$\sigma^2=$ ID$_{\mathfrak{a}}, \sigma (\lambda x+\mu y) = \overline{\lambda \sigma}(x) + \overline{\mu\sigma}(y),[\sigma (x), \sigma (y)] =\sigma [x, y]$ (2)

对于$\lambda , \mu\in \mathbf{C},x, y\in \mathfrak{a}$。 $\mathfrak{a}$属于到$\mathfrak{g}$的元素$x$当且仅当$\sigma (x) =x$。

b) 设 $\sigma :\mathfrak{a}\rightarrow \mathfrak{a}$ 为映射满足 (2)。那么$\sigma$的固定点的集合$\mathfrak{g}$是$\mathfrak{a}$的实形式，$\sigma$是$\mathfrak{a}$相对于$\mathfrak{g}$的共轭。

证明是直接的。

注，如果B表示$\mathfrak{a}$的杀戮形式，且$\mathfrak{g}$是$\mathfrak{a}$的实数形式，则B到$\mathfrak{g}$的限制就是$\mathfrak{g}$的杀戮形式；特别是，B 在 $\mathfrak{g}\times \mathfrak{g}$ 上是实值。假设$\mathfrak{a}$是可还原的；那么实数李代数$\mathfrak{g}$是紧的当且仅当B到$\mathfrak{g}$的限制为负数(§1, no. 3)。在这种情况下，我们说$\mathfrak{g}$是$\mathfrak{a}$的紧实数形式。

$\mathfrak{a}$的实数形式，其中$\mathfrak{h}_0$为嘉当子代数。 对$(\mathfrak{a}_0,\mathfrak{h}_0)$是分裂的半单实数李代数，其中$(X_{\alpha})$是Chevalley系统。

b) 令$\sigma$为$\mathfrak{a}$相对于$\mathfrak{a}_0$的共轭。然后$\sigma \circ \theta =\theta \circ \sigma$。 $\sigma \circ \theta$的固定点的集合是$\mathfrak{a}$的紧实数形式$\mathfrak{a}_u$，其中$i\mathfrak{h}_0$是嘉当子代数。

部分 a) 紧接着前面的内容。我们证明b）。由于$\sigma \circ \theta$和$\theta \circ \sigma$是从$\mathfrak{a}$到$\mathfrak{a}$的两个半线性映射，即$\mathfrak{a}_0$上的重合，因此它们重合。现在$\sigma \circ \theta$满足no. 1的条件(2)，因此是$\mathfrak{a}$相对于$x\in \mathfrak{a}$的实形式$\mathfrak{a}_u$由……组成的共轭，使得$\sigma \circ \theta (x) =x$（命题1）。对于所有 $\alpha \in R$ 投入

然后由$i\mathfrak{h}_0$、$u_{\alpha}$和$v_{\alpha}$生成$\mathbf{R}$向量空间$\mathfrak{a}_u$。更准确地说，如果我们选择R的一个C室，那么

显然$i\mathfrak{h}_0$是$\mathfrak{a}_u$的嘉当子代数，还有待证明B到$\mathfrak{a}_u$的限制为负数。现在$i\mathfrak{h}_0$和形式$\mathbf{R}u_{\alpha}\oplus \mathbf{R}v_{\alpha}$的不同子空间关于B正交，由(5)可知； B 到 $i\mathfrak{h}_0$ 的限制为负，并且

因此得出结论。

令 $\tau$ 为 $\mathfrak{a}$ 相对于 $\mathfrak{g}$ 的共轭。 假设$\tau (x) =x$为$x\in i\mathfrak{h}_0$，所以$\tau (x) =-x$为$x\in \mathfrak{h}_0$。因此，对于所有$\alpha \in R$和所有$h\in \mathfrak{h}_0$，

由此可见，$[h, \tau (X_{\alpha})] =-\alpha (h)\tau (X_{\alpha})$适用于所有$h\in \mathfrak{h}_0$，因此也适用于所有$h\in \mathfrak{h}$。因此存在$c_{\alpha}\in \mathbf{C}^*$使得$\tau (X_{\alpha}) =c_{\alpha}X_{-\alpha}$。由于$[X_{\alpha}, X_{-\alpha}]\in \mathfrak{h}_0$，我们有$[\tau (X_{\alpha}), \tau (X_{-\alpha})] =-[X_{\alpha}, X_{-\alpha}]$，所以$c_{\alpha}c_{-\alpha}$ = 1；类似地，如果$\alpha , \beta , \alpha +\beta$是根，公式（3）和（4）给出$c_{\alpha+\beta}=c_{\alpha}c_{\beta}$。由章。 VI, §1, no. 6，科。根据第 19 条命题 2，存在同态 $\delta : Q(R)\rightarrow \mathbf{C}^*$，使得 $\delta (\alpha ) =c_{\alpha}$ 对于所有 $\alpha \in R$。

