§ 13. Phân bố điểm

13.1. Tenxơ đối xứng và không gian Banach

13.1.1. Cho E là một môđun trên một vành giao hoán A. Nếu n là một số nguyên $\geq 0$, ký hiệu $TS^n(E)$ là môđun của các tenxơ đối xứng hạng n của E (A, III, p. 71 và A, IV, § 5, no 2); tổng trực tiếp của các $TS^n(E)$ được ký hiệu là $TS(E)$. Nếu r là một số nguyên, một trong các ký hiệu $\infty,\omega$, đặt

do đó, nếu $r\geq 0$, $TS^{r}(E)$ là tổng trực tiếp của $TS^{(0)}(E)=A$ và của $TS^{(r)+}(E)$. Ta có $TS^{(1)+}(E)=E$ và $TS^{(\infty)}(E)=TS^{(\omega)}(E)=TS(E)$.

Nếu $n$ là một số nguyên $\geq 0$, và nếu $x\in E$, ký hiệu $\gamma_n(x)$ là phần tử $x\otimes\cdots\otimes x$ của $TS^n(E)$; với $n=0$, $\gamma_0(x)=1$.

13.1.2. (« Các ánh xạ đa thức »). Giả sử rằng A là nguyên vô hạn và rằng E là một A-môđun tự do. Cho F là một A-môđun. Một ánh xạ $f:E\rightarrow F$ được gọi là đa thức thuần nhất bậc n nếu nó thỏa mãn các điều kiện tương đương sau đây (xem A, IV, § 5, no 9):

a) Tồn tại một ánh xạ tuyến tính $\tilde f:TS^n(E)\rightarrow F$ sao cho $f(x)=\tilde f(\gamma_n(x))$ với mọi $x\in E$.

b) Tồn tại một ánh xạ đa tuyến tính $u:E^n\rightarrow F$ sao cho $f(x)=u(x,\ldots,x)$ với mọi $x\in E$.

Giả sử trường hợp này xảy ra. Ánh xạ $\tilde f$ thỏa mãn a) khi đó là duy nhất; nếu $t\in TS^n(E)$, ký hiệu $\langle f,t\rangle$ là phần tử $\tilde f(t)$. Nếu $u:E^n\rightarrow F$ thỏa mãn b), ánh xạ tuyến tính tương ứng của $\otimes^nE$ vào F trùng với nó trong môđun con $TS^n(E)$. Khi $n!$ khả nghịch trong A, người ta có thể chọn u đối xứng, và việc này theo một cách duy nhất.

13.1.3. Cho E là một không gian Banach trên K và F là một không gian đa thức tách được trên K. Cho U là một lân cận mở của 0 trong E, $f:U\rightarrow F$ là một ánh xạ thuộc lớp $C^r$ ($r\in\mathbf{N}_K$), và $t$ là một phần tử của $TS^{(r)}(E)$, xem 13.1.1 (áp dụng cho vành $A=K$). Cho $k$ là một số nguyên $\leq r$ sao cho $t\in TS^{(k)}(E)$. Ta có thể phân tích duy nhất $t$ và $f$ thành

và

trong đó $f_i$ là một đa thức liên tục thuần nhất bậc $i$ ($0 \leq i \leq k$) và trong đó $h$ có tiếp xúc cấp $\geq k$ với 0 tại điểm 0. Khi đó đặt

đây là một phần tử của F không phụ thuộc vào lựa chọn $k$.

13.1.4. Cho E và E’ là hai không gian Banach, U là một lân cận mở của 0 trong E và $\varphi : U \to E'$ là một ánh xạ lớp $C^r$ sao cho $\varphi(0) = 0$. Cho $t \in TS^{(r)}(E)$. Tồn tại duy nhất một phần tử $t' \in TS^{(r)}(E')$ sao cho, với mọi không gian đa chuẩn tách được F, mọi lân cận mở U’ của 0 trong E’, và mọi ánh xạ $f : U' \to F$ lớp $C^r$, ta có

(*)

Phần tử $t'$ này được ký hiệu là $\varphi_*(t)$. Ánh xạ

được xác định như vậy là tuyến tính.

13.2. Phân bố tại điểm

Trong No. này, X ký hiệu một đa tạp lớp $C^r$, và $x$ là một điểm của X.

