a) 用$u_1\in$ Alt$^s(M)$ 形式 $(x_1, . . . , x_s) \rightarrow u(p(x_1), . . . , p(x_s))$ 表示，并令$v_1\in$ Alt$^r(M)$ 为形式，使得$M'$中的$x'_1, . . . , x'_r$为$v_1(i(x'_1), . . . , i(x'_r)) =v(x'_1, . . . , x'_r)$；然后$u\cap v=u_1\wedge v_1$。

b) 对于 M 中的所有 $x_1, . . . , x_s$ 和 $M'$ 中的 $x'_1, . . . , x'_r$，

映射$\varphi :$Alt$^s(M'')\otimes_A$Alt$^r(M')\rightarrow$Alt$^{s+r}(M)$使得$\varphi (u\otimes v) =u\cap v$是秩自由A-模同构一。

形式 $v_1$ 满足条件 a) 的存在源于$\wedge \wedge^r(i)$ 诱导同构从$\wedge \wedge^r(M) ($代数的$\wedge \wedge^r(M')$到直因子子模，第1章。 III, §7, no. 2）。令$v_1$为形式；把$u\cap v=u_1\wedge v_1$。然后满足公式 (1)，因为如果我们将$i(x'_k) =x_{s+k}$代替$1\leq k\leq r$，则$\mathfrak{S}_{s,r}$中唯一的元素$\sigma$使得$1\leq i\leq s$的$p(x_{\sigma(i)})\not= 0$是恒等式置换。另一方面，公式 (1) 确定 $u\cap v$ 是唯一的：确实，令 $(e'_1, . . . , e'_r)$ 为 $M''$ 的 $M', (f''_1, . . . , f''_s)$ 基的基，以及 M 的 $f_1, . . . , f_s$ 元素，使得$p(f_i) =f''_i$ 换$1\leq i\leq s$。那么$(f_1, . . . , f_s, i(e'_1), . . . , i(e'_r))$是M的基（代数，第II, §1, no. 11章，第21条命题），并且公式（1）可以写成

但 Alt$^{s+r}(M)$ 的元素由其基上的值决定。

由上可知，条件 a) 和 b) 确定乘积 $u\cap v$ 都是唯一的；很明显，这个乘积是双线性的。最后，引理的最后一个断言由公式(2)得出。

显然我们可以假设$\omega_{G/T}$和$\omega_T$非零；那么 $(G/T)\times T$ 上的微分形式 $(u, t) \rightarrow \omega_{G/T}(u)\wedge \omega_T(t)$ 为次数 $n$ 并且处处非零；因此 $(G/T)\times T$ 上存在一个数值函数 $\delta$ 使得

现在观察，对于 $h\in G,u\in G/T,t\in$ T，我们有 $f(h.u, t) =$ (Int $h$)$f(u, t)$；由于$\omega_G$在内自同构下是不变的，因此紧随$\delta (h.u, t) =\delta (u, t)$，所以$\delta (u, t) =\delta (\overline{e}, t)$。

用 $p:\mathfrak{g}\rightarrow \mathfrak{g}/\mathfrak{t}$ 表示商映射并用 $\varphi :\mathfrak{g}/\mathfrak{t}\rightarrow \mathfrak{g}$ 映射定义

$\varphi (p(X)) =$（广告$t^{-1}$）$X-X$为$X\in \mathfrak{g}$；回想一下 (§5, no. 4, 引理 4) 切线映射

需要 $(z, tH)$ 到 $t(\varphi (z) +H)$ 才能获得 $z\in \mathfrak{g}/\mathfrak{t}, H\in \mathfrak{t}$。

令 $z_1, . . . , z_{n-r}$ 为 $\mathfrak{g}/\mathfrak{t},H_1, . . . , H_r$ 元素 $\mathfrak{t}$ 中的元素。然后

$=\omega_G(t)(t\varphi (z_1), . . . , t\varphi (z_{n-r}), tH_1, . . . , tH_r)$ 由$T_{(\overline{e},t)}(f)$计算

$=\omega_G(e)(\varphi (z_1), . . . , \varphi (z_{n-r}), H_1, . . . , H_r)$ 因为 $\omega_G$ 是不变的

$=\omega_{G/T}(\overline{e})(p\varphi (z_1), . . . , p\varphi (z_{n-r})).\omega_T(e)(H_1, . . . , H_r)$（无$.1$、引理 1）

= det($p\varphi$)$\omega_{G/T}(\overline{e})(z_1, . . . , z_{n-r}).\omega_T(e)(H_1, . . . , H_r)$

因为 $\omega_T$ 是不变的

所以$f^*\omega_G(\overline{e}, t) =\delta_G(t)(\omega_{G/T}\wedge \omega_T)(\overline{e}, t)$；因此，$\delta (\overline{e}, t) =\delta_G(t)$，因此命题。

