§ 14. Opérateurs différentiels

Dans ce paragraphe, X désigne une variété localement de dimension finie de classe $C^r$, où $r \in \mathbf{N}_k$; on note E et F deux fibrés vectoriels de rang fini de classe $C^r$ et de base X.

Toutes les variétés et tous les fibrés vectoriels considérés sont supposés localement de dimension finie.

14.1. Opérateurs différentiels

14.1.1. Soit k un entier tel que $0 \leq k \leq r$, et soit $P^k(E)$ le fibré des jets de sections d’ordre k de E (12.6.1). Posons

C’est un fibré vectoriel de base X et de classe $C^{r-k}$. Une section de ce fibré sur un ouvert U de X s’identifie à une application

qui commute à la projection sur U et est linéaire sur chaque fibre ; une telle section est appelée un opérateur différentiel sur U, de type $E \rightarrow F$, et d’ordre $\leq k$. Soit $h \in \mathbf{N}_k \cup \{0\}$, avec $0 \leq h \leq r-k$. On note $\mathscr{D}^{k,h}_U(E,F)$ l’ensemble des opérateurs différentiels sur U, de type $E \rightarrow F$ et d’ordre $\leq k$, qui sont de classe $C^h$ (comme sections de $D^k(E,F)$, ou comme morphismes de $P^k(E)|U$ dans $F|U$, cela revient au même). Si $M=D^k(E,F)$, on a $\mathscr{D}^{k,h}_U(E,F)=\mathscr{F}^h_M(U)$; c’est un module sur $\mathscr{C}^h(U)$, cf. 7.4.1.

Si $0 \leq k' \leq k$, le morphisme $r^{k,k'}:P^k(E)\longrightarrow P^{k'}(E)$ (cf. 12.6.6) définit une injection de $D^{k'}(E,F)$ dans $D^k(E,F)$; tout opérateur différentiel d’ordre $\leq k'$ est ainsi identifié à un opérateur différentiel d’ordre $\leq k$. Un opérateur différentiel d’ordre $\leq k$ qui n’est pas d’ordre $\leq k-1$ est dit parfois d’ordre k. Si $h \in \mathbf{N}_k \cup \{0\}$ et $h \leq r-k$, et si U est un ouvert de X, on a :

Si $r=\infty$ ou $\omega$, on note $\mathscr{D}^{\omega,h}_U(E,F)$ la réunion des $\mathscr{D}^{k,h}_U(E,F)$ pour $k \geq 0$; un élément de cette réunion s’appelle un opérateur différentiel sur U d’ordre borné (de type $E \rightarrow F$, de classe $C^h$) ou parfois simplement un opérateur différentiel sur U.

14.1.2 (« Opérateurs d’ordre zéro »). On a $P^0(E)=E$ (12.5.1) et $D^0(E,F)=\mathscr{L}(E;F)$. Si U est ouvert dans X, et si $h \in \mathbf{N}_k \cup \{0\}$ et $h \leq r$, un élément de $\mathscr{D}^{0,h}_U(E,F)$ est un morphisme de classe $C^h$ de $E|U$ dans $F|U$.

14.1.3 (« Affaiblissement de structure »). Supposons $K = \mathbf{R}$, et soit $r' \in \mathbf{N}_\mathbf{R}$ avec $r' \leq r$. Soient $X', E'$ et $F'$ la variété et les fibrés vectoriels de classe $C^{r'}$ obtenus par affaiblissement de structure à partir de $X, E,$ et $F$ respectivement. Soit $k$ un entier tel que $0 \leq k \leq r'$. Alors $P^k(E')$ est le fibré de classe $C^{r'-k}$ déduit de $P^k(E)$ par affaiblissement de structure, et l’on a un résultat analogue pour $D^k(E', F')$. En particulier, si $U$ est ouvert dans $X$, et si $0 \leq h \leq r - k'$, on a $\mathscr{D}_U^{k',h}(E', F') = \mathscr{D}_U^{k,h}(E, F)$.

14.1.4. Soit $D$ un opérateur différentiel sur $X$, de type $E \to F$, d’ordre $\leq k$ (où $0 \leq k \leq r$). Soit $U$ un ouvert de $X$, et soit $s$ une section, de classe $C^m$, de $E$ sur $U$, avec $m \in \mathbf{N}_K \cup \{0\}$ et $k \leq m \leq r$. Alors $j^k(s)$ est une section de classe $C^{m-k}$ de $P^k(E)$ sur $U$ (12.6.1); son image par $D$ est notée $D_U(s)$, ou $D(s)$. C’est une section de $F|U$. Supposons $D$ de classe $C^h$, où $h = m - k$. Alors $D_U(s)$ est de classe $C^h$, et les applications

