从 K 到 $\mathbf{R}$ 的函数 $v \rightarrow$ F((Ad $v$)$(x), y$) 是连续的，因此在点 $k\in K$ 处有最小值。令 $u\in L(K)$ 并放入

$h(t) =$ F((广告费用($tu$)$.k$)$(x), y$)$,t\in \mathbf{R}$。

我们为所有 $t$ 准备了 $h(t)\geq h(0)$；此外，由章。 III, §3, no. 12，第 44 号提案，

$\frac{dh}{dt}(0) = F([u$,(广告$k$)$(x)], y) = F(u$,[(广告$k$)$(x), y])$,

因此引理（实变量的函数，第I, §1, no. 7章，第7条命题）。

由于 $\mathfrak{g}$ 是还原性的，因此它的嘉当子代数是可交换的（第 VII, §2, no. 4 章，第 2 章第 3 章）。相反，令 $\mathfrak{t}$ 为 $\mathfrak{g}$ 的交换子代数。根据第 1 号提案 §1, no. 3，对于所有 $x\in \mathfrak{t}$，广告 $x$ 为半单；由章。 VII, §2, no. 3，命题10，存在$\mathfrak{g}$包含$\mathfrak{t}$中的嘉当子代数。这就证明了定理的第一个断言。

现在让$\mathfrak{t}$和$\mathfrak{t}'$是$\mathfrak{g}$的两个嘉当子代数。我们证明存在$u\in$ Int($\mathfrak{g}$)使得$u(\mathfrak{t}) =\mathfrak{t}'$。根据§1, no. 3的命题1，我们可以假设$\mathfrak{g}$是形式L(G)，其中G是连通的紧李群，并且可以选择是$\mathfrak{g}$上的分离不变对称双线性形式F。令$x$（或$x'$）为$\mathfrak{g}$的正则元素，使得$\mathfrak{t}=\mathfrak{g}^0(x)$（或$\mathfrak{t}'=\mathfrak{g}^0(x')$）（第VII, §3, no. 3，第2章）。 应用引理 1，其中 K = G，我们看到存在 $k\in G$，使得 [(Ad $k$)$(x), x']$ 与 $\mathfrak{g}$ 关于 F 正交，因此是零；那么 (Ad $k$)$(x)\in \mathfrak{g}^0(x') =\mathfrak{t}'$，所以 $\mathfrak{g}^0$((Ad $k$)$(x)$) $=\mathfrak{t}'$，因为 (Ad $k$)$(x)$ 是常规的。我们结论（广告$k$）$(\mathfrak{t}) =\mathfrak{t}'$，因此定理。

设G = Int($\mathfrak{g}$)，并考虑G中$\mathfrak{a}$的固定器$Z_G(\mathfrak{a})$；这是G的谎言子群，其李代数$\mathfrak{z}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})$由$\mathfrak{g}$的元素组成，与$\mathfrak{a}$的每个元素可交换（第III, §9, no. 3章，第7条命题）。那么$\mathfrak{t}$和$u^{-1}(\mathfrak{t}')$就是紧李代数$\mathfrak{z}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})$中的两个嘉当子代数。由 Th. 1、存在$Z_G(\mathfrak{a})$的元素$v$使得$v(\mathfrak{t}) =u^{-1}(\mathfrak{t}')$；任何这样的元素都具有所需的属性。

a) G 的最大环面的李代数是L(G)的嘉当子代数。

b) 设$T_1$和$T_2$为G的两个最大环面。存在$g\in G$使得$T_2=gT_1g^{-1}$。

c) G 是其最大环面的并。

设$\mathfrak{t}$为L(G)中的嘉当子代数； 李代数为 $\mathfrak{t}$ 的 G 的积分子群是闭集（第 VII, §2, no. 1 章，命题 4 的 Cor. 4）且可交换（Th.1），因此是 G 的环面。如果 T 是 G 的极大值环面，则其李代数是可交换，因此包含在 L(G) (Th. 1) 的嘉当子代数中。由此可见，G 的最大环面恰好是与 L(G) 的嘉当子代数相关的 G 的积分子群，因此 a)。 断言 b) 由 Th 推出。 1，因为典范同态 $G\rightarrow$ Int(L(G)) 是满射的（第 10 条第 III, §6, no. 4 章，Cor. 4）。

