§ 13. Distributions ponctuelles

13.1. Tenseurs symétriques et espaces de Banach

13.1.1. Soit E un module sur un anneau commutatif A. Si n est un entier $\geq 0$, on note $TS^n(E)$ le module des tenseurs symétriques de rang n de E (A, III, p. 71 et A, IV, § 5, no 2); la somme directe des $TS^n(E)$ est notée $TS(E)$. Si r est un entier, soit l’un des symboles $\infty,\omega$, on pose

par suite, si $r\geq 0$, $TS^{r}(E)$ est somme directe de $TS^{(0)}(E)=A$ et de $TS^{(r)+}(E)$. On a $TS^{(1)+}(E)=E$ et $TS^{(\infty)}(E)=TS^{(\omega)}(E)=TS(E)$.

Si $n$ est un entier $\geq 0$, et si $x\in E$, on note $\gamma_n(x)$ l’élément $x\otimes\cdots\otimes x$ de $TS^n(E)$; pour $n=0$, $\gamma_0(x)=1$.

13.1.2. (« Applications polynomiales »). On suppose que A est intègre infini et que E est un A-module libre. Soit F un A-module. Une application $f:E\rightarrow F$ est dite polynomiale homogène de degré n si elle satisfait aux conditions équivalentes suivantes (cf. A, IV, § 5, no 9):

a) Il existe une application linéaire $\tilde f:TS^n(E)\rightarrow F$ telle que $f(x)=\tilde f(\gamma_n(x))$ pour tout $x\in E$.

b) Il existe une application multilinéaire $u:E^n\rightarrow F$ telle que $f(x)=u(x,\ldots,x)$ pour tout $x\in E$.

Supposons que ce soit le cas. L’application $\tilde f$ vérifiant a) est alors unique; si $t\in TS^n(E)$, on note $\langle f,t\rangle$ l’élément $\tilde f(t)$. Si $u:E^n\rightarrow F$ vérifie b), l’application linéaire correspondante de $\otimes^nE$ dans F coïncide dans le sous-module $TS^n(E)$. Lorsque $n!$ est inversible dans A, on peut choisir $u$ symétrique, et cela de façon unique.

13.1.3. Soient E un espace de Banach sur K et F un espace polynômé séparé sur K. Soient U un voisinage ouvert de 0 dans E, $f:U\rightarrow F$ une application de classe $C^r$ ($r\in\mathbf{N}_K$), et $t$ un élément de $TS^{(r)}(E)$, cf. 13.1.1 (appliqué à l’anneau $A=K$). Soit $k$ un entier $\leq r$ tel que $t\in TS^{(k)}(E)$. On peut décomposer $t$ et $f$ de façon unique en

et

où $f_i$ est un polynôme-continu homogène de degré $i$ ($0 \leq i \leq k$) et où $h$ a un contact d’ordre $\geq k$ avec 0 au point 0. On pose alors

c’est un élément de F qui ne dépend pas du choix de $k$.

13.1.4. Soient E et E’ deux espaces de Banach, U un voisinage ouvert de 0 dans E et $\varphi : U \to E'$ une application de classe $C^r$ telle que $\varphi(0) = 0$. Soit $t \in TS^{(r)}(E)$. Il existe un élément $t' \in TS^{(r)}(E')$ et un seul tel que, quels que soient l’espace polynormé séparé F, le voisinage ouvert U’ de 0 dans E’, et l’application $f : U' \to F$ de classe $C^r$, on ait

(*)

Cet élément $t'$ se note $\varphi_*(t)$. L’application

ainsi définie est linéaire.

13.2. Distributions ponctuelles

Dans ce numéro, X désigne une variété de classe $C^r$, et $x$ un point de X.

13.2.1. Soit $\mathscr{A}$ l’ensemble des couples $(c, t)$, où $c = (U, \varphi, E)$ est une carte de X centrée en $x$, et où $t \in TS^{(r)}(E)$. Deux éléments $((U, \varphi, E), t)$ et $((U', \varphi', E'), t')$ de $\mathscr{A}$ sont dits équivalents si $t' = \gamma_*(t)$, où $\gamma = \varphi' \circ \varphi^{-1}$. On obtient ainsi une relation d’équivalence sur $\mathscr{A}$; une classe d’équivalence pour cette relation est appelée une distribution ponctuelle en $x$ sur X.

