习题 1, 附录 4

令K为交换域，E向量空间超过K。我们用自同态的End$_K(E)$由……组成的End$^{pf}_K(E)$子集表示，其中幂属于到End$^f_K(E)$。如果 $u\in$ End$^{pf}_K$ (E)，那么我们集合 $I_u=\bigcap_{n\geqslant 0}$ Im $u^n$ 和 Tr $u=$ Tr($u|I_u$)；这个概念重合与No. 2中定义的自同态或有限秩相同。 a) 让$u\in$结束$^{pf}_K(E)$；设V为$u$下稳定的E的子空间，并令$u_V$和$u_{E/V}$为$u$诱导的V和$E/V$的自同态。证明等式 Tr $u=$ Tr $u_V+$ Tr $u_{E/V}$。

b) 令 U 为 End$_K(E)$ 的子空间。假设存在整数$n$，使得U的$n$元素中的每个乘积都有有限秩。证明映射 Tr$: U\rightarrow K$ 是线性的。

c) 令F 大于K 向量空间，并令$u: E\rightarrow F$ 和$v: F\rightarrow E$ 为同态，使得$u\circ v\in$ End$^{pf}_K(F)$。我们有$v\circ u\in$结束$^{pf}_K(E)$和Tr$v\circ u=$Tr$u\circ v$。