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历史注记

（括号内的数指本注末尾的参考书目。）

数学中很少有概念比律或合成更原始：它似乎与自然数和可测量量的最初基础计算密不可分。关于埃及和巴比伦数学的最古老的文献表明，他们已经有了完整的系统计算自然数$> 0$、有理数数$> 0$、长度和面积的规则；尽管保存下来的文本仅涉及问题，其中给定的数量具有明确的数字值，\脚注{一定不要忘记 Viète（16 世纪）是第一个使用字母来表示代数问题中出现的所有元素（已知和未知）的人。在此之前，关于代数的论文中唯一解决的问题具有数值系数；当一位作者陈述处理类似方程的一般规则时，他（尽其所能）用普通语言这样做；在没有明确的型的叙述的情况下，在处理数值情况下进行计算的方式使得拥有这样的规则或多或少可信。}它们使我们对他们归因于所采用的规则的普遍性毫无疑问，并在处理第一个和第二个次数的方程方面表现出相当出色的技术能力（[1]，p. 179等）序列）。另一方面，没有丝毫担心证明所使用规则的合理性，甚至没有出现精确的定义或运算：后者与前者一样以纯粹的经验方式出现。

然而，这种担忧在古典时代的希腊人的著作中已经非常明显地表现出来了。确实，自然数理论没有找到公理化处理（这种公理化直到十九世纪末才出现；参见历史注记到*集合理论*，IV）；但在欧几里得的*元素*中，有许多段落给出了正式的证明计算规则，这些规则与整数的计算规则一样直观地“显而易见”（对于两个有理数数的乘积的例、交换律）。这种性质中最引人注目的证明是那些与量理论有关的理论，这是希腊数学最原始的创造（众所周知，相当于我们的实数> 0理论；参见历史注记到一般拓扑，IV）；这里，欧几里得除其他外考虑了两个大小比率的乘积，并表明它独立于这些比率的表示的形式（在§ 1, no. 6的意义上，合成与等价关系的律的“商”的第一个例），并且它们可以交换（[2]，书 V，提案 22–23）。†

然而，不能掩盖的是，欧几里得的这种严谨性的进步伴随着代数计算技术的停滞，甚至在某些方面出现了倒退。几何学的压倒性优势（显然是根据几何学构思了量值理论）使代数的任何独立发展陷入瘫痪记号：进入计算的元素必须始终以几何方式“表示”；此外，出现的合成的两个律不是在同一个集合上定义的（比率的加法不是以一般方式定义的，并且两个长度的乘积不是长度而是一个区域）；结果是缺乏灵活性，使得操纵大于第二个次数的代数关系几乎是不切实际的。

只是随着古典希腊数学的衰落，丢番图才回到了“逻辑学家”或专业计算器的传统，他们继续应用从埃及人和巴比伦人那里继承来的规则：不再受他所考虑的“数”的几何表示的困扰，自然而然地导致了抽象代数计算规则的发展；对于例，他给出了（用现代语言）等价于$m$和$n$的小值（正或负）的公式$x^{m+n} = x^m x^n$的规则（[3]，第I卷，第8-13页）；稍后（第12-13页），规定了“符号规则”，以负数‡开始计算；最后，丢番图第一次使用字母来表示方程中的未知数。相比之下，他似乎不太关心给方法赋予一般意义，他申请了问题中的解；至于由欧几里得开始的律或合成的公理化概念，这对于丢番图及其直接的继承者的思想来说似乎是陌生的；直到19世纪初的代数才再次出现。

在随后的几个世纪里，一方面，首先需要发展代数记号的系统，足以满足表达式

† 欧几里得给出了这个点，确实，两个比率的乘积没有正式的定义，稍后在元素（书VI，定义5）中发现的那个被认为是插值的：他当然对这个运算及其属性有一个完全清晰的概念。

‡ 丢番图似乎不熟悉负数；因此，该规则只能解释为与多项式的演算有关，并允许乘积的“展开”为$(a - b)(c - d)$。

抽象的律，另一方面，“数”的概念的扩展足以通过对足够广泛的特殊情况的观察，给出一个一般概念。 为此，希腊人创造的大小比公理理论是不够的，因为它只不过是在这些数上精确地阐明了实数$> 0$和运算的直观概念，而巴比伦人已经在更混乱的形式中知道了这些概念；现在，“数”将被认为是希腊人没有概念的，并且一开始就没有明智的“表示”：一方面，零和负数出现在中世纪盛期的印度数学中；另一方面，想象的数，是16世纪意大利代数学家的创造。