Soit $T_x^{(r)}(X)$ l’ensemble des distributions ponctuelles en $x$ sur X. Si $c$ est une carte de X centrée en $x$, l’application

qui, à $t$, fait correspondre la classe de $(c, t)$, est une bijection. Dans tout ce qui suit, on munit $T_x^{(r)}(X)$ de la structure de K-espace vectoriel obtenue en transportant celle de $TS^{(r)}(E)$ par $\theta_c$; cette structure ne dépend pas du choix de $c$. De même, si $k \leq r$, on note $T_x^{(k)}(X)$ et $T_x^{(k)+}(X)$ les images de $TS^{(k)}(E)$ et $TS^{(k)+}(E)$ par $\theta_c$; elles ne dépendent pas du choix de $c$. Un élément de $T_x^{(r)}(X)$ est dit d’ordre $\leq k$ s’il appartient à $T_x^{(k)}(X)$. On a

Il existe un élément et un seul $\varepsilon_x$ de $T_x^{(0)}(X)$ tel que l’on ait $\theta_c(1) = \varepsilon_x$ pour toute carte $c$ de X centrée en $x$. Si $t$ est une distribution ponctuelle en $x$, on appelle terme constant de $t$ l’élément $\lambda$ de K tel que $t - \lambda \varepsilon_x \in T_x^{(r)+}(X)$; on dit que $t$ est sans terme constant si son terme constant est nul.

13.2.2. Soit F un espace polynormé séparé, et soit $f$ une fonction de classe $C^r$ à valeurs dans F, définie sur un voisinage de $x$. Soit $t$ une distribution ponctuelle en $x$ sur X.

Considérons une carte $c = (U, \varphi, E)$ de $X$ centrée en $x$, et posons $f_c = f \circ \varphi^{-1}$ et $t_c = \theta_c^{-1}(t)$; l’élément $\langle f_c, t_c \rangle$ de $F$ défini en 13.1.3 ne dépend pas du choix de $c$; on le note $\langle f, t \rangle$. On a $\varepsilon_x(f) = f(x)$.¹ Le terme constant de $t$ est $\langle 1, t \rangle$.

Si $F'$ est un espace polynormé séparé et si $u : F \to F'$ est linéaire continue, on a $\langle u \circ f, t \rangle = u(\langle f, t \rangle)$.

Supposons que $F$ soit un espace de Banach, et que $t$ soit d’ordre $\leq k$, avec $k$ fini. Soit $j \in J_x^k(X, F)$, cf. 12.1.2, et soit $f \in j$. Alors $\langle f, t \rangle$ ne dépend que du jet $j$; on le note $\langle j, t \rangle$. L’application de $T_x^{(k)}(X) \times J_x^k(X, F)$ dans $F$ ainsi définie est bilinéaire. Lorsque $F = K$, on a posé $J_x^k(X, F) = P_x^k(X)$, cf. 12.6.2, et l’on obtient une forme bilinéaire sur $T_x^{(k)}(X) \times P_x^k(X)$.

13.2.3. Soit $\varphi : X \to Y$ un morphisme de variétés de classe $C^r$ et soit $y = \varphi(x)$. Soit $c = (U, \psi, E)$ une carte de $X$ centrée en $x$ et soit $c' = (U', \psi', E')$ une carte de $Y$ centrée en $y$; soit $\tilde{\varphi}$ l’expression de $\varphi$ dans ces cartes (5.3.2), et soit $\tilde{\varphi}_*$ l’application correspondante de $TS^{(r)}(E)$ dans $TS^{(r)}(E')$, cf. 13.1.4. Il existe une application linéaire et une seule, notée $T_x^{(r)}(\varphi)$ ou $\varphi_*$, de $T_x^{(r)}(X)$ dans $T_y^{(r)}(Y)$, rendant commutatif le diagramme

Cette application ne dépend pas du choix de $c$ et $c'$. Si $t \in T_x^{(r)}(X)$, on dit que $\varphi_*(t)$ est l’*image* de $t$ par $\varphi$. On a $\varphi_*(\varepsilon_x) = \varepsilon_y$. Si $k \leq r$, on a

Si $\varphi' : X \to Y$ est un morphisme de classe $C^r$ appliquant $x$ sur $y$, on a $\varphi_* = \varphi'_*$ si et seulement si $j_x^r(\varphi) = j_x^r(\varphi')$, cf. 12.1.

Si $\varphi$ est une immersion (resp. une submersion) en $x$, $\varphi_*$ est injectif (resp. surjectif); la réciproque est vraie si $\dim_y Y < +\infty$.

Si $\varphi' : Y \to Z$ est un morphisme de variétés de classe $C^r$, et si $t \in T_x^{(r)}(X)$, on a $(\varphi' \circ \varphi)_*(t) = \varphi'_*(\varphi_*(t))$.

