§ 12. Jets

Dans ce paragraphe, on note $X$ et $Y$ deux variétés de classe $C^r$, où $r \in \mathbf{N}_k$, et $k$ un entier tel que $0 \leq k \leq r$.

A partir du no 12.3, on suppose:

— soit que $K$ est de caractéristique zéro;

— soit que les variétés, espaces de Banach et fibrés vectoriels considérés sont localement de dimension finie.

12.1. Jets d’applications

12.1.1. Soit $x \in X$ et soient $f, g$ deux applications continues définies au voisinage de $x$ et à valeurs dans $Y$. On dit que $f$ et $g$ ont un contact d’ordre $\geq k$ en $x$ si l’on a $f(x)=g(x)$ et s’il existe des cartes $(U,\varphi,E)$ de $X$ en $x$ et $(V,\psi,F)$ de $Y$ en $f(x)$ telles que les applications $\psi \circ f \circ \varphi^{-1}$ et $\psi \circ g \circ \varphi^{-1}$, définies au voisinage de $\varphi(x)$ dans $E$ et à valeurs dans $F$, aient un contact d’ordre $\geq k$ en $\varphi(x)$ (1.1.2). Cette propriété est alors vérifiée par toutes les cartes de $X$ en $x$ et de $Y$ en $f(x)$.

12.1.2. Soient $x \in X$, $y \in Y$. Dans l’ensemble des applications de classe $C^r$ définies au voisinage de $x$, à valeurs dans $Y$, et appliquant $x$ sur $y$, la relation « $f$ et $g$ ont un contact d’ordre $\geq k$ » est une relation d’équivalence; la classe de $f$ pour cette relation se note $j^k_x(f)$ et s’appelle le jet d’ordre $k$ de $f$ de source $x$ et de but $y$. La source d’un jet est notée $s(j)$ et son but $b(j)$.

L’ensemble des jets d’ordre $k$ de $X$ dans $Y$ (resp. de source $x$, resp. de but $y$) est noté $J^k(X,Y)$ (resp. $J^k_x(X,Y)$, resp. $J^k(X,Y)_y$) et l’on pose

12.1.3. Si $U$ et $V$ sont des ouverts de $X$ et $Y$ respectivement, on identifie de façon évidente $J^k(U,V)$ à l’image réciproque de $U \times V$ par l’application

12.1.4. Soit $Z$ une variété de classe $C^r$, et soit $(x,y,z) \in X \times Y \times Z$. Soit $j \in J^k(X,Y)_y$ et soit $j' \in J^k(Y,Z)_z$. Les applications $f' \circ f$, avec $f \in j$ et $f' \in j'$, ont même jet d’ordre $k$ en $x$; ce jet s’appelle le composé de $j$ et $j'$ et se note $j' \circ j$; on a $s(j' \circ j)=s(j)$ et $b(j' \circ j)=b(j')$. Si $T$ est une variété de classe $C^r$ et si $j'' \in J^k_z(Z,T)$, on a

12.1.5. Soit $j \in J_x^k(X, Y)$, avec $x \in X$, et soit $k'$ un entier tel que $0 \leq k' \leq k$. Les jets $j_x^{k'}(f)$, pour $f \in j$, sont égaux; le jet ainsi défini est noté $r^{k', k}(j)$; l’application $r^{k, k'} : J^k(X, Y) \to J^{k'}(X, Y)$ est surjective.

12.1.6. Supposons $r$ égal à $\infty$ ou à $\omega$. Soient $f$ et $g$ deux applications de classe $C^r$ définies au voisinage d’un point $x \in X$, et à valeurs dans $Y$. Si $j_x^m(f) = j_x^m(g)$ pour tout entier $m \geq 0$, on dit que $f$ et $g$ ont un contact d’ordre infini en $x$. On obtient ainsi une relation d’équivalence dont les classes s’appellent les jets d’ordre infini en $x$; le jet d’ordre infini de $f$ se note $j_x^\infty(f)$ ou $j_x^\omega(f)$. Les définitions et résultats qui précèdent s’étendent sans modification aux jets d’ordre infini.