除了首先作为分隔符引入的零之外，之前被视为数（参见历史注记到集合理论，III），这些扩张中的公共的特征标是（至少在开始时）它们纯粹是“形式的”。由此必须理解，新的“数”首先出现是由于运算适用于严格的定义，它们没有任何意义的情况（对于例，当$a < b$时两个自然数的差异$a - b$）：从而名称“虚假”、“虚构”、“荒唐”、“不可能”、“想象”等等，数归咎于他们。对于古典时期的希腊人来说，他们首先迷恋清晰的思想，这样的扩张是不可想象的。他们的出现只能是比希腊人更倾向于对方法的幂（18世纪所说的“数学分析的普遍性”）表现出某种神秘的信仰，并且让自己被计算机制所引导，而不去调查每一步是否有充分的根据；此外，通过扩张通过这些新的数学实体得出的精确结果，对已知的数来说，在严格意义上唯一有效的计算规则通常可以证明$a posteriori$的信心。这解释了数概念中的这些推广，最初只是作为运算的序列的中介出现，其开始和结束点是真正的“数”，后来逐渐被考虑为它们自己的缘故（独立于任何具体计算的应用）；一旦采取了这一步骤，就会寻求或多或少有形的解释，新的对象因此获得了在数学中存在的权利。†

在这个问题上，印度教徒已经意识到在某些情况下对负数的解释（商业中的债务问题，对于例）。在接下来的几个世纪里，随着方法和希腊语的结果

† 这种搜索只是相关概念演变过程中的一个过渡阶段；从 19 世纪中叶开始，出现了一种回归，这次是经过深思熟虑的，各种扩张概念数的形式概念，这一概念最终融入了主导整个现代数学的“形式主义”和公理化的点观点。

印度教数学传播到西方（通过阿拉伯人），对这些数的操纵变得更加熟悉，并且它们采用了几何或运动学特征标的其他“表示”。随着代数记号的不断进步，这是中世纪末期代数唯一显着的进步。

At the beginning of the 16th century, Algebra took on a new impulse thanks to the discovery by mathematicians of the Italian school of the solution "by radicals" of equations of the 3rd and then of the 4th degree (of which we shall speak in more detail in the Historical Note to Algebra, V); it is at this point that, in spite of their aversion, they felt compelled to introduce into their calculations imaginary numbers; moreover, little by little confidence is born in the calculus of these "impossible" numbers, as in that of negative numbers, even though no "representation" of them was conceived for more than two centuries.

另一方面，代数记号则被维埃特和笛卡尔果断地完善了；从后者开始，代数记号或多或少就是我们今天使用的。

从 17 世纪中叶到 18 世纪末，无穷小演算的创造所打开的广阔视野似乎导致了对代数的普遍忽视，尤其是对合成的律以及真实和复数的本质的数学反思。†因此合成的力和17世纪末力学中众所周知的速度的合成在代数中没有产生任何影响，甚至虽然它们已经包含了向量演算的萌芽。事实上，有必要等待大约 1800 年的思想运动，它导致了复数的几何表示（参见历史注记到一般拓扑、VIII），才能看到在纯数学中使用的加法或向量。‡

大约在同一时间，合成的律首次在代数概念在两个不同的方向上扩展到元素，这与“数”（迄今为止最广泛意义上的字）只有遥远的类比。第一个扩张是由于C。 F. Gauss 由他对具有整数系数的二次形式 $ax^2 + bxy + cy^2$ 算术研究引起。拉格朗日在形式的集合上定义了

† 莱布尼茨的尝试应该被排除在外，一方面为形式逻辑的论证提供代数形式，另一方面找到一个直接在几何对象上运算的“几何演算”而不使用坐标（[4]，卷V，p. 141）。但这些尝试仍然只是草图，并没有在他的同时代人中引起共鸣。直到 19 世纪，它们才被再次采用（见下文）。