用G的最大环面X并表示，并令T为G的最大环面。从$G\times T$到G的连续映射$(g, t) \rightarrow gtg^{-1}$有像X，因此在G中是封闭的；因此，要证明c)，只需证明X在G中是开集即可；由于X在内自同构下是不变的，因此足以证明，对于所有$a\in T, X$来说，邻域等于$a$。我们通过归纳对G的维数进行论证，并区分两种情况：

$1)a$ 在 G 中不是中心。设 H 为 G 中$a$ 的中心子的恒等分量；这是 G 的连通紧致子群，与 G 不同，包含于 T，因此$a$。由于 Ad $a$ 是半单 (§1, no. 1)，因此 H 的李代数就是 Ad $a-1$ 的零空间；现在是从第 1 章开始的。 VII, §4, no. 2，命题4，H 的共轭的并 Y 是$a$ 的邻域。 归纳假设、$H\subset X$，因此$Y\subset X$；因此，X 是 $a$ 的邻域。

$2)a$是G中的中心。对于L(G)中的所有$x$，只需证明$a$exp$x$属于到X即可。现在，G 的L(G) 属于至嘉当子代数的每元素 $x$（第 1 期）； 相应的积分子群$T'$包含指数$x$；因为它是共轭到 T，所以它是包含 $a$，因此 $a$ exp $x$，根据需要。

b) 对于所有 $n\geq 1$，从 G 到自身的映射 $g \rightarrow g^n$ 是满射。

事实上，exp(L(G)) 包含于 G 的所有最大环面，因此 a)。 断言 b) 从公式 (exp $x$)$^n=$ exp $nx$ 得出L(G) 中的 $x$。

设$x$为G的中心元素；通过 Th。 $2c)$，G 包含于 $x$ 存在最大环面 T；那么$x$属于到T的所有共轭，因此到G的所有最大环面。相反，如果$x$属于到G的所有最大环面，它与G的每个元素交换Th。 $2c)$。

G 包含于 $g$ (Th. $2c$)$)$ 存在最大环面 T，因此包含在 $C_0$ 中。此外，群$C_0$是一个连通的紧李群，因此其最大环面的并 (Th. $2c$)$)$；这些都是包含$g$（Cor.2），因此正是G包含$g$的最大环面。

由于 Ad $g$ 是半单，因此 Ad $g-1$ 的零空间的维数也是 $g$ 的中心化器 C 的零空间。按地点。引文、第 8 号提案和 Th。 $1,g$ 是正则当且仅当 $C_0$ 是 G 的最大环面。现在的结论来自 Cor. 3.

b) 设$\mathfrak{s}$为L(G)中的交换子代数。 G中$\mathfrak{s}$的固定器已连接；它是 G 的最大环面的并，其李代数包含 $\mathfrak{s}$。

为了证明a)，只要证明如果G的元素$g$集中S，则存在G包含S和$g$的最大环面。现在，如果C是$g$的中心化器，我们有$g\in C_0$（Cor.3）和$S\subset C_0$；如果 T 是连接的紧李群 $C_0$ 包含 S 的最大环面，则我们有 $g\in T$（Cor. 2），因此 a)。 断言 b) 由应用于子群与李代数 $\mathfrak{s}$ 积分的 a) 得出，参见第 1 章。 III, §9, no. 3，提案 9。

令 T 为 G 的最大环面和其扶正器 C；由于 L(T) 是 L(G) 的嘉当子代数，我们有 L(T) = L(C)，因此 C = T，因为 C 是连通的（Cor. 5）。

设C为A的中心化子，则T和$s^{-1}(T')$为$C_0$的两个最大环面； $C_0$ 的每个元素 $g$ 使得 (Int $g$)$(T) =s^{-1}(T')$ 具有所需的属性。

让$h\in H$。那么$h^{-1}Th$是$H_0$的最大环面，因此（Th.2）存在$g\in H_0$使得$hg\in N_H(T)$；因此$h$属于到$N_H(T).H_0$，因此第一个断言。第二个紧随其后。

a) 令$f: G\rightarrow G'$为李群的满射态射。 $G'$ 的最大环面是 G 的最大环面 $f$ 之下的像。如果 $f$ 的核位于 G 的中心（对于例离散），则 G 的最大环面是逆像在最大环面的 $f$ 之下$G'$的托里。

b) 令 H 为 G 的连通闭子群。H 的每个最大值环面为交，其中 H 为 G 的最大值环面。

c) 令 H 为 G 的连通闭法线子群。H 的最大环面为交，其中 H 为 G 的最大环面。

a) 令 T 为 G 的最大值环面；那么 L(T) 是 L(G) 的嘉当子代数 (no. 2, Th. $2a$)$)$，所以 $L(f(T))$ 是 $L(G')$ 的嘉当子代数（第 VII, §2, no. 1 章，第 2 条） 4);由此可见，$f(T)$ 是 $G'$ (no. 2，Th. $2a$)$)$ 的最大环面。如果 Ker $f$ 是 G 的中心，则它包含在 T（Th.2 的 Cor.2）中，因此$T =f^{-1}(f(T))$。