(1) $D_U$ est $K$-linéaire. (2) Pour tout $s \in \mathscr{S}_E^m(U)$ et tout ouvert $V$ de $U$, on a $D_V(s|V) = D_U(s)|V$. (3) Pour tout $s \in \mathscr{S}_E^m(U)$ et tout $x \in U$ tels que $j_x^k(s) = 0$, on a $D_U(s)(x) = 0$. (3') Pour tout système de coordonnées $\xi = (\xi^1, \ldots, \xi^n)$ dans $U$ et tout repère $s = (s_1, \ldots, s_d)$ de $E$ sur $U$ (7.4.4), il existe des sections $n_{i,\alpha} (1 \leq i \leq d, \alpha \in \mathbf{N}^n, |\alpha| \leq k)$ de $F$ sur $U$, de classe $C^h$ et telles que, pour toute famille $(f_i)_{1 \leq i \leq d}$ d’éléments de $\mathscr{C}^m(U)$, on ait

14.1.5 (« Caractérisation des opérateurs différentiels »). Soient $k, m$ et $h = m - k$ comme dans 14.1.4. Pour tout ouvert $U$ de $X$, soit $D_U$ une application de $\mathscr{S}_E^m(U)$ dans $\mathscr{S}_F^h(U)$. Supposons que les conditions 1, 2, 3 (resp. 1, 2, 3’) de 14.1.4 soient vérifiées pour toute partie ouverte U de X. Il existe alors un élément D de $\mathscr{D}_X^{k,h}(E, F)$ et un seul tel que les $D_U$ soient les applications correspondantes.$^{(1)}$ Dans ce qui suit, on identifie D à la famille des $D_U$.

Lorsque $m = \infty$ ou $\omega$, on a $h = m$ et l’on peut remplacer les conditions (3) et (3') par l’une des conditions (4) et (5).

14.1.6 (« Opérateurs scalaires »). Supposons que E et F soient égaux au fibré trivial $K_X$. Un opérateur différentiel de type $E \to F$ s’appelle alors un opérateur différentiel scalaire ou simplement un opérateur différentiel ; s’il est d’ordre $\leq k$, c’est une section du fibré $\mathscr{L}(P^k(X); K_X) = P^k(X)^*$, dual du fibré $P^k(X)$; en utilisant l’isomorphisme

Prenons en particulier pour X un ouvert de $K^n$, où n est un entier $\geq 0$. Les champs de distributions ponctuelles

14.1.7 (« Opérateurs différentiels complexes sur une variété réelle »). Supposons $K = \mathbf{R}$ et que les fibrés vectoriels E et F soient munis de structures complexes (8.8.1) ; soit k un entier tel que $0 \leq k \leq r$. Le fibré $P^k(E)$ est alors muni d’une structure complexe (12.6.3) ; le fibré $\mathscr{L}_c(P^k(E); F)$ (7.8.5) des applications linéaires complexes de $P^k(E)$ dans F est un sous-fibré vectoriel de $\mathscr{L}(P^k(E); F) = D^k(E, F)$; on le note $D_c^k(E, F)$. Une section de $D_c^k(E, F)$ est appelée un opérateur différentiel complexe, de type $E \to F$ et d’ordre $\leq k$. Si $h \in N_K$ et $h \leq r - k$, et si U est un ouvert de X, on note de même $\mathscr{D}_U^{k,h}(E, F)_c$ l’espace des sections de classe $C^h$ de $D_c^k(E, F)$ sur U ; c’est un C-espace vectoriel. Les autres définitions et résultats de ce paragraphe s’étendent de manière analogue aux opérateurs différentiels complexes ; nous en laissons la formulation au lecteur.

14.1.8 (« Composition »). Soit G un fibré vectoriel de classe $C^r$ et de base X. Soient $k'$ et $k''$ des entiers positifs de somme $k \leq r$, et soit $D'$ (resp. $D''$) un opérateur différentiel sur X, de type $E \to F$ (resp. de type $F \to G$), d’ordre $\leq k'$ (resp. $\leq k''$). Supposons $D' : P^{k'}(E) \to F$ de classe $C^{h'}$, avec $h' \in N_K \cup \{0\}$ et $k'' \leq h' \leq r - k'$; l’application

$^1$ Il suffit d’ailleurs que la condition (3') soit vérifiée pour une famille $(\xi_\lambda)$ de systèmes de coordonnées et une famille de repères $(s_\lambda)$ dont les domaines recouvrent X.

Si U est un ouvert de X, et si s ∈ $\mathscr{S}_E^{k}(U)$, on a

Supposons maintenant D'' de classe $C^{h''}$, avec $h'' \in \mathbf{N}_K \cup \{0\}$ et $h'' \leq r - k''$. Alors $D'' \circ D'$ est de classe $C^h$, avec $h = \inf(h' - k'', h'')$.