13.2.1. Cho $\mathscr{A}$ là tập hợp các cặp $(c, t)$, trong đó $c = (U, \varphi, E)$ là một biểu đồ của X tâm tại $x$, và $t \in TS^{(r)}(E)$. Hai phần tử $((U, \varphi, E), t)$ và $((U', \varphi', E'), t')$ của $\mathscr{A}$ được gọi là tương đương nếu $t' = \gamma_*(t)$, trong đó $\gamma = \varphi' \circ \varphi^{-1}$. Theo cách này ta được một quan hệ tương đương trên $\mathscr{A}$; một lớp tương đương đối với quan hệ này được gọi là một phân bố tại điểm $x$ trên X.

Gọi $T_x^{(r)}(X)$ là tập hợp các phân bố tại điểm $x$ trên X. Nếu $c$ là một biểu đồ của X tâm tại $x$, ánh xạ

gán cho $t$ lớp của $(c, t)$ là một song ánh. Trong tất cả những gì sau đây, $T_x^{(r)}(X)$ được trang bị cấu trúc của một không gian vectơ trên K thu được bằng cách chuyển cấu trúc của $TS^{(r)}(E)$ qua $\theta_c$; cấu trúc này không phụ thuộc vào lựa chọn $c$. Tương tự, nếu $k \leq r$, $T_x^{(k)}(X)$ và $T_x^{(k)+}(X)$ ký hiệu các ảnh của $TS^{(k)}(E)$ và $TS^{(k)+}(E)$ qua $\theta_c$; chúng không phụ thuộc vào lựa chọn $c$. Một phần tử của $T_x^{(r)}(X)$ được gọi là có cấp $\leq k$ nếu nó thuộc $T_x^{(k)}(X)$. Ta có

Tồn tại duy nhất một phần tử $\varepsilon_x$ của $T_x^{(0)}(X)$ sao cho $\theta_c(1) = \varepsilon_x$ với mọi biểu đồ $c$ của X tâm tại $x$. Nếu $t$ là một phân bố tại điểm $x$, số hạng hằng của $t$ là phần tử $\lambda$ của K sao cho $t - \lambda \varepsilon_x \in T_x^{(r)+}(X)$; ta nói rằng $t$ không có số hạng hằng nếu số hạng hằng của nó bằng không.

13.2.2. Cho F là một không gian đa chuẩn tách được, và cho $f$ là một hàm thuộc lớp $C^r$ với các giá trị trong F, được xác định trên một lân cận của $x$. Cho $t$ là một phân bố có giá tại $x$ trên X.

Xét một biểu đồ $c = (U, \varphi, E)$ của $X$ lấy $x$ làm tâm, và đặt $f_c = f \circ \varphi^{-1}$ và $t_c = \theta_c^{-1}(t)$; phần tử $\langle f_c, t_c \rangle$ của $F$ được xác định trong 13.1.3 không phụ thuộc vào lựa chọn $c$; ta ký hiệu nó bởi $\langle f, t \rangle$. Ta có $\varepsilon_x(f) = f(x)$.¹ Số hạng hằng của $t$ là $\langle 1, t \rangle$.

Nếu $F'$ là một không gian đa chuẩn tách được và nếu $u : F \to F'$ là ánh xạ tuyến tính liên tục, ta có $\langle u \circ f, t \rangle = u(\langle f, t \rangle)$.

Giả sử rằng $F$ là một không gian Banach, và rằng $t$ có cấp $\leq k$, với $k$ hữu hạn. Cho $j \in J_x^k(X, F)$, cf. 12.1.2, và cho $f \in j$. Khi đó $\langle f, t \rangle$ chỉ phụ thuộc vào jet $j$; ta ký hiệu nó bởi $\langle j, t \rangle$. Ánh xạ từ $T_x^{(k)}(X) \times J_x^k(X, F)$ vào $F$ được xác định như vậy là song tuyến tính. Khi $F = K$, ta đã đặt $J_x^k(X, F) = P_x^k(X)$, cf. 12.6.2, và ta thu được một dạng song tuyến tính trên $T_x^{(k)}(X) \times P_x^k(X)$.

