在其他字中，$(\bigwedge(M), \phi'')$是普遍映射问题的解（集合理论，IV, § 3, no. 1），其中$\Sigma$是$A$-代数结构的类， $\alpha$-映射是从$A$-模块$M$到$A$-代数满足的线性映射 (1)。

$g$的唯一性源自$\phi''(M) = M$生成$\bigwedge(M)$。为了证明$g$的存在性，我们注由§ 5, no. 1，命题1存在$A$代数同态$g_1 : T(M) \to E$使得$f = g_1 \circ \phi$；我们需要证明$g_1$在理想的$\mathfrak{J}''$上是零，因为如果

是典范同态，我们可以写成$g_1 = g \circ p$，其中$g : \bigwedge(M) \to E$是代数同态，根据$p \circ \phi = \phi''$得出结论。现在，$g_1$的核是一个双面理想，根据（1）和关系$g_1 \circ \phi = f$，包含元素$x \otimes x$对于$x \in M$。这样就完成了证明。

* 是可交换的。此外，$u''$是分级的代数同态。*

$u'$的存在性和唯一性由no. 1、命题1适用于代数、$\bigwedge(N)$和$f = \phi_N'' \circ u : M \to \bigwedge(N)$；对于$f(M) \subset N$，因此$f$通过$\mathfrak{g}_N''$的定义满足条件（1）：与$f(M) \subset \bigwedge^1(N) = N$一样，$u''$是分级代数同态的事实来自*注* 1 no. 1。

命题 2 中的同态 $u''$ 今后将用$\bigwedge(u)$ 表示。如果 $P$ 是$A$-模且 $v : N \to P$ 是$A$-线性映射，则

对于 $\bigwedge(v) \circ \bigwedge(u)$ 是代数同态，它呈现可交换的图表

由于$\Lambda(M)$包含$M = \Lambda^1(M)$，$\Lambda(u)$是有时，称为$u$到$\Lambda(M)$的规范扩张。 限制 $\Lambda^n(u): \Lambda^n(M) \to \Lambda^n(N)$ 是这样的

与$x_i \in M$，因为$\Lambda(u)$是代数同态和$\Lambda^1(u) = u$； 限制$\Lambda^0(u)$到$A$是恒等映射。 注 $\Lambda^n(u)$ 是由 $T^n(u): T^n(M) \to T^n(N)$ 除以经过的商得到的。

证明是由§ 6, no. 2、命题 4、替换 $S$ 和$\Lambda$ 以及$\mathfrak{g}'$ 和$\mathfrak{g}''$ 衍生而来。

如果 $u: M \to N$ 是单射线性映射，$\Lambda(u)$ 并不总是单射映射 (§ 6, 习题 3)（但请参见下面的no. 9，命题 12 的推论）。然而，当$u$是单射，使得$u(M)$是$N$的直因子，然后$\Lambda(u)$的像（与$\Lambda(M)$同构的）是$\Lambda(N)$的直因子； 证明与 $T(u)$ (§ 5, no. 2) 替换 $T$ by $\Lambda$ 的类似断言相同。

证明是从§ 5, no. 2推导出来的，推论到命题4替换$T$乘以$\Lambda$。

$N$称为$M$的向量子空间，与$\Lambda(M)$的元素$z$相关联。

其中$\varepsilon_\sigma$表示置换$\sigma$的签名。

(ii) 如果存在两个不同的指标 $i, j$ 使得 $x_i = x_j$, 乘积

是零。

(i) 首先，由于 $x \wedge x = 0$ 对于所有 $x \in M$ 乘以理想 $\mathfrak{g}'$ 的定义，同样，对于 $M$ 中的 $x, y$，

这在$n = 2$情况下成立(6)。一般情况由§ 4, no. 6、引理 3 得出。

(ii) 在(ii)的假设下，存在置换$\sigma \in S_n$使得$\sigma(1) = i$和$\sigma(2) = j$；那么对于这个置换，(6) 的左侧是零，因此右侧也是零。

那么

其中$\nu$是有序对$(i, j) \in H \times K$的数，使得$i > j$。

命题 5 约化至证明

对于$1 \leq h < h' \leq p$或$p + 1 \leq h < h' \leq n$、$\sigma(h') > \sigma(h)$和数或有序对$(h, h')$，使得$1 \leq h \leq p < h' \leq n$和$\sigma(h) > \sigma(h')$等于$\nu$。