分别给出流形 $G,T$ 和 $G/T$ 形式 $\omega_G, \omega_T$ 和 $\omega_{G/T}$ 定义的方向。这些形式定义对$G,T$和$G/T$（第III, §3, no. 16章，第55条和第56条提案）的不变测度，也用$\omega_G, \omega_T$和$\omega_{G/T}$表示。

用 $\pi$ 表示从 G 到 $G/T$ 的规范态射。设$g\in G$，并令$t_1, . . . , t_{n-r}$为$T_{\pi(g)}(G/T)$的元素。 认同纤维$\pi^{-1}(\pi (g)) =gT$，翻译为$\gamma (g)$。 关系 $\omega_G=\omega_{G/T}\cap \omega_T$ 现在意味着等式（可微分和解析流形，结果，11.4.5）：

因此$\int_{\pi}\omega_G=(\int_T\omega_T)\omega_{G/T}($可微分和解析流形，结果，11.4.6），以及

（可微分和解析流形，结果，11.4.8）。

Choose an invariant differential form $\omega_T$ (resp. $\omega_{G/T}$) on T (resp. $G/T$) of maximal degree, such that the measure defined by $\omega_T$ (resp. $\omega_{G/T}$) is equal to $dt$ (resp. $\mu$). 输入$\omega_G=\omega_{G/T}\cap \omega_T$。 引理 2 意味着$\omega_G$ 定义的度量等于$dg$。 设U是$(G/T)\times T_r$的开子集，使得$f_r$诱导同构从U到$G_r$的开子集V。 设$\varphi$为连续函数，且V有紧支撑；也用 $\varphi$ 到 $G_r$ 的 $\varphi$ 扩张表示，它消失在 V 之外。 我们有

$=\int_U(\varphi \circ f_r)\omega_{G/T}\wedge \delta_G\omega_T$（道具$.1$）

因此引理。

$\delta_G(t) =$ det（广告$_{\mathfrak{g}/\mathfrak{t}}(t)-1$）$=\prod_{\alpha\in R(G,T)}(t^{\alpha}-1)$。

等效地（积分，第 V, §6, no. 3 章，命题 $4$）$,dg$ 是$\mu\otimes \frac{1}{w(G)}\delta_Gdt$ 的映射 $f: (G/T)\times T\rightarrow G$ 下的像。

我们证明最后一个断言。从§5, no. 1和可微分析流形、结果$, 10.1.3c)$可以得出，G-- $G_r$在G中可以忽略不计，而T -- $T_r$在T中可以忽略不计。此外，映射$f_r$使$(G/T)\times T_r$成为$G_r$，与群 W（§5, no. 4，提案$4b$）$)$。 定理现在接续于引理 3 和集成，第 1 章。 V, §6, no. 6，提案 11。

（“赫尔曼·韦尔的积分公式”）。

(ii) 令$\varphi$为G上的正可测函数。对于几乎所有$t\in T$，G上的函数$g \rightarrow \varphi (gtg^{-1})$都是可测的。 T 上的函数 $t \rightarrow \int_G^*\varphi (gtg^{-1})dg$ 是可测的，我们有

由于映射 $f$ 是通过从 $G\times T\rightarrow G$ 到映射 $(g, t) \rightarrow gtg^{-1}$ 的商而导出的，因此只需应用第 1 章的积分即可。 V, §5、6、8 和积分，第 1 章VII, §2。

a$)\varphi$ 是可测的，当且仅当其限制到 T 是可测的。

b$)\varphi$ 是可积的当且仅当函数 $(\varphi |T)\delta_G$ 在 T 上可积，在这种情况下我们有

用 $p: G/T\times T\rightarrow T$ 表示第二个投影。我们有 $\varphi \circ f$ = $(\varphi |T)\circ p$；此外，$\mu\otimes \frac{1}{w(G)}\delta_Gdt$措施的$p$下的像为$\frac{1}{w(G)}\delta_Gdt$。现在可以从 Th 得出推论。上述 1 和 Th.集成，第 1 章。 V, §6, no. 2，应用于两个真映射$f$和$p$。

$\int_G\varphi (g)dg=\frac{w(H)}{w(G)}\int_H\varphi (h$）det（广告$_{\mathfrak{g}/\mathfrak{h}}(h)-1$）$dh$。 (7)

事实上，函数$h \rightarrow \varphi (h$)det(Ad$_{\mathfrak{g}/\mathfrak{h}}(h)-1$)是H上的中心函数，其限制到T是函数$t \rightarrow \varphi (t)\delta_G(t)\delta_H(t)^{-1}$。因此，推论由 Cor 得出。 2适用于G和H。

(经验$_H$)$^*\omega_H=\lambda_{\mathfrak{h}}\omega_{\mathfrak{h}}$ (10)

其中 $\lambda_{\mathfrak{h}}$ 是 $\mathfrak{h}$ 上的 Ad(H) 不变式函数，使得

$\lambda_{\mathfrak{h}}(x) =$ det $\sum(p+$ 1)!1（广告 $x$）$^p$ 为 $x\in \mathfrak{h}$。