13.2.3. Cho $\varphi : X \to Y$ là một cấu xạ giữa các đa tạp thuộc lớp $C^r$ và cho $y = \varphi(x)$. Cho $c = (U, \psi, E)$ là một biểu đồ của $X$ lấy $x$ làm tâm và cho $c' = (U', \psi', E')$ là một biểu đồ của $Y$ lấy $y$ làm tâm; cho $\tilde{\varphi}$ là biểu thức của $\varphi$ trong các biểu đồ này (5.3.2), và cho $\tilde{\varphi}_*$ là ánh xạ tương ứng từ $TS^{(r)}(E)$ vào $TS^{(r)}(E')$, cf. 13.1.4. Tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính, ký hiệu bởi $T_x^{(r)}(\varphi)$ hoặc $\varphi_*$, từ $T_x^{(r)}(X)$ vào $T_y^{(r)}(Y)$, làm cho biểu đồ sau giao hoán

Ánh xạ này không phụ thuộc vào lựa chọn của $c$ và $c'$. Nếu $t \in T_x^{(r)}(X)$, $\varphi_*(t)$ được gọi là ảnh của $t$ qua $\varphi$. Ta có $\varphi_*(\varepsilon_x) = \varepsilon_y$. Nếu $k \leq r$, ta có

Nếu $\varphi' : X \to Y$ là một cấu xạ lớp $C^r$ ánh xạ $x$ lên $y$, ta có $\varphi_* = \varphi'_*$ khi và chỉ khi $j_x^r(\varphi) = j_x^r(\varphi')$, cf. 12.1.

Nếu $\varphi$ là một phép nhúng (tương ứng. một phép ngập) tại $x$, $\varphi_*$ là đơn ánh (tương ứng. toàn ánh); đảo lại đúng nếu $\dim_y Y < +\infty$.

Nếu $\varphi' : Y \to Z$ là một cấu xạ của các đa tạp $C^r$, và nếu $t \in T_x^{(r)}(X)$, ta có $(\varphi' \circ \varphi)_*(t) = \varphi'_*(\varphi_*(t))$.

Cho $F$ là một không gian đa chuẩn tách được, và cho $f$ là một hàm lớp $C^r$ với các giá trị trong $F$, được xác định trong một lân cận của $y$. Khi đó ta có

13.2.4. Giả sử rằng $X$ là một đa tạp con mở của một không gian Banach $E$. Ký hiệu $\varphi_x$ là ánh xạ $y \mapsto y - x$ của $X$ vào $E$; biểu đồ $c = (X, \varphi_x, E)$ được lấy tâm

¹ Khi $K = \mathbf{R}$ hoặc $\mathbf{C}$ và $X$ là compact địa phương, công thức trước dẫn đến việc đồng nhất phân bố điểm $\varepsilon_x$ với độ đo Dirac $\varepsilon_x$ được định nghĩa trong JNT, III, § 1, No. 3. Nói chung hơn, mọi độ đo có giá hữu hạn trong $X$ đều được đồng nhất với một phân bố có giá hữu hạn theo nghĩa của No. 13.6.

tại $x$. Khi đó ta đồng nhất $T_x^{(r)}(X)$ với $TS^{(r)}(E)$ bằng $\theta_c^{-1}$; đặc biệt, ta có $T_x^{(\infty)}(X) = TS(E)$.

Cho $F$ là một không gian Banach, cho $u : E \to F$ là một ánh xạ tuyến tính liên tục, và cho $x \in E, y \in F$ là sao cho $u(x) = y$. Đồng nhất như trên $T_x^{(\infty)}(E)$ với $TS(E)$ và $T_y^{(\infty)}(F)$ với $TS(F)$. Ánh xạ

13.2.5. Nếu $k \leq r$, ký hiệu $T^{(k)}(X)$ (tương ứng $T^{(k)+}(X)$) là tập hợp tổng của các $T_a^{(k)}(X)$ (tương ứng của các $T_a^{(k)+}(X)$) với $a \in X$. Một ánh xạ $t : X \to T^{(k)}(X)$ sao cho $t(a) \in T_a^{(k)}(X)$ với mọi $a \in X$ được gọi là một trường các phân bố điểm có cấp $\leq k$.

