ánh xạ lớp $C^{r-k}$ từ $f^*P^k(\pi)$ vào $P^k(\pi')$.

12.6. Tiết diện của các bó vectơ

12.6.1. Cho $E$ là một bó vectơ lớp $C^r$ có cơ sở $X$, và cho $\pi$ là phép chiếu của nó. Cho $c_0 = (U, \varphi, F_0)$ là một biểu đồ bó vectơ của $E$ và $c_1 = (U, \psi, F_1)$ là một biểu đồ của đa tạp $X$, với cùng miền $U$. Các biểu đồ này xác định một song ánh $\theta$ từ $P^k(\pi)|U$ lên $J^k(\psi(U), F_0) = \psi(U) \times F_0 \times Q^k(F_1, F_0)$, xem 12.2.2 và 12.3.1, do đó một biểu đồ bó vectơ

của $P^k(\pi)$. Các biểu đồ thu được như vậy lập thành một $C^{r-k}$-atlas bó vectơ, trang bị cho $P^k(\pi)$ cấu trúc của một bó vectơ lớp $C^{r-k}$, có cơ sở $X$. Bó vectơ này được ký hiệu là $P^k(E)$; cấu trúc đa tạp cơ sở là cấu trúc được định nghĩa trong 12.5.1.

Cho $U$ là một tập con mở của $X$, và cho $f \in \mathscr{S}_E^r(U)$ là một tiết diện lớp $C^r$ của $E$ trên $U$. Ánh xạ $j^k(f) : x \mapsto j_x^k(f)$ là một tiết diện lớp $C^{r-k}$ của $P^k(E)$ trên $U$. Ánh xạ $j^k : \mathscr{S}_E^r(U) \to \mathscr{S}_{P^k(E)}^{r-k}(U)$ là $K$-tuyến tính.

12.6.2. Nếu $F$ là một không gian Banach, phép nhận dạng (12.5.2) của $P^k(F_X)$ với $J^k(X, F)$ trang bị cho đa tạp sau một cấu trúc bó vectơ lớp $C^{r-k}$, với cơ sở $X$. Khi $F = K$, ta viết $P^k(X)$ thay cho $P^k(K_X)$.