$p\geq 0$

设$x, x_1, . . . , x_m$为$\mathfrak{h}$中的元素。我们有

(经验$^*\omega_H$)$_x(x_1, . . . , x_m) = (\omega_H$(经验$x$))$(T_x$(经验)($x_1$)$, . . . ,T_x$(经验)($x_m$))。用 $\varpi (x) :\mathfrak{h}\rightarrow \mathfrak{h}$ 表示 $x$ 处指数的右微分（第 III, §3, no. 17 章，定义 8）； 定义，

$T_x$(exp)($y$)。(exp $x$)$^{-1}=\varpi (x).y$适用于所有$y\in \mathfrak{h}$。

形式 $\omega_H$ 是右不变量，我们得到

$(\omega_H$(经验$x$))$(T_x$(经验)($x_1$)$, . . . ,T_x$(经验)($x_m$))

$=\omega_H(e)(\varpi (x).x_1, . . . , \varpi (x).x_m) =$（检测$\varpi (x)$）$\omega_{\mathfrak{h}}(x_1, . . . , x_m)$；

因此，exp$^*\omega_H=\lambda_{\mathfrak{h}}\omega_{\mathfrak{h}}$，与$\lambda_{\mathfrak{h}}(x) =$ det $\varpi (x) =$ det$\frac{exp ad x-1}{ad x}$（第III, §6, no. 4章，第12条命题）。

设 $h\in H$；由于广告$h$是自同构/$\mathfrak{h}$，我们有

广告（（广告$h$）$(x)$）$=$广告$h\circ$广告$x\circ$（广告$h$）$^{-1}$，

所以$\lambda_{\mathfrak{h}}$((广告$h$)$(x)$)$=\lambda_{\mathfrak{h}}(x)$。因此，函数$\lambda_{\mathfrak{h}}$在Ad(H)下是不变的；这样就完成了命题中的证明。

其中 $\pi_{\mathfrak{g}}$ 是由 $\pi_{\mathfrak{g}}(x) =\prod_{\alpha\in R(G,T)}\delta (\alpha )(x)$ 定义的 $\mathfrak{t}$ 上的函数。

用$\omega_G$（或$\omega_T$）表示G（或T）上最大次数的不变微分形式，重合与$\omega_{\mathfrak{g}}$（或$\omega_{\mathfrak{t}}$）在原点。考虑交换律图表

(Id,exp$_T$)exp$_G$。

$(G/T)\times T\longrightarrow^f$G

根据no. 2命题1和关系exp$^*_T\omega_T=\omega_{\mathfrak{t}}$，我们推导出等式

$\psi^*$exp$^*_G\omega_G=\omega_{G/T}\wedge \delta_{\mathfrak{g}}\omega_{\mathfrak{t}}$。

根据提案$2,\psi^*$exp$^*_G\omega_G= (\psi^*\lambda_{\mathfrak{g}})\psi^*\omega_{\mathfrak{g}}$。由于函数$\lambda_{\mathfrak{g}}$在Ad(G)下是不变的，所以对于$\overline{g}\in G/T, x\in \mathfrak{t}$我们有$(\psi^*\lambda_{\mathfrak{g}})(\overline{g}, x) =\lambda_{\mathfrak{g}}(x) =\frac{\delta_{\mathfrak{g}}(x)}{\pi_{\mathfrak{g}}(x)}$。

由此得出形式$\psi^*\omega_G(\overline{g}, x)$和$\omega_{G/T}(\overline{g})\wedge \pi_{\mathfrak{g}}(x)\omega_{\mathfrak{t}}(x)$重合，其中$\delta_{\mathfrak{g}}(x)$非零，即在密集开子集$(G/T)\times \mathfrak{t}_r$上；因此，它们是相等的，因此命题。

Choose invariant differential forms $\omega_G$ on G and $\omega_T$ on T, of maximum degree, such that $|\omega_G|=dg$ and $|\omega_T|=dt$; denote by $\omega_{\mathfrak{g}}$ (resp. $\omega_{\mathfrak{t}}$) the translation-invariant differential form on $\mathfrak{g}$ (resp. $\mathfrak{t}$) that coincides with $\omega_G(e)$ (resp. $\omega_T(e)$) at the origin, and $dz$ (resp. $dx$) the Haar measure $|\omega_{\mathfrak{g}}|$ (resp. $|\omega_{\mathfrak{t}}|$). 推理如no. 2，经必要修正后，给出以下命题：

我们将Cor的类似物留给读者叙述和证明。 no. 2的1至3和注1至3。对于例，令$\varphi$为$\mathfrak{g}$上的可积函数（值位于Banach空间或$\overline{\mathbf{R}}$）；然后

$\int_{\mathfrak{g}}\varphi (z)dz=\frac{1}{w(G)}\int_{\mathfrak{t}}(\int_G\varphi$((广告$g$)$x$)$dg)\pi_{\mathfrak{g}}(x)dx$, (12)

并且，特别是，如果 $\varphi$ 在 Ad(G) 下是不变的，