Giả sử $k$ hữu hạn và $X$ địa phương có số chiều hữu hạn. Với mọi $a \in X$, dạng song tuyến tính $(j, t) \mapsto \langle j, t \rangle$ (cf. 13.2.2) định nghĩa một đẳng cấu $i_a$ của $T_a^{(k)}(X)$ lên đối ngẫu $P_a^k(X)^*$ của $P_a^k(X)$. Các $i_a$ định nghĩa một song ánh $i : T^{(k)}(X) \to P^k(X)^*$, trong đó $P^k(X)^*$ là đối ngẫu của bó vectơ $P^k(X)$; bằng phép chuyển cấu trúc nhờ $i^{-1}$, ta trang bị cho $T^{(k)}(X)$ một cấu trúc của bó vectơ với cơ sở $X$ và thuộc lớp $C^{r-k}$. Một trường các phân bố điểm có cấp $\leq k$ được gọi là thuộc lớp $C^s$, với $s \leq r - k$, nếu nó là một tiết diện thuộc lớp $C^s$ của bó vectơ $T^{(k)}(X)$.

Cho $\varphi : X \to Y$ là một cấu xạ của các đa tạp thuộc lớp $C^r$ và giả sử rằng $Y$, cũng như $X$, địa phương có số chiều hữu hạn. Khi đó $\varphi_* : T^{(k)}(X) \to T^{(k)}(Y)$ là một $\varphi$-cấu xạ của các bó vectơ thuộc lớp $C^{r-k}$.

13.2.6. Cho $k$ là một số nguyên sao cho $0 \leq k \leq r$. Nếu $U$ là một tập hợp mở của một không gian Banach $E$ có số chiều hữu hạn, bó vectơ $T^{(k)}(U)$ được đồng nhất, nhờ 13.2.4, với bó tầm thường có thớ $TS^{(k)}(E)$.

Đặc biệt lấy $E = K^n$, với $n \geq 0$, và gọi $(e_1, \ldots, e_n)$ là cơ sở chính tắc của $E$. Nếu $\alpha = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n)$ là một phần tử của $\mathbf{N}^n$, ký hiệu $\Delta^\alpha$ là phần tử $\gamma_{\alpha_1}(e_1) \ldots \gamma_{\alpha_n}(e_n)$ của $TS(E)$ (tích được sử dụng là tích đối xứng của các tenxơ đối xứng, cf. A, IV, § 5, No. 3).(1) Các $\Delta^\alpha$, với $|\alpha| \leq k$, lập thành một cơ sở của $TS^{(k)}(E)$; nếu $a \in K^n$, ký hiệu $\Delta_a^\alpha$ là các phần tử tương ứng của $T_a^{(k)}(E)$. Cho $F$ là một không gian đa chuẩn tách được, và $f$ là một hàm thuộc lớp $C^r$, với các giá trị trong $F$, được xác định trong một lân cận của $a$; nếu $\alpha \in \mathbf{N}^n$, phần tử $\langle f, \Delta_a^\alpha \rangle$ trùng với phần tử $(\Delta^\alpha f)(a)$ được định nghĩa trong 2.5.3, 3.2.1 và 4.2.1.

Giả sử $X$ có chiều hữu hạn địa phương, và gọi $\xi = (\xi^1, \ldots, \xi^n)$ là một hệ tọa độ của $X$ trong một tập mở $U$. Nếu $a \in U$ và nếu $\alpha$ là một đa chỉ số sao cho $|\alpha| \leq k$, ký hiệu $(\Delta_\xi^\alpha)_a$ là phân bố điểm tại $a$ mà ảnh của nó qua $\xi$ là phân bố điểm $\Delta_{\xi(a)}^\alpha$ trên $K^n$; các trường phân bố

(1) Nếu $m = |\alpha|$ và nếu $\Sigma$ là tập hợp các ánh xạ $\sigma$ của $\{1, \ldots, m\}$ vào $\{1, \ldots, n\}$ sao cho $\mathrm{Card}\, \sigma^{-1}(i) = \alpha_i$, ta có

13.3. Phân bố điểm và không gian tiếp xúc

Trong No. này, $X$ ký hiệu một đa tạp thuộc lớp $C^r$.