12.2. Jets d’applications d’espaces de Banach

Dans ce n°, E et F désignent deux espaces de Banach. Si $m$ est un entier $\geq 0$, on note $P_m(E; F)$ l’espace de Banach des polynômes-continus homogènes de degré $m$ sur E à valeurs dans F (1ère partie, Appendice, A.2).

12.2.1. Soit U un ouvert de E, soit $f : U \to F$ une application de classe $C^r$, et soit $a \in U$. Il existe un polynôme-continu

12.2.2. Soit U (resp. V) un ouvert de E (resp. F). Notons $Q^k(E, F)$ l’espace de Banach produit des $P_m(E; F)$ pour $1 \leq m \leq k$. L’application

12.3. Variétés de jets

12.3.1. Soient $c = (U, \varphi, E)$ et $c' = (V, \psi, F)$ des cartes de X et Y respectivement. Les applications $\varphi$ et $\psi$ définissent, par transport de structure, une bijection $\pi$ de $J^k(U, V)$ sur

Si $(x, y) \in X \times Y$, les ensembles $J_x^k(X, Y), J^k(X, Y)_y$ et $J_x^k(X, Y)_y$ sont des sous-variétés fermées de $J^k(X, Y)$.

12.3.2. Si $X$ et $Y$ sont pures (resp. de dimension finie, resp. séparées, resp. connexes), il en est de même de $J^k(X, Y)$.

Si $U$ (resp. $V$) est ouvert dans $X$ (resp. dans $Y$), $J^k(U, V)$ est une sous-variété ouverte de $J^k(X, Y)$, cf. 12.1.3.

12.3.3. Les applications $s : J^k(X, Y) \to X, b : J^k(X, Y) \to Y$ et $(s, b) : J^k(X, Y) \to X \times Y$ sont des fibrations (6.1.1) de classe $C^{r-k}$. Lorsque $k = 0$, $(s, b)$ est un isomorphisme.

12.3.4. Notons $T_X$ et $T_Y$ les fibrés vectoriels $pr_1^* T(X)$ et $pr_2^* T(Y)$ sur $X \times Y$, et soit $\mathscr{L}(T_X; T_Y)$ le fibré des homomorphismes de $T_X$ dans $T_Y$ (7.7.3); si $(x, y) \in X \times Y$, on a

Pour $X = K$, cet isomorphisme identifie $J_0^1(K, Y)$ à $T(Y)$; pour $Y = K$, il identifie $J^1(X, K)_0$ au dual $T'(X)$ de $T(X)$.

12.3.5. Soit $k'$ un entier tel que $0 \leqslant k' \leqslant k$. L’application

12.3.6. Soit $Z$ une variété de classe $C^r$, et soit $T$ l’ensemble des couples

12.3.7. Si $f : X \to Y$ est un morphisme de classe $C^r$, l’application $x \mapsto j_x^k(f)$ est un morphisme $j^k(f)$ de classe $C^{r-k}$ de $X$ dans $J^k(X, Y)$.

12.3.8. Soient $k'$ et $k''$ des entiers positifs de somme $k$. Soit $x \in X$, soit $U$ un voisinage ouvert de $x$, et soit $f : U \to Y$ un morphisme de classe $C^r$. L’application

12.3.9. Soient $X', Y'$ des variétés de classe $C^r$, soient $f : X \to X'$ et $g : Y' \to Y$ des morphismes, et soient $(x, y') \in X \times Y'$, $x' = f(x)$, $y = g(y')$. Si $u \in J_{x'}^k(X', Y')_{y'}$, posons

12.3.10. Soit $A$ une partie compacte de $X$. Soit $\mathscr{C}^k(X; Y)$ l’ensemble des applications de classe $C^k$ de $X$ dans $Y$. Pour tout $f \in \mathscr{C}^k(X; Y)$, l’application $j^k(f)|A$ appartient à l’ensemble $\mathscr{C}(A; J^k(X, Y))$ des applications continues de $A$ dans $J^k(X, Y)$. On a ainsi défini une application $\lambda$ de $\mathscr{C}^k(X; Y)$ dans $\mathscr{C}(A; J^k(X, Y))$. L’image réciproque par $\lambda$ de la topologie de la convergence compacte sur $\mathscr{C}(A; J^k(X, Y))$ (TG, X, § 3, déf. 1) est une topologie sur $\mathscr{C}^k(X; Y)$; on l’appelle la topologie de la $C^k$-convergence uniforme sur $A$.