现在我们证明每个 $c_{\alpha}$ 都是严格正的。事实上，$c_{\alpha}B(X_{\alpha}, X_{-\alpha}) =$$B(X_{\alpha}, \tau (X_{\alpha}))$，并且由于$B(X_{\alpha}, X_{-\alpha})$是负数，因此足以证明$B(z, \tau (z))<0$对于$\mathfrak{a}$的每个非零元素$z$；但$\mathfrak{a}$的每个元素都可以写成$x+iy$，$x$和$y$在$\mathfrak{g}$中，并且

因此，B 到 $\mathfrak{g}$ 的规定断言、限制为负，并以假设分隔。

由此可见，同态$\delta$在$\mathbf{R}^*_+$中取值；因此存在同态$\gamma : Q(R)\rightarrow \mathbf{R}^*_+$使得$\delta =\gamma^{-2}$。那么$f(\gamma )^{-1}(\mathfrak{g})$就是$\mathfrak{a}$的实数形式； 相应的共轭是$\tau '=f(\gamma )^{-1}\circ \tau \circ f(\gamma )$。对于所有$\alpha \in R$，我们有

$\tau '(h) =\tau (h) =h$ 为 $h\in i\mathfrak{h}_0$；由此可见，$\tau '$是相对于$\mathfrak{a}_u$的共轭，因此是$f(\gamma )^{-1}(\mathfrak{g}) =\mathfrak{a}_u$。

a$)\mathfrak{a}$ 具有紧凑（或可拆分）实数形式。

b) 群 Int($\mathfrak{a}$) 可传递地对 $\mathfrak{a}$ 的紧凑（可拆分）实数形式的集合进行操作。

令$\mathfrak{h}$为$\mathfrak{a}$的嘉当子代数。那么 $(\mathfrak{a},\mathfrak{h})$ 就是分裂的（第 VIII, §2, no. 1、注 2），并且有一个 Chevalley 系统 $(X_{\alpha})$（第 VIII, §4, no. 4 章，Prop. 5 的 Cor.）。 部分 a) 现在由命题 2 得出。令 $\mathfrak{g}$ 为 $\mathfrak{a}$ 的紧实数形式；我们证明存在 $v\in$ Int($\mathfrak{a}$) 使得$v(\mathfrak{a}_u) =\mathfrak{g}$。设$\mathfrak{t}$为$\mathfrak{g}$的嘉当子代数；那么$\mathfrak{t}_{(\mathbf{C})}$是$\mathfrak{a}$的嘉当子代数；由于 Int($\mathfrak{a}$) 对 $\mathfrak{a}$ 的嘉当子代数集合进行传递运算（第 VII, §3, no. 2，第 1 章），我们被简化为$\mathfrak{t}_{(\mathbf{C})}=\mathfrak{h}$ 的情况。由于$\mathfrak{g}$是紧形式，自同态和$h$的特征值，对于$h\in \mathfrak{t}$来说，纯粹是虚数（§1, no. 3，命题1），所以根$\alpha \in R$映射 $\mathfrak{t}$至$i\mathbf{R}$；这意味着$\mathfrak{t}=i\mathfrak{h}_0$。那么，根据命题3 (no. 2)，存在$v\in$ Int($\mathfrak{a}$)使得$v(\mathfrak{a}_u) =\mathfrak{g}$，因此在紧形式的情况下为b)。最后，令$\mathfrak{m}_1$和$\mathfrak{m}_2$为$\mathfrak{a}$的两个可分割实数形式。存在框架$(\mathfrak{m}_1,\mathfrak{h}_1,B_1,(X_{\alpha}^1))$和$(\mathfrak{m}_2,\mathfrak{h}_2,B_2,(X_{\alpha}^2))$（第VIII, §4, no. 1章）。这些扩展以明显的方式变为基$e_1$和$e_2$$\mathfrak{a}$。 $\mathfrak{a}$中的自同构即映射$e_1$至$e_2$映射$\mathfrak{m}_1$至$\mathfrak{m}_2$；因此，应用第 1 章第 5 条就足够了。 VIII, §5, no. 3，获取Aut$_0(\mathfrak{a}) =$Int($\mathfrak{a}$)中元素$u$的存在性使得$u(\mathfrak{m}_1) =\mathfrak{m}_2$。