‡ 此外，这个运算是在没有参考力学的情况下引入的；直到 19 世纪下半叶，向量演算的创始人才明确认识到这两种理论之间的联系。

相同的判别式等价关系† 并且另一方面证明了一个恒等式，该恒等式为该集合提供了合成的交换性律（并非所有地方都有定义）；从这些结果开始，高斯表明这个律与上述等价关系的精炼形式是兼容的（在§ 1, no. 6的意义上）（[5]，第I，p. 272）：“这表明”，他然后说，“必须通过两个或几个的复合类来理解什么类”。然后，他继续研究“商”律，本质上确定它（在现代语言中）是一个可交换的群运算，并且所用的论证对于最大部分的普遍性远远超出了高斯考虑的特殊情况（对于例，他证明逆元素的唯一性的论证是与我们为 § 2 中任意合成给出的律相同，没有 3（同上，p. 273））。他也没有就此止步：稍后回到这个问题，他认识到类的合成和整数模素数数‡ 的乘法之间的类比（同上，p. 371），但也证明了类的群给定判别式的二次形式并不总是循环群；他在这个问题上给出的指示清楚地表明，无论如何，在这个特殊情况下，他已经认识到有限阿贝尔的群的一般结构，我们将在章VII（[5]，卷.I，p. 374和卷.II， p. 266）。

我们要谈的研究的另一个级数也以群的概念及其对数学的明确引入而结束：这就是“代换理论”，是拉格朗日、范德蒙德和高斯关于代数方程解思想的发展。我们在这里不给出这个主题的详细历史（参见历史注记至代数、V）；我们必须参考鲁菲尼的定义，然后参考有限集合的两个置换的“乘积”的柯西（[6]，（2），第I，p. 64），§

† 当两个形式中的一个通过“变量的变换”$x' = \alpha x + \beta y, y' = \gamma x + \delta y$ 与另一个变换相连接时，两个形式是等价的，其中$\alpha, \beta, \gamma, \delta$ 是整数，从而$\alpha \delta - \beta \gamma = 1$。

‡ 值得注意的是，高斯*加法*地写出了二次形式的类的合成，尽管他自己点进行了类比，尽管拉格朗日恒等式（两个形式的定义合成）更自然地暗示了乘法记号（此外，所有高斯的继承者都返回了）。这种对符号问题的漠不关心必须进一步证明高斯在他的律或合成概念中确实具有普遍性。此外，他并没有将注意力限制在交换性律上，从他生前未发表但可追溯到 1819-1820 年的片段中可以看出，他在其中给出了二十多年的之前 Hamilton，公式代表四元数的乘法（[5]，卷 VIII， p. 357）。

§ 复合函数的概念当然是更早已知的，至少对于实变量或复变量的函数来说；但是，合成和关系的律以及乘积的两个置换的代数方面仅在阿贝尔（[7]，第I，p. 478）和伽罗瓦的著作中才得以揭示。

第一个概念涉及有限置换群：传递性、本原性、单位元素、可置换元素等。但这些最初的结果总体上仍然相当肤浅，Evariste Galois必须被视为该理论的真正创始人：在他令人难忘的工作中[8]，减少了对与与之相关的置换群的代数方程相比，他对后者的研究相当深入，既涉及群的一般性质（伽罗瓦是第一个得到正常子群的定义概念并认识到其重要性），又涉及具有特定性质的群的确定（其中他所获得的结果至今仍被认为是该理论中最微妙的结果之一）。 “群的线性表示”的第一个想法也可以追溯到伽罗瓦†，这一事实清楚地表明他拥有两个群结构的概念或同构，与它们的“实现”无关。

然而，如果高斯和伽罗瓦的巧妙方法无可争议地引导他们得出概念、律或合成的非常广泛的概念，那么他们并没有特别在这个点上发展自己的想法，而且他们的作品对抽象代数的演变没有直接的影响。‡ 抽象的最明显进步是在第三个方向上进行的：之后反思想象的本质数（其几何表示在19世纪初带来了相当多的数作品），英国代数学家学校是第一个在1830年至1850年间分离出抽象的人概念/律/合成，并立即将代数的域扩展为应用这个概念到许多新的数学实体：布尔逻辑的代数（参见历史注记到集合）理论，IV)、向量和 Hamilton 的四元数，一般超复数系统、矩阵和非关联的律与 Cayley ([10]，第 I，第 127 和 301 页以及第 II，第 127 页) 185 和 475）。大陆上独立地进行了平行进化，特别是在向量演算（莫比乌斯，贝拉维蒂斯），线性代数和超复杂系统（格拉斯曼），我们将在历史注记到代数，III中更详细地讨论。