12.4. Repères et fibrations principales

12.4.1. Soit $j \in J^k(X, Y)$ et soient $x = s(j)$, $y = b(j)$. On dit que $j$ est inversible s’il existe $j' \in J_y^k(Y, X)_x$ tel que $j' \circ j = j_x^k(\mathrm{Id}_X)$ et $j \circ j' = j_y^k(\mathrm{Id}_Y)$; le jet $j'$ est alors déterminé de manière unique; on le note $j^{-1}$. Si $k = 0$, tout jet est inversible. Si $k \geqslant 1$, les conditions suivantes sont équivalentes: a) $j$ est inversible; b) l’application $T(j) : T_x(X) \to T_y(Y)$ (cf. 12.3.4) est un isomorphisme; c) il existe un isomorphisme $g$ de classe $C^r$ d’un voisinage ouvert de $x$ sur un voisinage ouvert de $y$, tel que $j_x^k(g) = j$.

12.4.2. Soit $E$ un espace de Banach. On note $\mathbf{GL}^k(E)$ l’ensemble des jets d’ordre $k$ de $E$ dans $E$ qui sont inversibles et ont $0$ pour source et pour but; c’est un ouvert de $J_0^k(E, E)_0$. Muni de la loi de composition des jets, et de la structure de variété induite par celle de l’espace de Banach $J_0^k(E, E)_0 = Q^k(E, E)$, c’est une variété de groupe de classe $C^\omega$.

On a $\mathbf{GL}^0(E) = \{ e \}$. Le groupe $\mathbf{GL}^1(E)$ s’identifie, au moyen de $T$, au groupe $\mathbf{GL}(E)$ des automorphismes de $E$.

Si $k' \leqslant k$, l’application $r^{k, k'} : \mathbf{GL}^k(E) \to \mathbf{GL}^{k'}(E)$ est un homomorphisme de classe $C^\omega$ et c’est une submersion surjective. L’application $f \mapsto \mathrm{Id}_E + f$ est un isomorphisme de variétés de groupes de $P_k(E, E)$ sur le noyau de $r^{k, k-1}$.

12.4.3. Soit E un espace de Banach. Pour tout $x \in X$, on appelle E-repère d’ordre k de X en x tout élément inversible de $J_0^k(E, X)_x$. L’ensemble des E-repères d’ordre k de X est une sous-variété ouverte $R^k(E, X)$ de $J_0^k(E, X)$; l’application b a pour restriction un morphisme, encore noté b, de $R^k(E, X)$ dans X; de même, si $k' \leq k$, on note encore $r^{k, k'}$ le morphisme de $R^k(E, X)$ dans $R^{k'}(E, X)$, restriction de l’application $r^{k, k'}$ de 12.1.5.

12.4.4. On suppose que X est pure de type E (5.1.7). Le groupe $GL^k(E)$ opère à droite sur $R^k(E, X)$ par la loi $(\rho, u) \mapsto \rho \circ u$ et le quadruplet $\lambda_X = (R^k(E, X), GL^k(E), X, b)$ est une fibration principale (6.2.1) de groupe structural $GL^k(E)$, de base X et de classe $C^{r-k}$.

Si $k' \leq k$, soit H le noyau de $r^{k, k'} : GL^k(E) \to GL^{k'}(E)$; le quadruplet $(R^k(E, X), H, R^{k'}(E, X), r^{k, k'})$ est une fibration principale de classe $C^{r-k}$.

La variété $J^k(X, Y)$ est munie d’une structure d’espace fibré associé à $\lambda_X$ (6.5.1): la fibre type est $J_0^k(E, Y)$ sur laquelle $GL^k(E)$ opère à gauche par la loi $(u, j) \mapsto j \circ u^{-1}$; l’application repère $R^k(E, X) \times J_0^k(E, Y) \to J^k(X, Y)$ transforme $(\rho, j)$ en $j \circ \rho^{-1}$. La projection $J^k(X, Y) \to X$ correspondant à cette structure d’espace fibré est s.