Soit $F$ un espace polynormé séparé, et soit $f$ une fonction de classe $C^r$ à valeurs dans $F$, définie dans un voisinage de $y$. On a alors

13.2.4. Supposons que $X$ soit une sous-variété ouverte d’un espace de Banach $E$. Notons $\varphi_x$ l’application $y \mapsto y - x$ de $X$ dans $E$; la carte $c = (X, \varphi_x, E)$ est centrée

¹ Lorsque $K = \mathbf{R}$ ou $\mathbf{C}$ et que $X$ est localement compacte, la formule précédente conduit à identifier la distribution ponctuelle $\varepsilon_x$ à la mesure de Dirac $\varepsilon_x$ définie en JNT, III, § 1, n° 3. Plus généralement, toute mesure à support fini dans $X$ s’identifie à une distribution à support fini au sens du n° 13.6.

en $x$. On identifie alors $T_x^{(r)}(X)$ à $TS^{(r)}(E)$ au moyen de $\theta_c^{-1}$; en particulier, on a $T_x^{(\infty)}(X) = TS(E)$.

Soit $F$ un espace de Banach, soit $u : E \to F$ une application linéaire continue, et soient $x \in E, y \in F$ tels que $u(x) = y$. Identifions comme ci-dessus $T_x^{(\infty)}(E)$ à $TS(E)$ et $T_y^{(\infty)}(F)$ à $TS(F)$. L’application

13.2.5. Si $k \leq r$, on note $T^{(k)}(X)$ (resp. $T^{(k)+}(X)$) l’ensemble somme des $T_a^{(k)}(X)$ (resp. des $T_a^{(k)+}(X)$) pour $a \in X$. Une application $t : X \to T^{(k)}(X)$ telle que $t(a) \in T_a^{(k)}(X)$ pour tout $a \in X$ s’appelle un champ de distributions ponctuelles d’ordre $\leq k$.

Supposons $k$ fini et $X$ localement de dimension finie. Pour tout $a \in X$, la forme bilinéaire $(j, t) \mapsto \langle j, t \rangle$ (cf. 13.2.2) définit un isomorphisme $i_a$ de $T_a^{(k)}(X)$ sur le dual $P_a^k(X)^*$ de $P_a^k(X)$. Les $i_a$ définissent une bijection $i : T^{(k)}(X) \to P^k(X)^*$, où $P^k(X)^*$ désigne le dual du fibré vectoriel $P^k(X)$; par transport de structure au moyen de $i^{-1}$, on munit $T^{(k)}(X)$ d’une structure de fibré vectoriel de base $X$ et de classe $C^{r-k}$. Un champ de distributions ponctuelles d’ordre $\leq k$ est dit de classe $C^s$, avec $s \leq r - k$, si c’est une section de classe $C^s$ du fibré $T^{(k)}(X)$.

Soit $\varphi : X \to Y$ un morphisme de variétés de classe $C^r$ et supposons que $Y$ soit, comme $X$, localement de dimension finie. Alors $\varphi_* : T^{(k)}(X) \to T^{(k)}(Y)$ est un $\varphi$-morphisme de fibrés vectoriels de classe $C^{r-k}$.

13.2.6. Soit $k$ un entier tel que $0 \leq k \leq r$. Si $U$ est un ouvert d’un espace de Banach $E$ de dimension finie, le fibré vectoriel $T^{(k)}(U)$ s’identifie, grâce à 13.2.4, au fibré trivial de fibre $TS^{(k)}(E)$.

Prenons en particulier $E = K^n$, avec $n \geq 0$, et soit $(e_1, \ldots, e_n)$ la base canonique de $E$. Si $\alpha = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n)$ est un élément de $\mathbf{N}^n$, notons $\Delta^\alpha$ l’élément $\gamma_{\alpha_1}(e_1) \ldots \gamma_{\alpha_n}(e_n)$ de $TS(E)$ (le produit utilisé étant le produit symétrique des tenseurs symétriques, cf. A, IV, § 5, n° 3).(1) Les $\Delta^\alpha$, pour $|\alpha| \leq k$, forment une base de $TS^{(k)}(E)$; si $a \in K^n$, on note $\Delta_a^\alpha$ les éléments correspondants de $T_a^{(k)}(E)$. Soient $F$ un espace polynormé séparé, et $f$ une fonction de classe $C^r$, à valeurs dans $F$, définie au voisinage de $a$; si $\alpha \in \mathbf{N}^n$, l’élément $\langle f, \Delta_a^\alpha \rangle$ coïncide avec l’élément $(\Delta^\alpha f)(a)$ défini en 2.5.3, 3.2.1 et 4.2.1.