在所有这些原创而丰富的思想的发酵中，这些思想在 19 世纪上半叶使代数焕发了活力，后者彻底焕然一新。以前，方法和结果被吸引到代数方程（或理论中的丢番图方程）解的中心问题周围。

† 这里，伽罗瓦通过大胆的“形式主义”扩张（导致了复数），考虑了同余模素数数的“虚根”，从而发现了有限域，我们将在代数、V中研究它。

‡ 此外，伽罗瓦的理论直到 1846 年才为人所知，而高斯的理论仅对数理论产生了直接影响。

§ 这一时期发展起来的主要理论可以在 H. Hankel [11] 的杰出当代阐述中找到，其中律合成的抽象概念被构思并完美清晰地呈现。

数）：“代数”，塞雷特在他的高等代数课程简介中说[12]，“正确地说，是方程的数学分析”。 之后 1850 年，如果关于代数的论文在未来一段时间内仍然在方程论中占据主导地位，那么新的研究著作不再以关注直接的在数值方程中的解的应用为主导，而是越来越倾向于今天被认为是基本的问题代数，代数结构本身的研究。

These works fall quite neatly into three main currents which extend respectively the three movements of ideas which we have analysed above and pursue parallel courses without noticeably influencing one another until the last years of the 19th century.†

其中第一个源于 19 世纪德国人学校（狄利克雷、库默、克罗内克、戴德金、希尔伯特）建立代数理论数的工作，源自负责第一个研究型、数$a + bi$的高斯的工作（$a$ 和 $b$ 有理数）。我们不会在这里跟踪这个理论的演变（参见历史注记到*交换代数*，VII）：出于我们的目的，我们只需要提及这里出现的抽象代数概念。从高斯的第一批继承者开始，*域*（代数数）的思想就成为所有关于该主题的著作的基础（以及阿贝尔和伽罗瓦关于代数方程的著作）；当 Dedekind 和 Weber [13] 在代数数的基础上对单变量的代数函数理论进行建模时，域的应用范围得到了扩大。 Dedekind [14] 还负责*理想*的概念，它在元素的*集合*之间提供了合成的律的新例；他和克罗内克使交换律群和模在代数域理论中发挥了越来越重要的作用；我们将在历史注记到*代数*、III、V和VII中回到这一点。

We shall also refer in the Historical Notes to Algebra, III and VIII to the development of Linear Algebra and hypercomplex systems which was pursued without introducing any new algebraic notion during the end of the 19th and the beginning of the 20th century, in England (Sylvester, W. 克利福德）和美国（B. 和 C. S。 皮尔斯、迪克森、韦德伯恩）沿着汉密尔顿和凯莱的足迹，在德国（魏尔斯特拉斯、戴德金、弗罗贝尼乌斯、莫连）和法国（拉盖尔、E. Cartan）独立于盎格鲁撒克逊人并使用完全不同的方法。

† 我们选择在此暂且不考虑这一时期代数几何以及与之密切相关的不变量理论的发展；这两种理论是按照各自的方法面向数学分析而不是代数发展起来的，直到最近，它们才在现代代数的宏伟大厦中找到了自己的位置。

就群理论而言，它首先主要作为有限置换群的理论发展起来，继伽罗瓦作品的出版及其通过塞雷特[12]的作品的传播，尤其是C伟大的“Traité des 代换”。乔丹[15]。后者发展并极大地改进了他的前辈关于置换群（传递性、原始性等）的特殊性质的工作，取得的成果大部分至今未被取代；他对群的一个非常重要的特殊类、线性群及其子群进行了同样深入的研究；此外，正是他将群的同态的基本概念引入到另一个以及（稍后）商群的基本概念，并证明了定理的部分，被称为“乔丹-霍尔德定理”。†最后乔丹是第一个研究无限群[16]，几年后，一方面是 S. Lie，另一方面是 F. Klein 和 H. Poincaré，它们在两个不同的方向上得到了相当大的发展。