12.4.5. Soit F un espace de Banach, et supposons Y pure de type F. Alors $J^k(X, Y)$ est munie d’une structure d’espace fibré associé à $\lambda_Y$: la fibre type est $J^k(X, F)_0$ sur laquelle $GL^k(F)$ opère à gauche par la loi $(v, j) \mapsto v \circ j$; l’application repère est $(\sigma, j) \mapsto \sigma \circ j$; la projection $J^k(X, Y) \to Y$ est b.

12.4.6. Les hypothèses étant celles de 12.4.4 et 12.4.5, soit $\mu$ la fibration principale

12.5. Jets de sections

12.5.1. Soit $\pi : Y \to X$ une submersion, soit $x \in X$, et soit $s \in J_x^k(X, Y)$. On dit que s est un jet de section (d’ordre k) de $\pi$ si s est de la forme $j_x^k(f)$, où f est une section de classe $C^r$ de $\pi$ au-dessus d’un voisinage ouvert de x; cette condition équivaut à

Si $k' \leq k$, l’application $r^{k, k'} : J^k(X, Y) \to J^{k'}(X, Y)$ applique $P^k(\pi)$ dans $P^{k'}(\pi)$; l’application de $P^k(\pi)$ dans $P^{k'}(\pi)$ déduite de $r^{k, k'}$ est une fibration de classe $C^{r-k}$.

12.5.2. Soit $Z$ une variété de classe $C^r$; supposons que $Y = X \times Z$ et soit $\pi = \mathrm{pr}_1 : Y \to X$. La restriction de $J^k(\mathrm{Id}_X, \mathrm{pr}_2)$ (cf. 12.3.9) à $P^k(\pi)$ est un isomorphisme de $P^k(\pi)$ sur $J^k(X, Z)$, par lequel on identifie ces deux variétés.

12.5.3. Soit $Y'$ une variété de classe $C^r$, soient $\pi : Y \to X$ et $\pi' : Y' \to X$ des submersions et soit $g : Y \to Y'$ un morphisme tel que $\pi' \circ g = \pi$. L’application $J^k(\mathrm{Id}_X, g)$ a pour restriction une application

qui est de classe $C^{r-k}$.

Soit $X'$ une variété de classe $C^r$, et soit $f : X' \to X$ un morphisme; posons $(Y', \pi') = f^*(Y, \pi)$, cf. 5.11.5. L’application $J^k(f, \mathrm{Id}_Y)$ (cf. 12.3.9) définit une application de classe $C^{r-k}$ de $f^*P^k(\pi)$ dans $P^k(\pi')$.

12.6. Jets de sections d’un fibré vectoriel

12.6.1. Soit $E$ un fibré vectoriel de classe $C^r$ de base $X$, et soit $\pi$ sa projection. Soient $c_0 = (U, \varphi, F_0)$ une carte vectorielle de $E$ et $c_1 = (U, \psi, F_1)$ une carte de la variété $X$, de même domaine $U$. Ces cartes définissent une bijection $\theta$ de $P^k(\pi)|U$ sur $J^k(\psi(U), F_0) = \psi(U) \times F_0 \times Q^k(F_1, F_0)$, cf. 12.2.2 et 12.3.1, d’où une carte vectorielle

de $P^k(\pi)$. Les cartes ainsi obtenues forment un $C^{r-k}$-atlas vectoriel, qui munit $P^k(\pi)$ d’une structure de fibré vectoriel de classe $C^{r-k}$, de base $X$. Ce fibré vectoriel est noté $P^k(E)$; la structure de variété sous-jacente est celle définie en 12.5.1.

Soit $U$ un ouvert de $X$, et soit $f \in \mathscr{S}_E^r(U)$ une section de classe $C^r$ de $E$ au-dessus de $U$. L’application $j^k(f) : x \mapsto j_x^k(f)$ est une section de classe $C^{r-k}$ de $P^k(E)$ au-dessus de $U$. L’application $j^k : \mathscr{S}_E^r(U) \to \mathscr{S}_{P^k(E)}^{r-k}(U)$ est $K$-linéaire.

12.6.2. Si $F$ est un espace de Banach, l’identification (12.5.2) de $P^k(F_X)$ avec $J^k(X, F)$ munit cette dernière variété d’une structure de fibré vectoriel de classe $C^{r-k}$, de base $X$. Lorsque $F = K$, on écrit $P^k(X)$ au lieu de $P^k(K_X)$.