Supposons $X$ localement de dimension finie, et soit $\xi = (\xi^1, \ldots, \xi^n)$ un système de coordonnées de $X$ dans un ouvert $U$. Si $a \in U$ et si $\alpha$ est un multi-indice tel que $|\alpha| \leq k$, on note $(\Delta_\xi^\alpha)_a$ la distribution ponctuelle en $a$ dont l’image par $\xi$ est la distribution ponctuelle $\Delta_{\xi(a)}^\alpha$ sur $K^n$; les champs de distributions

(1) Si $m = |\alpha|$ et si $\Sigma$ est l’ensemble des applications $\sigma$ de $\{1, \ldots, m\}$ dans $\{1, \ldots, n\}$ telles que $\mathrm{Card}\, \sigma^{-1}(i) = \alpha_i$, on a

13.3. Distributions ponctuelles et espaces tangents

Dans ce no, X désigne une variété de classe $C^r$.

13.3.1. Soit $x \in X$ et soit $k$ un entier $\leq r$. Soit $c=(U,\varphi,E)$ une carte de $X$ centrée en $x$; l’isomorphisme $\theta_c:T^S(X)(E)\to T_x(X)$ défini en 13.2.1 applique $T^S{}^{(k)}(E)$ sur $T_x^{(k)}(X)$ et $T^S{}^{(k-1)}(E)$ sur $T_x^{(k-1)}(X)$; par restriction et passage au quotient, il induit un isomorphisme

D’autre part, $c$ définit un isomorphisme, déjà noté $\theta_c$, de $E$ sur l’espace tangent $T_x(X)$, cf. 5.5.1. Notons $i_k$ le composé

L’isomorphisme $i_k$ est indépendant du choix de $c$; pour $k=1$, on l’utilise pour identifier $T_x^{(1)}(X)=T_x^{(1)}(X)/T_x^{(0)}(X)$ à l’espace tangent $T_x(X)$. Si $t\in T_x^{(k)}(X)$, on se permet de noter $i_k(t)$ l’image par $i_k$ de la classe de $t$ modulo $T_x^{(k-1)}(X)$.

Posons

et

On dit que $\operatorname{gr}T_x^{(r)}(X)$ est le gradué associé à la filtration croissante $(T_x^{(k)}(X))_{k\leq r}$ de $T_x^{(r)}(X)$. Les $i_k$ définissent un isomorphisme d’espaces vectoriels gradués

Si $r=\infty$ ou $\omega$, $i$ est un isomorphisme de $\operatorname{gr}T_x^{(r)}(X)$ sur $T^S(T_x(X))$. Lorsque l’on désire préciser $x$ (ou $X$, ou les deux), on écrit $i_x$ (ou $i_X$, ou $i_{x,X}$) à la place de $i$.

13.3.2. Outre les hypothèses ci-dessus, supposons que $X$ soit localement de dimension finie. Les isomorphismes $i_k$ relatifs aux différents points de $X$ définissent un isomorphisme de fibrés vectoriels

où $TS^{(k)}(T(X))$ désigne le fibré vectoriel de classe $C^{r-1}$ déduit de $T(X)$ par le foncteur vectoriel en dimension finie $TS^{(k)}$ (cf. 7.6.5). Pour $k\geq 1$, $i_k$ est un isomorphisme de classe $C^{r-k}$; pour $k=0$, c’est l’application identique du fibré trivial $K_X$.

13.3.3. Exemple. — Les hypothèses étant comme ci-dessus, soit $\xi=(\xi^1,\ldots,\xi^n)$ un système de coordonnées de $X$ en $x$. Notons $(\partial_i)_{1\leq i\leq n}$ la base de $T_x(X)$ définie par $\xi$ (cf. 5.5.8) et notons $(\Delta^\alpha_x)_{|\alpha|\leq k}$ celle de $T_x^{(k)}(X)$ définie en 13.2.6. On a :

[^1]

13.3.4. Supposons que K soit de caractéristique zéro ou que X soit localement de dimension finie. Soit k un entier tel que $0 \leq k \leq r$ et soit $x \in X$; soit F un espace de Banach. D’après 12.6.8, on a une suite exacte

(i)

(ii)

(i)

(ii)

Si $a \in A$ et $a' \in A'$, l’élément $\langle a, a' \rangle$ de F est défini par 13.1.2; si $b \in B$ et $b' \in B'$, (resp. si $c \in C$ et $c' \in C'$), l’élément $\langle b, b' \rangle$ (resp. $\langle c, c' \rangle$) de F est défini par 13.2.2; on a alors:

13.3.5. Soit Y une variété de classe $C^r$, soit $\varphi : X \to Y$ un morphisme de classe $C^r$ et soient $x \in X,\ y \in Y$ tels que $y = \varphi(x)$. L’application $\varphi_* : T_x^{(r)}(X) \to T_y^{(r)}(Y)$ définie en 13.2.3 est compatible avec les filtrations de ces espaces; elle définit par passage aux gradués associés une application linéaire

est commutatif.

