(i) $\mathfrak{g}$ 同构于紧李群的李代数。

(ii) 群 Int($\mathfrak{g}$)（第 III, §6, no. 2，定义 2）是紧凑的。

(iii) $\mathfrak{g}$ 有不变双线性形式（第I, §3, no. 6），它是对称的、正的且分离的。

(iv) $\mathfrak{g}$ 是还原性的（第 I, §6, no. 4 章，定义 4）；对于所有 $x\in \mathfrak{g}$、自同态和 $x$ 都是半单，而特征值纯粹是虚构的。

(v) $\mathfrak{g}$ 是还原性的，其 Killing 形式 B 是负值。

(i) $=\Rightarrow$ (ii)：如果 $\mathfrak{g}$ 是紧李群 G 的李代数，群 Int($\mathfrak{g}$) 是分离的并且同构于紧致群 $G_0$ 的商（第 1 章） III, §6, no. 4，Cor.4)，因此是紧凑的。

(ii) $=\Rightarrow$ (iii): 如果群 Int($\mathfrak{g}$) 是紧的，$\mathfrak{g}$ 上存在对称双线性形式，它在 Int($\mathfrak{g}$) (no. 1) 下是正的、分离且不变的，因此在伴随下也是不变的表示共 $\mathfrak{g}$。

(iii) $=\Rightarrow$ (iv)：如果满足(iii)，$\mathfrak{g}$的伴随表示是半单 (no. 1)，因而$\mathfrak{g}$是可还原的；此外，自同态和$x$，对于$x\in \mathfrak{g}$，具有指定的属性（no. 1）。

(iv) $=\Rightarrow$ (v)：对于所有 $x\in \mathfrak{g}, B(x, x) =$ Tr((ad $x$)$^2$)；因而，$B(x, x)$是广告$x$的平方或特征值的和，因此如果这些纯粹是虚构的，则为负数。

(v) $=\Rightarrow$ (i)：假设 $\mathfrak{g}$ 是还原性的，因此交换子代数 $\mathfrak{c}$ 和半单子代数 $\mathfrak{s}$ 的乘积（第 I, §6, no. 4 章，第 5 条）。 $\mathfrak{s}$的杀戮形式是形式B到$\mathfrak{s}$的限制，因此是负数并且如果B是负数则分离。 $\mathbf{G}\mathbf{L}(\mathfrak{s})$ 的子群 Int($\mathfrak{s}$) 是封闭的（它是 Aut($\mathfrak{s}$) 的恒等分量，第 III, §10, no. 2，Cor. 2），并且使分离正形式 $-B$ 不变；因而，它是紧致的，并且$\mathfrak{s}$同构于紧李群Int($\mathfrak{s}$)的李代数。此外，由于$\mathfrak{c}$是可交换的，它与环面T的李代数同构。因而，$\mathfrak{g}$与紧李群Int($\mathfrak{s}$)$\times T$的李代数同构。

b) 紧李代数的子代数是紧的。

c) 令$\mathfrak{h}$为紧李代数$\mathfrak{g}$的理想。那么代数 $\mathfrak{g}/\mathfrak{h}$ 是紧致的，扩张 $\mathfrak{h}\rightarrow \mathfrak{g}\rightarrow \mathfrak{g}/\mathfrak{h}$ 是平凡的。

断言 a) 和 b) 由命题 1 的刻画 (iii) 得出。部分 c) 由 a) 得出，并且事实上，在还原的李代数中，每个理想都是直因子（第 I, §6, no. 4 章，命题 5 的修正）。

(i) 李代数 L(G) 是紧的。

(ii) 群 Ad(G) 是紧凑的。

(iii) 在 G 的伴随表示下，L(G) 不变量存在分离正对称双线性形式。

\*(iv) G 在左右平移下具有黎曼度量不变量。\​​

(i) $=\Rightarrow$ (ii)：如果 L(G) 是紧的，则群 Ad(G$_0$) $=$ Int(L(G)) 是紧的；由于 Ad(G) 中的指标是有限的，因此后者群也是紧凑的。

(ii) $=\Rightarrow$ (iii)：这是从no. 1得出的。

(iii) $=\Rightarrow$ (i)：由于 Int(L(G)) $\subset$ Ad(G)，这由命题 1 的刻画 (iii) 得出。

\*(iii) $\Leftarrow \Rightarrow$ (iv)：这来自第 1 章。 III, §3, no. 13.\*

由于G是半单，所以它的中心D是离散的。此外，商群$G/D$同构于Ad(G)（第III, §6, no. 4章，Cor.4），因此是紧凑的（命题3）。最后，群$G/D$等于它的导出群（第III, §9, no. 2章，第4号提案的Cor.）。 定理现在来自集成，第 1 章。 VII, §3, no. 2，提案 5。

$^4$ 注实拓扑向量空间不能是紧拓扑空间

除非减少到 0。 群 S、向量群 V 以及具有有限核的满射态射 $f: V\times T\times S\rightarrow G$。如果 G 是紧致的，群 V 会减少到单位元素。