Supposons que l’on ait $E = F = G$, et que $k' \leq h''$, auquel cas $D' \circ D''$ est défini. Alors $D' \circ D'' - D'' \circ D'$ est un opérateur différentiel de type $E \to E$ et d’ordre $\leq k - 1$; on le note $[D', D'']$.

14.1.9 (« Associativité »). Les notations et hypothèses étant celles de 14.1.8, soit H un fibré vectoriel de classe $C^r$ et de base X, et soit $D'''$ un opérateur différentiel sur X, de type $G \to H$ et d’ordre $\leq k'''$, avec $k' + k'' + k''' \leq r$. On suppose que $D'$ est de classe $C^{h'}$, avec $h' \in \mathbf{N}_K \cup \{0\}$ et $k'' + k''' \leq h' \leq r - k'$ et que $D''$ est de classe $C^{h''}$, avec $h'' \in \mathbf{N}_K \cup \{0\}$ et $k''' \leq h'' \leq r - k''$. Alors les composés

14.1.10. Exemples

a) Soit U un ouvert de X, soit $D \in \mathscr{D}_U^{k,h}(E, F)$ avec $h \in \mathbf{N}_K \cup \{0\}$ et $h \leq r - k$, et soit $f \in \mathscr{C}^{h+k}(U)$ (resp. $f \in \mathscr{C}^h(U)$). La multiplication par f dans E (resp. F) est un opérateur différentiel sur U d’ordre $\leq 0$, et de type $E \to E$ (resp. $F \to F$), cf. 14.1.2. Les composés $D \circ f$ et $f \circ D$ sont définis et appartiennent à $\mathscr{D}_U^{k,h}(E; F)$; on pose

b) Supposons $r = \infty$ ou $r = \omega$. Les opérateurs différentiels de type $E \to E$ et de classe $C^r$ forment une K-algèbre associative à élément unité.

c) Prenons pour X un ouvert de $K^n$. Les opérateurs différentiels scalaires $\Delta^\alpha$ (14.1.6) vérifient les formules

14.1.11 (« Opérateurs multidifférentiels »). Soient $E_1, \ldots, E_n$ des espaces fibrés vectoriels de classe $C^r$ et de base X, et soient $k, k_1, \ldots, k_n$ des entiers appartenant à $[0, r]$. Posons

Si $k_i \leq k$ pour tout $i$, les projections $r^{k_i, k_i} : P^k(E_i) \to P^{k_i}(E_i)$ permettent d’identifier le fibré $L(k_1, \ldots, k_n)$ à un sous-fibré du fibré $L(k) = L(k, \ldots, k)$. Il existe un plus petit sous-fibré $M(k)$ de $L(k)$ contenant tous les sous-fibrés $L(k_1, \ldots, k_n)$, pour $k_1 + \cdots + k_n = k$. Une section $H$ de $M(k)$ est appelée un opérateur $n$-différentiel (ou multidifférentiel) de type $(E_1, \ldots, E_n) \to F$ et d’ordre $\leq k$. Si $s_i$ ($1 \leq i \leq n$) est une section de classe $C^m$ ($m \in \mathbf{N}_K, m \geq k$) de $E_i$ sur un ouvert $U$ de $X$, on définit $H_U(s_1, \ldots, s_n) = H(s_1, \ldots, s_n)$ comme l’image par $H$ de la section $j^k(s_1) \otimes \cdots \otimes j^k(s_n)$ du fibré

Lorsque $E_1, \ldots, E_n$ et $F$ sont égaux à $K_X$, on dit que $H$ est un opérateur $n$-différentiel (ou multidifférentiel) scalaire.

14.2. Symboles

14.2.1. Soit $k$ un entier positif $\leq r$. Considérons la suite exacte

14.2.2 (« Identifications du fibré des symboles »). On peut écrire le fibré $S^k(E, F) = \mathscr{L}(P_k(T(X); E); F)$ de diverses manières. Tout d’abord, si $x \in X$, un élément de $P_k(T_x(X); E_x)$ s’identifie (13.1.2) à un élément de $\mathscr{L}(TS^k(T_x(X)); E_x)$. On obtient ainsi des identifications de fibrés vectoriels

et, en appliquant le foncteur vectoriel $M \mapsto \mathscr{L}(M; F) = M^* \otimes F$, on obtient:

On peut encore transformer l’expression précédente. Si $M$ et $N$ sont deux fibrés vectoriels, notons $\mathrm{Sym}^k(M; N)$ le sous-fibré de $\mathscr{L}(M, \ldots, M; N)$ formé des applications $k$-linéaires symétriques. On a un isomorphisme canonique

d’autre part, la dualité entre $\otimes^k M$ et $\otimes^k M^*$ identifie $\mathrm{Sym}^k(M; K_X)$ à $TS^k(M^*)$. On obtient ainsi une identification

En appliquant cette formule à $M = T(X)^*$ et $N = \mathscr{L}(E; F)$, on a:

Supposons $K$ de caractéristique 0 ou $> k$. Si $u$ est une application $k$-linéaire symétrique, notons $\tilde{u}$ l’application polynomiale

correspondante. L’application $u \mapsto \tilde{u}$ définit un isomorphisme

Ainsi, tout élément $\sigma$ de $S^k(E, F)_x$, avec $x \in X$, peut être identifié à une application polynomiale homogène $\tilde{\sigma}$ de degré $k$ de $T_x(X)^*$ dans $\mathscr{L}(E_x; F_x)$.

