按地点。引言，推论，同态$\theta$是单射的。它的像包含在Hom$^f_A(E,F)$中。让$u\in$坎$^f_A(E,F)$；让我们证明$\theta$的$u$属于到像。

首先，假设 A-模 F 是免费的。令$(f_i)_{i\in I}$为F的基，并令$(f_i^*)_{i\in I}$为$F^*$对$(f_i)_{i\in I}$的基。令J为I的有限子集，使得$u$的像包含在由$j\in J$的$f_j$生成的F的子模中。我们有

对于每 $x\in E$，因此

一般情况下，存在自由A-模L和同态$i: F\rightarrow L$和$p: L\rightarrow F$使得$p\circ i= 1_F$。 同态$i\circ u$属于到霍姆$^f_A(E,L)$。通过上述，存在有限的集合 J，并且对于每个$j\in J$，$E^*$的元素$x^*_j$和L的$y_j$这样我们有

每$x\in E$。然后我们有

每 $x\in E$，因此 $u=\theta (\sum_{j\in J}x^*_j\otimes p(y_j))$。

只要处理$u$为形式$\theta_E(x^*\otimes x)$以及$x\in E$和$x^*\in E^*$的情况就足够了。那么家庭$(\langle x, e^*_i\rangle )_{i\in I}$就有有限支撑，我们有$x=\sum_{i\in I}\langle x, e^*_i\rangle e_i$。因而，家庭$(\langle x, e^*_i\rangle \langle e_i, x^*\rangle )_{i\in I}$也有有限支撑，我们有$\langle x, x^*\rangle =\sum_{i\in I}\langle x, e^*_i\rangle \langle e_i, x^*\rangle$。现在，每 $i\in I$ 就有 $\langle u(e_i), e^*_i\rangle =\langle x, e^*_i\rangle \langle e_i, x^*\rangle$。这就证明了命题。

(3) Tr($v\circ u$)$=$Tr($u\circ v$)。

当$u$是形式$\theta (x^*\otimes y)$以及$x^*\in E^*$和$y\in F$时，证明命题就足够了。在这种情况下，我们有

$v\circ u=\theta_E(x^*\otimes v(y))$ 和 $u\circ v=\theta_F(^tv(x^*)\otimes y)$,

因而

Tr($v\circ u$)$=\langle v(y), x^*\rangle =\langle y,^tv(x^*)\rangle =$Tr($u\circ v$)。

(4) Tr($u$)$=$Tr($u_F$)。

用F到E中的$i$典范嵌入表示，并用从$u$推导出来的$v: E\rightarrow F$同态表示。我们有$u_F=v\circ i$和$u=i\circ v$。推论如下。

令 E 为射影 A-模和 $u\in$ End$^f_A(E)$。对于每个自然数$p$，A-模$\wedge^pE$都是投影（III, §7, No. 8，p. 519，推论2），并且自同态$\wedge^pu$属于到End$^f_A(\wedge^pE)$（III, §7, No. 3， p. 511、命题 6)，$p$ 足够大为零。 集合$1_E+$End$^f_A(E)$稳定在合成以下。我们定义映射从$1_E+$结束$^f_A(E)$出发设定到达A

检测（1$_E+u$）$=\sum_{p\geqslant 0}$Tr$\wedge^pu$

$u\in$结束$^f_A(E)$。

如果 E 是自由且有限维的，则根据 III, §8, No. 5、p. 530 的推论，该定义与 III, §8, No. 1、p. 522 一致。

a) 让$u\in$结束$^f_A(E)$。令 F 为 E 包含于 Im $u$ 的投影 A-子模，并令 $u_F$ 为由 $u$ 导出的 F 的自同态。我们有

（5）det（1$_E+u$）$=$det（1$_F+u_F$）。

b) 令$u$和$v$为End$^f_A(E)$的两个元素。我们有

(6) 检测$(1_E+u)\circ (1_E+v)$ = 检测(1$_E+u$) 检测(1$_E+v$)。

让我们证明a）。对于每个整数$p\geqslant 0$，射影A-模$\wedge^pF$可以用$\wedge^pE$的子模来识别（III, §7, No. 9，p. 520，推论）。 $\wedge^pu$的像包含在$\wedge^pF$中，由$\wedge^pu$诱发的$\wedge^pF$的自同态等于$\wedge^pu_F$。因而，根据命题 2 的推论，我们有 Tr($\wedge^pu$) $=$ Tr($\wedge^pu_F$)，因而 a)。

让我们证明b)。令 G 为 A-模，使得 A-模 $L = E\oplus G$ 是自由的。用L的$u'$和$v'$、自同态、$u\oplus 0_G$和$v\oplus 0_G$表示。通过 a)，我们有关系 det(1$_L+u'$) $=$ det(1$_E+u$)，det(1$_L+v'$) $=$ det(1$_E+v$)，并且

检测（1$_L+u'+v'+u'\circ v'$）$=$ 检测（1$_E+u+v+u\circ v$）。

因此，当A-模 E 自由时，证明断言 b) 就足够了。那么存在有限生成的 E 的自由子模 F，即 $u$ 的包含像和$v$ 的包含像。 集合$w=u+v+u\circ v$。 $w$的像包含在F中，我们有$w_F=u_F+v_F+u_F\circ v_F$。因此，根据 (5)，我们有 det(1$_E+u$) $=$ det(1$_F+u_F$)、det(1$_E+v$) $=$ det(1$_F+v_F$)，以及

检测$((1_E+u)\circ (1_E+v))$

= det(1$_E+w$) $=$ det(1$_F+w_F$) $=$ det((1$_F+u_F$)$\circ (1_F+v_F)$)。

由于 F 是有限生成的自由A-模，所以我们有

det((1$_F+u_F$)$\circ (1_F+v_F)$) $=$ det(1$_F+u_F$) det(1$_F+v_F$) $=$ det(1$_E+u$) det(1$_E+v$)。