条件显然是必要的。相反，假设 $\mathfrak{g}_{(\mathbf{C})}$ 和 $\mathfrak{g}'_{(\mathbf{C})}$ 同构。令$\mathfrak{c}$（分别$\mathfrak{c}'$）为$\mathfrak{g}$（分别$\mathfrak{g}'$）和$\mathfrak{s}$（分别$\mathfrak{s}'$）的中心和$\mathfrak{g}$（分别$\mathfrak{g}'$）的派生代数。那么$\mathfrak{c}_{(\mathbf{C})}$和$\mathfrak{c}'_{(\mathbf{C})}$分别是$\mathfrak{g}_{(\mathbf{C})}$和$\mathfrak{g}'_{(\mathbf{C})}$的中心，因此是同构的；由此可见交换代数 $\mathfrak{c}$ 和 $\mathfrak{c}'$ 是同构的。类似地，$\mathfrak{s}_{(\mathbf{C})}$和$\mathfrak{s}'_{(\mathbf{C})}$是同构的，因此$\mathfrak{s}$和$\mathfrak{s}'$是两个同构复半单李代数的紧实数形式，与Th同构。 $1b)$。

(i) $\mathfrak{a}$ 是还原的。

(ii) 存在紧实李代数 $\mathfrak{g}$，使得$\mathfrak{a}$与$\mathfrak{g}_{(\mathbf{C})}$同构。

(iii) 存在紧李群 G，使得$\mathfrak{a}$同构于$L(G)_{(\mathbf{C})}$。

由Def。 §1, no. 3、条件 (ii) 和 (iii) 中的 1 是等效的并暗示 (i)。如果 $\mathfrak{a}$ 是还原的，它是交换代数的直接乘积，它显然有一个紧实数形式，而半单代数有一个 Th。 $1a)$，因此 (i) 意味着 (ii)。

事实上，存在 $\mathfrak{a}_1$（或 $\mathfrak{a}_2$）的紧实数形式 $\mathfrak{g}_1$（或 $\mathfrak{g}_2$）；那么$\mathfrak{g}_1\times \mathfrak{g}_2$是$\mathfrak{a}_1\times \mathfrak{a}_2$的紧实数形式。现在可以从 Th 得出推论。 $1b)$，适用于$\mathfrak{a}_1,\mathfrak{a}_2$和$\mathfrak{a}_1\times \mathfrak{a}_2$。

注源自 Cor. 3 上面的紧实李代数$\mathfrak{g}$是简单的当且仅当复杂的李代数$\mathfrak{g}_{(\mathbf{C})}$是简单的。如果$\mathfrak{g}_{(\mathbf{C})}$是型$A_n$或$B_n,. .$，我们说$\mathfrak{g}$是型$A_n$或$B_n,. .$。 （第VIII, §2, no. 2章）。由科.上面 1 中，两个紧简实数李代数同构当且仅当它们的型相同。

令 G 为几乎简单连通的紧李群（第 III, §9, no. 8 章，定义 3）。我们说G是型$A_n$，或$B_n,. .$。，如果它的李代数是型，$A_n$，或$B_n,. .$。。两个简单连接的几乎简单的紧李群同构当且仅当它们相同型。

b) 代数 $\mathfrak{u}(\Phi )$ 是 $\mathfrak{g}\mathfrak{l}(V)$ 的紧实数形式。

设$\Phi$为V上的分离正值厄米特形式。 对于所有$x\in \mathfrak{g}\mathfrak{l}$(V)，放入$\sigma (x) =-x^*$（其中$x^*$是$x$相对于$\Phi$的伴随）。 那么$\sigma$满足no. 1命题1的条件(2)，因此$\mathfrak{g}\mathfrak{l}(V)$（$\mathfrak{s}\mathfrak{l}(V)$）上$\sigma$的固定点的集合$\mathfrak{u}(\Phi )$（$\mathfrak{s}\mathfrak{u}(\Phi )$）是紧实数形式共 $\mathfrak{g}\mathfrak{l}(V)$（分别为 $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(V)$）。 由于$\mathbf{G}\mathbf{L}(V)$在V（代数，第IX）上的分离正厄米特形式的集合以及$\mathfrak{s}\mathfrak{l}(V)$（no. 3，第1章）的紧致实数形式的集合上进行传递操作和第 VIII, §13, no. 1 (VII))，命题 4 得到证明。

事实上，型$A_n$的每个复数李代数都同构于$\mathfrak{s}\mathfrak{l}(n+ 1,\mathbf{C})$（第VIII, §13, no. 1章）。

第一个断言源自 Cor。提案 4 和提案 5。由于 $\mathbf{S}\mathbf{U}(2,\mathbf{C})$ 同胚于 $\mathbf{S}_3($General 拓扑，第 1 章VIII, §1, no. 4, 注 4)，因此是单连通的（概述拓扑，第 XI 章，准备中），秩 1 的每个单连通紧凑半单李群同构于 $\mathbf{S}\mathbf{U}(2,\mathbf{C})$； 秩 1 的每个非单连通的连通紧凑半单李群同构于 Z 的$\mathbf{S}\mathbf{U}(2,\mathbf{C})$除以子群的商，但不约化与单位元素，因此与$\mathbf{S}\mathbf{O}(3,\mathbf{R})$同构的。