13.3.1. Cho $x \in X$ và cho $k$ là một số nguyên $\leq r$. Cho $c=(U,\varphi,E)$ là một biểu đồ của $X$ có tâm tại $x$; đẳng cấu $\theta_c:T^S(X)(E)\to T_x(X)$ được định nghĩa trong 13.2.1 ánh xạ $T^S{}^{(k)}(E)$ lên $T_x^{(k)}(X)$ và $T^S{}^{(k-1)}(E)$ lên $T_x^{(k-1)}(X)$; bằng hạn chế và chuyển qua thương, nó cảm sinh một đẳng cấu

Mặt khác, $c$ định nghĩa một đẳng cấu, đã được ký hiệu là $\theta_c$, từ $E$ lên không gian tiếp xúc $T_x(X)$, xem 5.5.1. Gọi $i_k$ là ánh xạ hợp thành

Đẳng cấu $i_k$ là độc lập với lựa chọn $c$; với $k=1$, nó được dùng để đồng nhất $T_x^{(1)}(X)=T_x^{(1)}(X)/T_x^{(0)}(X)$ với không gian tiếp xúc $T_x(X)$. Nếu $t\in T_x^{(k)}(X)$, ta cho phép mình ký hiệu $i_k(t)$ là ảnh qua $i_k$ của lớp của $t$ modulo $T_x^{(k-1)}(X)$.

Đặt

và

Ta nói rằng $\operatorname{gr}T_x^{(r)}(X)$ là phân bậc liên kết với lọc tăng $(T_x^{(k)}(X))_{k\leq r}$ của $T_x^{(r)}(X)$. Các $i_k$ xác định một đẳng cấu của các không gian vectơ phân bậc

Nếu $r=\infty$ hoặc $\omega$, $i$ là một đẳng cấu từ $\operatorname{gr}T_x^{(r)}(X)$ lên $T^S(T_x(X))$. Khi muốn chỉ rõ $x$ (hoặc $X$, hoặc cả hai), người ta viết $i_x$ (hoặc $i_X$, hoặc $i_{x,X}$) thay cho $i$.

13.3.2. Ngoài các giả thiết trên, giả sử rằng $X$ là hữu hạn chiều địa phương. Các đẳng cấu $i_k$ tương ứng với các điểm khác nhau của $X$ xác định một đẳng cấu của các bó vectơ

trong đó $TS^{(k)}(T(X))$ ký hiệu bó vectơ lớp $C^{r-1}$ nhận được từ $T(X)$ bởi hàm tử vectơ hữu hạn chiều $TS^{(k)}$ (xem 7.6.5). Với $k\geq 1$, $i_k$ là một đẳng cấu lớp $C^{r-k}$; với $k=0$, nó là ánh xạ đồng nhất của bó tầm thường $K_X$.

13.3.3. Ví dụ. — Với các giả thiết như trên, cho $\xi=(\xi^1,\ldots,\xi^n)$ là một hệ tọa độ của $X$ tại $x$. Cho $(\partial_i)_{1\leq i\leq n}$ là cơ sở của $T_x(X)$ được xác định bởi $\xi$ (xem 5.5.8) và cho $(\Delta^\alpha_x)_{|\alpha|\leq k}$ là cơ sở của $T_x^{(k)}(X)$ được xác định trong 13.2.6. Ta có:

[^1]

13.3.4. Giả sử rằng K có đặc số không hoặc X có số chiều hữu hạn địa phương. Cho k là một số nguyên sao cho $0 \leq k \leq r$ và cho $x \in X$; cho F là một không gian Banach. Theo 12.6.8, ta có một dãy khớp

(i)

(ii)

(i)

(ii)

Nếu $a \in A$ và $a' \in A'$, phần tử $\langle a, a' \rangle$ của F được xác định bởi 13.1.2; nếu $b \in B$ và $b' \in B'$ (tương ứng, nếu $c \in C$ và $c' \in C'$), phần tử $\langle b, b' \rangle$ (tương ứng $\langle c, c' \rangle$) của F được xác định bởi 13.2.2; khi đó ta có:

13.3.5. Cho Y là một đa tạp thuộc lớp $C^r$, cho $\varphi : X \to Y$ là một cấu xạ thuộc lớp $C^r$ và cho $x \in X,\ y \in Y$ sao cho $y = \varphi(x)$. Ánh xạ $\varphi_* : T_x^{(r)}(X) \to T_y^{(r)}(Y)$ được xác định trong 13.2.3 là tương thích với các lọc của các không gian này; nó xác định, bằng cách chuyển qua các không gian phân bậc liên kết, một ánh xạ tuyến tính

là giao hoán.

13.3.6. Giả sử rằng K có đặc số không. Sử dụng các đẳng cấu $\varphi_M : S^k(M) \to TS^k(M)$ được xác định trong A, IV, § 5, No. 8, ta có thể thay thế, trong tất cả những điều đã nêu trước đây, $TS^k(T_x(X))$ bởi các lũy thừa đối xứng thứ k $S^k(T_x(X))$ của không gian tiếp xúc $T_x(X)$.

