习题 21, § 2

(a) 设$\mathbf{A}$为整环、$f, g$$\mathbf{A}[X]$和$h = fg$中的两个多项式。令$a, b, c$表示由$f, g, h$的系数分别生成的$\mathbf{A}$的理想。证明，如果 $\deg(g) = n$，则$a^{n+1}b = a^n c$。 （让 $f(X) = \sum_{i=1}^m a_i X^i, g(X) = \sum_{j=1}^n b_j X^j$；对于每个递增序列

整数 $\leq m$ 和所有 $j$，让 对$u_{\sigma,j}$的集合进行总排序，使得对于$j < j'$，对于所有$\sigma, \tau$，$u_{\sigma,j} < u_{\tau,j'}$，对于所有$j$，$u_{\sigma,j} \leq u_{\tau,j}$当且仅当$\sigma \leq \tau$在$[0, m]^{n+1}$的字典顺序中。然后通过归纳争论这个全序集。）

(b) 从 (a) 推导出，如果 $\mathbf{A}$ 是普鲁弗 (习题 12)，则$c = ab$。

(c) 取$\mathbf{A}$为多项式环$\mathbf{Z}[Y]$，给出$\mathbf{A}[X]$中第一个次数的两个多项式$f, g$的例，使得$c \neq ab$。