$§ 4$、no. 9到$\bigwedge(M)$中的应用命题 13就足够了，取生成的系统集合$M$并使用命题5。

令$(x_i)_{1 \leq i \leq n}$为M的生成的系统。$\bigwedge^p(M)$的每元素是形式的元素线性组合

其中指标 $i_k$ 属于至 $\{1, n\}$；到命题 5，这些指标可以被认为是不同的（否则相应的元素是零）。如果$p > n$，则不存在指标这样的序列，因此不存在$\bigwedge^p(M) = \{0\}$。如果$p \leq n$，这些序列在数中是有限的，从而完成证明。

我们考虑A-模$\operatorname{Hom}_A(T^n(M), N)$到A-模$\mathscr{L}_n(M, \ldots, M; N)$的规范双射到$M^n$到N的*所有*n线性映射，通过与每个A-线性映射$f : T^n(M) \to N$关联n线性映射获得

（II, § 3, no. 9）。另一方面，A-线性映射 $g : \bigwedge^n(M) \to N$ 与 A-线性映射 $f : T^n(M) \to N$ 是一对一的对应，使得 f 是 $\mathfrak{g}_n''$ 上的零，通过与 g 映射 $f = g \circ p_n$ 关联，其中

是典范同态 (II, § 2, no. 1, 定理 1)。但由于$\mathfrak{J}_n''$是形式元素线性组合

$M$中的$(x, u_i, v_j$），说$f$是形式$g \circ p_n$意味着相应的$n$-线性函数$\bar{f}$满足（8），在其他字中是*交错的*。

A-模 $\bigwedge^n(M)$ 被称为 M 的第 n 个外部幂*。对于每个 A-模同态 $u : M \to N$，映射

其中重合与$\bigwedge^n(M)$上的$\bigwedge(u)$称为u*的第n个外部幂。

足以证明$n$-线性映射

$M^n$到$M$是*交错的*。现在，如果$x_i = x_{i+1}$，则右侧和中的所有项都有零系数，除了$x_i$和$x_{i+1}$之外，因为$f$是交错的；另一方面，$x_i$的系数为

$x_{i+1}$ 是$(-1)^{i+1} f(x_1, \ldots, x_i, x_{i+2}, \ldots, x_n)$，它们是假设的倒数。

$B$-线性映射 $1_B \otimes \phi_M'' : B \otimes_A M \to B \otimes_A \bigwedge_A(M)$ 是分级的$B$-代数同构。

证明是由§ 5, no. 4 衍生而来，命题 5 替换 $T$ 由$\bigwedge$ 衍生而来，$\phi_M$ 由$\phi_M''$ 衍生而来。

证明与 § 5, no. 4、命题 6 替换在整个 T 中的 $\Lambda$ 和 $\phi$ $\phi''$ 相同，并且考虑到交错的代数的直极限是交错的。

为了证明 g 是双射的，我们定义分级代数同态

这样$g \circ h$和$h \circ g$分别是$\Lambda(M)$和$\bigotimes_{\lambda \in L}^{\mathfrak{g}} \Lambda(M_\lambda)$上的恒等映射。对于每个$\lambda \in L$，考虑复合线性映射

存在且仅有一个A-线性映射$u : M \to \bigotimes_{\lambda \in L}^{\mathfrak{g}} \Lambda(M_\lambda)$，使得$u \circ j_\lambda = u_\lambda$适用于所有$\lambda \in L$。偏斜张量积 $\bigotimes_{\lambda \in L}^{\mathfrak{g}} \Lambda(M_\lambda)$ 是 交错的 代数：对于 L 有限，这可以从 § 4, no. 9、命题 14 得出，而对于 L 任意，这可以从定义得出§ 4, no. 8、*注* 1 中给出乘积，并且交错的的直极限分级代数为交错的。由于$u(M)$也包含在分级代数$\bigotimes_{\lambda \in L} \Lambda(M_\lambda)$中次数1的元素的子模中，因此从no. 1、命题1和*注*1可以得出，存在唯一的评分代数同态。

这样$h \circ \phi''_M = u$。然后，如§ 6, no. 6、命题 9 替换$S$那样通过$\Lambda$和$\phi'$通过$\phi''$来验证$g \circ h$和$h \circ g$是恒等映射。