相反，令$T'$为$G'$的最大值环面；我们证明存在 G 的最大环面 T，使得 $f(T) = T'$。令$T_1$为G的最大环面；那么$f(T_1)$是$G'$的最大环面，并且存在$g'\in G'$使得$T'=g'f(T_1)g^{'-1}$(Th.$2b$)$)$；如果$g\in G$使得$f(g) =g'$，我们有$T'=f(T)$和$T =gT_1g^{-1}$。

b) 令 S 为 H 的最大值环面；这是 G 的环面，因此存在 G 包含于 S 的最大环面 T。那么 $T\cap H$ 是 H 包含于 S 的交换性子群，因此等于 S (no. 2, 注 2)。

c) 根据§1, no. 3，命题$2c), L(G)$是带有理想的L(H)的直乘积；因此，L(H)的嘉当子代数是交，其中L(H)是L(G)的嘉当子代数。因此，对于 $G, T\cap H$ 包含的任何最大环面 T，H 和 $S = T\cap H$ (no. 2，注 2) 的最大环面 S。

a) 紧流形 $G/H$ 是单连通的。

b) 同态 $\pi_1(H)\rightarrow \pi_1(G)$，由 H 的典范嵌入归纳为 G，是满射。

由于 H 是连通的，所以我们有正合序列（一般拓扑，第 XI 章，正在准备中）

其中$\overline{e}$是G的单位元素的$G/H$中的像。由于$G/H$是连通的，这立即意味着断言a)和b)的等价。此外，如果$f: G'\rightarrow G$是连通的紧李群的满射态射，其中核是中心，则G的证明命题（在形式$a$中）$)$与G的证明相同$G'$（提案 2）。因此，我们可以首先通过 Ad(G) 得到替换 G，然后假设 G 是半单，然后通过通用覆盖 (§1, no. 4，Cor. 2) 得到替换 G，假设 G 是单连通的。但断言 b) 就微不足道了。

事实上，H 包含嘉当子代数 L(G) 的李代数。因此，由章。 VII, §2, no. 1，科。命题 4 的 4 中，H 是 N 的恒等分量。由于 N 是紧的，因此 H 在 N 中具有有限指标。

b) 交，G 的共轭类 T 是 Weyl 群的轨道。

设 $g\in G$；通过 Th。 no. 2中的2，存在$h\in G$使得$g\in hTh^{-1}$，因此a)。根据Weyl 群的定义，T上$W_G(T)$的同一个轨道中的任意两个元素在G中都是共轭；反之，令$a, b$为G下T共轭的两个元素。存在$h\in G$使得$b=hah^{-1}$； 应用科。 7 Th。 2 (no. 2) 与 $A =\{a\},s=$ Int $h, T'= T$，我们看到存在 $g\in G$，使得 Int $hg$ 映射 T 到 T 以及 $a$ 到 $b$。 $W_G(T)$中的$hg$的类，然后映射$a$到$b$，因此命题。

事实上，这是两个紧凑空间之间的双射连续映射（cf. General 拓扑，第 III，p. 29，Cor. 1）。

这是从 Cor 得出的。 1 以及规范的映射 $\mathrm{T}\to \mathrm{T}/\mathrm{W}_{G}(\mathrm{T})$ 和 $\mathrm{G}\to \mathrm{G}/\mathrm{Int}(\mathrm{G})$ 已开放的事实（*常规拓扑*，第 III、p. 10、引理 2）。