与此同时，群的本质，即合成的律，而不是构成群的对象的本质，慢慢地被认识到（见例[10]，第II，第123页和第131页以及[14]，第14卷）。 III、p. 439）。然而，即使研究关于有限抽象群的著作在很长一段时间内也被视为对置换群的研究，直到1880年左右有限群的独立理论才开始有意识地发展。我们不能进一步追寻这一理论的历史，在这篇论文中只是非常肤浅地触及；我们只提一下至今仍然在有限群研究中最常用的两个工具，它们都可以追溯到 19 世纪：关于$p$群的 Sylow 定理‡，可追溯到 1872 年 [17] 和 Frobenius 在本世纪最后几年创建的特征标理论 [19]。对于希望深入研究有限群理论及其提出的许多困难问题的读者，我们建议读者参考 Burnside [20]、Speiser [23]、Zassenhaus [24] 和 Gorenstein [27] 的专着。

1880年左右，对群演示的系统研究也开始了；以前只遇到过特定群的表示，例如汉密尔顿[9之二]的著作中的例交错的群$\mathfrak{A}_5$或线性微分方程和黎曼曲面（Schwarz、Klein、Schlafli）的单调群。 W. Dyck 是第一个 [18] 到定义（未给出名称）由有限数生成元生成的自由群，

† Jordan 仅建立了“Jordan-Hölder 级数”对于有限群阶商群的不变性（最多阶）； O. Hölder 证明了商群本身（直到阶）独立于所考虑的级数。

‡ Galois 的论文中提到了群中阶 $p^n$ 的子群的存在性，其中阶可被 $p^n$整除，但没有提及证明 [8]。

但他对它的兴趣并不在于它本身，而是作为一个“通用”对象，允许“通过生成元和关系”给出精确的定义或群。首先由凯莱提出集合的想法，另一方面明显受到上述黎曼学校作品的影响，戴克描述了对给定演示的群的解释，其中每个生成元由相对于切线或相交圆的两个反转的乘积表示（另见Burnside [20]， 章XVIII）。不久之后，庞加莱及其后继者发展了之后自同构理论函数，然后庞加莱引入了代数工具拓扑，对基本群的第一个研究将与群的演示（Dehn，Tietze）处于同等地位，这两种理论借用了1另一个相互支持。此外，拓扑学家 J. Nielsen 在 1924 年首次深入研究了项自由群的性质 [21]，几乎紧接着 E. Artin（总是参考拓扑中的问题）引入了群的自由乘积的概念和 O. Schreier 定义更一般地说，免费的乘积与合并的子群[22]（cf.I, § 7, no. 3，习题20）。在这里我们再次不能回顾这个方向后来的发展历史，让读者参考文献[26]了解更多细节。

自19世纪末以来，群思想（以及与其密切相关的不变量思想）在数学分析、几何、力学和理论物理中所取得的非凡成功已经无需多言。这个概念和与之相关的代数概念（群，带有运算符，环，理想，模）对代数的部分进行了类似的入侵，直到那时，这似乎完全无关，这是我们在这里追溯的最后一个进化时期的显着标志，它以我们所讨论的三个分支的综合而结束。已遵循上述。这种统一首先是德国人学校在1900-1930年间的工作：由戴德金和希尔伯特在19世纪最后几年开始，代数的公理化工作由E.斯坦尼茨大力开展，然后从1920年开始，在E. Artin、E. Noether及其代数学家的推动下。 学校（Hasse、Krull、O. Schreier、van der Waerden）。范德瓦尔登 (van der Waerden) 于 1930 年发表的论文 [25] 首次将这些作品集中在一篇论述中，为二十多年来代数中的许多研究作品开辟了道路，并为代数的许多作品提供了指导。

参考书目

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23. A. Speiser, Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung, 3rd ed., Berlin (Springer), 1937. 24. H. Zassenhaus, Lehrbuch der Gruppentheorie, vol. I, Leipzig–Berlin (Teubner), 1937. 25. B. L. van der Waerden, Moderne Algebra, 2nd ed., vol. I, Berlin (Springer), 1937; vol. II (ibid.), 1940. 26. W. Magnus, A. Karrass and D. Solitar, Combinatorial group theory, New York (Interscience), 1966. 27. D. Gorenstein, Finite groups, New York (Harper and Row), 1968.