13.3.6. Supposons que K soit de caractéristique zéro. En utilisant les isomorphismes $\varphi_M : S^k(M) \to TS^k(M)$ définis en A, IV, § 5, n° 8, on peut remplacer, dans tout ce qui précède, les $TS^k(T_x(X))$ par les puissances symétriques k-ièmes $S^k(T_x(X))$ de l’espace tangent $T_x(X)$.

13.4. Produit tensoriel de distributions ponctuelles

13.4.1. Soient $X_1$ et $X_2$ deux variétés de classe $C^r$, soient $x_1 \in X_1,\ x_2 \in X_2$ et $t_1 \in T_{x_1}^{(k_1)}(X_1),\ t_2 \in T_{x_2}^{(k_2)}(X_2)$ avec $k_1 + k_2 \leq r$. Posons $X = X_1 \times X_2,\ x = (x_1, x_2)$ et k = k_1 + k_2. Pour i = 1, 2, soit c_i = (U_i, \varphi_i, E_i) une carte de X_i centrée en x_i et notons $\tilde{t}_i$ l’élément de TS(E_i) tel que $\theta_c(\tilde{t}_i) = t_i$, cf. 13.2.1. Soit $\sigma$ l’isomorphisme canonique de TS(E_1) $\otimes$ TS(E_2) sur TS(E_1 $\times$ E_2), cf. A, IV, § 5, n° 5. L’élément $\sigma(\tilde{t}_1 \otimes \tilde{t}_2)$ est le produit symétrique de $\tilde{t}_1$ et $\tilde{t}_2$ (identifiés à des éléments de TS(E_1 $\times$ E_2) grâce aux injections canoniques TS(E_i) $\to$ TS(E_1 $\times$ E_2)); il appartient à TS^{(k)}(E_1 $\times$ E_2). Posons $c = c_1 \times c_2$; c’est une carte de X centrée en x. L’image par $\theta_c$ de $\sigma(\tilde{t}_1 \otimes \tilde{t}_2)$ est un élément de T_x^{(k)}(X), qui ne dépend pas du choix des cartes $c_i$. On l’appelle le produit direct, ou le produit tensoriel symétrique (ou même simplement le produit tensoriel) de $t_1$ et $t_2$ et on le note $t_1 \times t_2$ ou $t_1 \otimes t_2$.

On a $\varepsilon_{x_1} \otimes \varepsilon_{x_2} = \varepsilon_x$. Le terme constant de $t_1 \otimes t_2$ est le produit des termes constants de $t_1$ et de $t_2$.

L’isomorphisme $(y_1, y_2) \mapsto (y_2, y_1)$ de $X_1 \times X_2$ sur $X_2 \times X_1$ transforme $t_1 \otimes t_2$ en $t_2 \otimes t_1$.

13.4.2 (« Associativité et fonctorialité »). Soient $X_i$ ($i = 1, 2, 3$) des variétés de classe $C^r$, et soient $x_i \in X_i$, $t_i \in T^{(k_i)}_{x_i}(X_i)$ avec $k_1 + k_2 + k_3 \leq r$. On a

Soient $\varphi_1 : X_1 \to Y_1$ et $\varphi_2 : X_2 \to Y_2$ des morphismes de variétés de classe $C^r$, et soient $t_1 \in T^{(k_1)}(X_1)$, $t_2 \in T^{(k_2)}(X_2)$ avec $k_1 + k_2 \leq r$. On a

13.4.3. Les notations étant celles de 13.4.1, soient $F_1, F_2$ et F des espaces polynormés séparés, et $(u_1, u_2) \mapsto u_1 . u_2$ une application bilinéaire continue de $F_1 \times F_2$ dans F. Soit

13.4.4. Les notations étant celles de 13.4.1, soit $f$ une application de classe $C^r$ de X dans un espace polynormé séparé F. Si $y_1 \in X_1$, notons $f_{y_1}$ l’application $y_2 \mapsto f(y_1, y_2)$ de $X_2$ dans F et posons $g(y_1) = \langle f_{y_1}, t_2 \rangle$. La fonction $g : X_1 \to F$ ainsi définie est de classe $C^{r - k_1}$, et l’on a