14.2.3 (« Calcul du symbole d’un opérateur différentiel »). Soit $x \in X$ et soit $D$ un opérateur différentiel de type $E \to F$, d’ordre $\leq k$, défini dans un voisinage ouvert de $x$ et de classe $C^{r-k}$. On va expliciter la valeur $\sigma_k(D)(x)$ du symbole de $D$ en $x$. Considérons-le comme élément de $\mathrm{Sym}^k(T_x(X)^*; \mathscr{L}(E_x; F_x))$ (cf. 14.2.2). Soient $\omega_1, \ldots, \omega_k$ des covecteurs en $x$ et choisissons des fonctions $f_1, \ldots, f_k$ de classe $C^r$ dans un voisinage ouvert $U$ de $x$ telles que $d_x f_i = \omega_i$ pour $i = 1, \ldots, k$. Posons

L’opérateur $D'$ est d’ordre $\leq 0$; c’est une section de $\mathscr{L}(E; F)|U$. La valeur de $D'$ en $x$ est un élément $\lambda(\omega_1, \ldots, \omega_k)$ de $\mathscr{L}(E_x; F_x)$ qui ne dépend que de $(\omega_1, \ldots, \omega_k)$. L’application $\lambda$ ainsi définie est symétrique. Elle est égale au symbole $\sigma_k(D)(x)$ de $D$ en $x$.

Supposons $K = \mathbf{R}$ ou $\mathbf{C}$, et explicitons $\sigma_k(D)(x)$ considéré comme application polynomiale homogène de degré $k$ de $T_x(X)^*$ dans $\mathscr{L}(E_x; F_x)$ (cf. 14.2.2). Soient $\omega \in T_x(X)^*$ et $v \in E_x$; choisissons une fonction $f$ de classe $C^r$ dans un voisinage ouvert U de x telle que $d_x f = \omega$, et une section s de classe $C^r$ de E dans U telle que $s(x) = v$. Il existe une famille $(\varphi_0, \varphi_1, \ldots, \varphi_k)$ de sections de F dans U et une seule telle que

14.2.4 (« Le cas scalaire »). Prenons $E = F = K_X$, auquel cas on identifie $D^k(E, F)$ au fibré $T^{(k)}(X)$ des distributions ponctuelles d’ordre $\leq k$, cf. 14.1.6. On a

Prenons par exemple pour X un ouvert de $K^n$, et soit $\{e_1, \ldots, e_n\}$ la base canonique de $K^n$ (identifié aux espaces tangents $T_x(X)$). Si $\alpha \in \mathbf{N}^n$ est tel que $|\alpha| \leq k$, le symbole de l’opérateur $\Delta^\alpha$ est donné par les formules (cf. 13.3.3):

14.2.5 (« Symbole d’un composé »). Les notations et hypothèses sont celles de 14.1.8. La composition des applications linéaires définit un accouplement

où le produit figurant dans le terme de droite est défini par l’accouplement (*) ci-dessus.

Supposons maintenant K de caractéristique zéro, et soit $x \in X$. Notons $\sigma$ (resp. $\sigma', \sigma''$) le k-symbole (resp. le $k'$-symbole, le $k''$-symbole) de $D'' \circ D'$ (resp. $D', D''$) en $x$. Pour tout $\omega \in T_x(X)^*$, on a alors (avec les notations de la fin de 14.2.2):

et

14.3. Transposition

Dans ce n°, on suppose que X est pure de dimension $n$.

14.3. Transposition

14.3.1. Soit $\Omega = \det(T(X)^*)$, cf. 7.9.9 ; c’est un fibré vectoriel de rang 1 en chaque point, de base X, et de classe $C^{r-1}$. On a

Soit M un fibré vectoriel de base X. On pose

[^1]

Si M est de classe $C^n$, avec $h \in N_K \cup \{0\}$ et $h \leq r - 1$, il en est de même de $\tilde{M}$. L’application canonique de M dans $\tilde{M} = \mathscr{L}(\mathscr{L}(M; \Omega); \Omega)$ est un isomorphisme ; on l’utilise pour identifier M à $\tilde{M}$.