13.4. Tích tenxơ của các phân phối điểm

13.4.1. Cho $X_1$ và $X_2$ là hai đa tạp thuộc lớp $C^r$, cho $x_1 \in X_1,\ x_2 \in X_2$ và $t_1 \in T_{x_1}^{(k_1)}(X_1),\ t_2 \in T_{x_2}^{(k_2)}(X_2)$ với $k_1 + k_2 \leq r$. Đặt $X = X_1 \times X_2,\ x = (x_1, x_2)$ và k = k_1 + k_2. Với i = 1, 2, cho c_i = (U_i, \varphi_i, E_i) là một biểu đồ của X_i lấy tâm tại x_i và ký hiệu $\tilde{t}_i$ là phần tử của TS(E_i) sao cho $\theta_c(\tilde{t}_i) = t_i$, xem 13.2.1. Cho $\sigma$ là đẳng cấu chính tắc của TS(E_1) $\otimes$ TS(E_2) lên TS(E_1 $\times$ E_2), xem A, IV, § 5, no. 5. Phần tử $\sigma(\tilde{t}_1 \otimes \tilde{t}_2)$ là tích đối xứng của $\tilde{t}_1$ và $\tilde{t}_2$ (được đồng nhất với các phần tử của TS(E_1 $\times$ E_2) nhờ các phép nhúng chính tắc TS(E_i) $\to$ TS(E_1 $\times$ E_2)); nó thuộc TS^{(k)}(E_1 $\times$ E_2). Đặt $c = c_1 \times c_2$; đây là một biểu đồ của X lấy tâm tại x. Ảnh bởi $\theta_c$ của $\sigma(\tilde{t}_1 \otimes \tilde{t}_2)$ là một phần tử của T_x^{(k)}(X), không phụ thuộc vào lựa chọn các biểu đồ $c_i$. Nó được gọi là tích trực tiếp, hoặc tích tenxơ đối xứng (hoặc đơn giản là tích tenxơ) của $t_1$ và $t_2$ và được ký hiệu bởi $t_1 \times t_2$ hoặc $t_1 \otimes t_2$.

Ta có $\varepsilon_{x_1} \otimes \varepsilon_{x_2} = \varepsilon_x$. Số hạng hằng của $t_1 \otimes t_2$ là tích của các số hạng hằng của $t_1$ và $t_2$.

Đẳng cấu $(y_1, y_2) \mapsto (y_2, y_1)$ của $X_1 \times X_2$ lên $X_2 \times X_1$ biến $t_1 \otimes t_2$ thành $t_2 \otimes t_1$.

13.4.2 (« Tính kết hợp và tính hàm tử »). Cho $X_i$ ($i = 1, 2, 3$) là các đa tạp thuộc lớp $C^r$, và cho $x_i \in X_i$, $t_i \in T^{(k_i)}_{x_i}(X_i)$ với $k_1 + k_2 + k_3 \leq r$. Ta có

Cho $\varphi_1 : X_1 \to Y_1$ và $\varphi_2 : X_2 \to Y_2$ là các đồng cấu của các đa tạp thuộc lớp $C^r$, và cho $t_1 \in T^{(k_1)}(X_1)$, $t_2 \in T^{(k_2)}(X_2)$ với $k_1 + k_2 \leq r$. Ta có

13.4.3. Với ký hiệu của 13.4.1, cho $F_1, F_2$ và F là các không gian đa chuẩn tách được, và cho $(u_1, u_2) \mapsto u_1 . u_2$ là một ánh xạ song tuyến tính liên tục của $F_1 \times F_2$ vào F. Cho

13.4.4. Với ký hiệu của 13.4.1, cho $f$ là một ánh xạ thuộc lớp $C^r$ của X vào một không gian đa chuẩn tách được F. Nếu $y_1 \in X_1$, ký hiệu $f_{y_1}$ là ánh xạ $y_2 \mapsto f(y_1, y_2)$ của $X_2$ vào F và đặt $g(y_1) = \langle f_{y_1}, t_2 \rangle$. Hàm $g : X_1 \to F$ được định nghĩa như vậy thuộc lớp $C^{r - k_1}$, và ta có