将$\mathrm{G}$的李代数表示为$\mathfrak{g}$，将$\mathrm{T}$的$\mathfrak{t}$表示。 $\mathrm{T}$ 诱导表示上$\mathrm{W}_{G}(\mathrm{T})$的运算，称为$\mathbf{R}$向量空间$\mathfrak{t}$上群$\mathrm{W}_{G}(\mathrm{T})$的*规范表示*。

b) 交和$\mathrm{G}$轨道$\mathfrak{t}$是$\mathfrak{t}$上$\mathrm{W}_{G}(\mathrm{T})$轨道。

断言 a) 由 Th 得出。 1（no. 1）。令$x,y$为$\mathrm{Ad}(\mathrm{G})$下$\mathfrak{t}$共轭的两个元素，并令$h\in\mathrm{G}$为$(\mathrm{Ad}\,h)(x)=y$。 应用 Th 的推论。 1（no. 1）与$\mathfrak{a}=\{x\}$，$u=\mathrm{Ad}\,h$，$\mathfrak{t}'=\mathfrak{t}$，我们看到存在$g\in\mathrm{G}$使得$\mathrm{Ad}\,hg$映射$\mathfrak{t}$到$\mathfrak{t}$和$x$到$y$。然后$hg\in\mathrm{N}_{G}(\mathrm{T})$（第III, §9, no. 4章，第11条命题），以及$\mathrm{W}_{G}(\mathrm{T})$映射$x$到$y$中$hg$的类，因此命题。

将这个映射表示为$j$；它是双射且连续的（命题 6）。我们有一个可交换的图表

其中$p$和$q$是商映射，$i$是典范嵌入。由于 $i$ 和 $q$ 是正确的（*一般拓扑*，第 I, §10, no. 1 章，命题 2 和 一般拓扑，第 III, §4, no. 1，命题 2 c)），并且由于 $p$ 是满射的，因此得出$j$ 是正确的（*一般拓扑*，第 I, §10, no. 1 章，命题 5），因此是同胚。

a) 用$\mathrm{W}_{G}(\mathrm{T})$中的$\mathrm{W}_{H}(\mathrm{T})$子群$\mathrm{N}_{H}(\mathrm{T})/\mathrm{T}$表示； 群 $H/H_{0}$ 同构于商群 $\mathrm{W}_{H}(\mathrm{T})/\mathrm{W}_{H_{0}}(\mathrm{T})$。

b) $H$是连通的当且仅当$\mathrm{W}_{G}(\mathrm{T})$的每个元素在$H$属于到$\mathrm{W}_{H_{0}}(\mathrm{T})$都有代表。

断言 a) 源自 Cor. 8 Th。 2 (no. 2)，而断言 b) 是 a) 的特例。

把$Z = C(G)_0$；由 §1, no. 4 提供，Cor.第 4 条命题 1，李群 $g: Z\times \widetilde{D}(G)\rightarrow G$ 中的态射，使得 $g(z, x) =z^{-1}p(x)$ 是一个覆盖层；它的核由对$(z, x)$组成，使得$p(x) =z$，其中$x\in p^{-1}(Z)\subset \widetilde{T}$。由于态射$(z, x) \rightarrow f_T(z^{-1}) \widetilde{f}(x)$从$Z\times \widetilde{D}(G)$到H映射Ker$g$到$\{e\}$，存在从G到H的态射$f$，使得对于$z\in Z$有$f\circ p= \widetilde{f}$和$f(z) =f_T(z)$。但我们也有 $f(t) =f_T(t)$ 对应 $t\in p( \widetilde{T})$；因为$T = Z.p( \widetilde{T})$，$f$到T的限制确实是$f_T$。

如果$f: G\rightarrow H$是李群的态射，使得$L(f) =\varphi$，$f$到T的限制$f_T$是从T到H的唯一态射，使得$L(f_T) =\varphi |L(T)$。相反，令 $f_T: T\rightarrow H$ 为李群的态射，使得 $L(f_T) =\varphi |L(T)$。令$\widetilde{D}(G)$和$p$如上； 映射$L(p)$诱导同构从$L( \widetilde{D}(G))$到L(G)的派生代数$\mathfrak{b}$。存在李群 $\widetilde{f}: \widetilde{D}(G)\rightarrow H$ 中的态射，使得 $L( \widetilde{f}) = (\varphi |\mathfrak{b})\circ L(p)$（第 III, §6, no. 1，第 1 章）。从$\widetilde{T}$到H诱导的态射$t \rightarrow \widetilde{f}(t)$和$t \rightarrow f_T(p(t))$与李代数相同的同态，因此重合。 应用引理 2，我们推导出态射$f: G\rightarrow H$的存在性使得$L(f)$和$\varphi$重合在L(T)和$\mathfrak{b}$上。从$L(G) =\mathfrak{b}+ L(T)$开始，我们有$L(f) =\varphi$。

事实上，Th. 2 (no. 2) G 约化到单位元素的正常子群 Ker $f$ 当且仅当其交与 T 约化到单位元素。