令C（分别为S）为单连通李群，其李代数同构于L(G)的中心（分别为派生的代数）。那么 C 是向量群，S 是一个紧凑的群，具有有限的中心（Th.1），G 可以通过离散的子群 D 与 $C\times S$ 的商来识别，这是中心的（积分，第 VII, §3, no. 2 章， 引理4)。由于 D 的投影的像在 S 上是中心的，因此是有限的，$D\cap C$ 在 D 中是有限的指标。设 $C'$ 是由 $D\cap C$ 生成的 C 的向量子空间，而 V 是补数子空间。那么群$T = C'/(D\cap C)$就是环面，G同构于乘积群$V\times T\times S$除以有限群的商。

如果 G 是紧致的，那么 $V\times T\times S ($General 拓扑也是紧致的，第 1 章。 III, §4, no. 1，科。命题 2 的 2），因而 V 也是如此，这意味着 $V =\{e\}$。

根据命题4中的记号，我们有G的$V =\{e\}$和子群、$f(T)$和$f(S)$是紧的，因此是封闭的。因此只要证明$f(T) =$$C(G)_0,f(S) = D(G)$就足够了。现在，$L(G) = L(f(T))\times L(f(S))$；由于 S 是半单并且 T 是可交换的，这意味着 $L(f(T)) =\mathscr{C}(L(G)) = L(C(G)_0)$（第 III, §9, no. 3 章，第 8 条命题）和 $L(f(S)) =\mathscr{D}L(G) = L(D(G))$（第 III, §9, no. 2 章，第 4 条命题的修正），因此称为断言。

有了第4号提案中的记号，群V和T减少到单位元素；因此S是G的全覆盖，G的基本群同构于Ker$f$，因此是有限的。 G 的中心 D 是离散的，因为 G 是半单，所以 D 是有限的。

事实上，Cor 中的记号。 1，$C(G)_0$的基数群与$\mathbf{Z}^n$同构的，$n=$暗淡$C(G)_0$，并且D(G)的基数群是有限的（Cor.2）。

(i) G 为半单；

(ii) C(G) 是有限的；

(i) $\pi_1(G)$ 是有限的。

如果 G 是单连通的，则为半单。

这是从 Cor 得出的。 1 至 3。

设 $f\in$ Aut(G)$_0$。然后$C(G)_0$的$f$诱导自同构$f_1$和D(G)的自同构$f_2$，我们有$f_1\in$自动（C（G）$_0$）$_0, f_2\in$自动（D（G））$_0$。由于 Aut(C(G)$_0$) 是离散的（一般拓扑，第VII, §2, no. 4，第 5 章），我们有 $f_1=$ Id；因为 D(G) 是半单，由第 1 章给出。 III, §10, no. 2，科。 2 Th。 1 存在 D(G) 的元素 $g$，使得对于所有 $x\in$ D(G) 都有 $f_2(x) =gxg^{-1}$。对于所有 $x\in C(G)_0$，我们有 $gxg^{-1}=x$ = $f_1(x)$；从 $G = C(G)_0.D(G)$ 开始，$gxg^{-1}=f(x)$ 对于所有 $x\in G$，因此 $f=$ Int $g$。

a) 假设G已连通。那么G有最大的紧子群K；它已连接。 G 存在一个闭中心向量子群 (no. 2) N，使得 G 是直乘积 $N\times K$。

b) 假设 G 的连通分量群是有限的。然后：

(i) G 的每个紧凑子群都包含在最大紧凑子群中。

(ii) 如果$K_1$和$K_2$是G的两个最大紧致子群，则存在$g\in G$使得$K_2=gK_1g^{-1}$。

(iii) 令K为G的最大紧致子群，则$K\cap G_0$等于$K_0$；它是最大的紧凑子群$G_0$。

(iv) 存在$G_0$的闭中心向量子群N，在G中正常，因此，对于G的任何最大紧致子群K，$G_0$是N对$K_0$的直乘积，G是半直K 乘 N 的乘积。

a) 我们保留第 4 条的记号。Ker $f$ 到V 的投影是向量群 V 的有限子群，因此减少到单位元素。由此可知 Ker $f$ 包含在 $T\times S$ 中，因此 G 是向量群 $N =f(V)$ 的直接乘积和紧致群 $K =f(T\times S)$。 G 的每个紧致子群都有投影到 N 上，N 被约简为单位元素，因此包含在 K 中。这证明了 a)。

b) 现在假设 $G/G_0$ 是有限的。由$a), G_0$是其最大的紧致子群M和向量子群P的直接乘积； G 的子群 M 显然是正常的。令$\mathfrak{n}$为L(G)中L(M)的向量子空间补，在G的伴随表示下稳定（no. 1和no. 3，命题3）；这是L(G) 的理想，我们有$L(G) = L(M)\times \mathfrak{n}$。令 N 为 G 与李代数 $\mathfrak{n}$ 的积分子群；由章。 III, §6, no. 6，第 14 条命题，在 G 中是正常的。L(G) 的投影到 L(P)，其中核 L(M) 诱导同构从 $\mathfrak{n}$ 到L(P);由此可见，$G_0$的投影到P诱导，一个从N到P的étale态射；由于 P 是单连通的，因此为同构，N 为向量群。从$M\times N$到$G_0$的态射$(x, y) \rightarrow xy$是一个单射étale态射（因为$M\cap N$减少到单位元素），因此同构。由此可见，N 是 G 的闭子群，并且商 $G/N$ 是紧致的，因为 $G_0/N$ 是紧致的，而 $G/G_0$ 是有限的（一般拓扑，第 III, §4, no. 1，第 2 条命题的 Cor.2）。

通过整合，第 1 章。 VII, §3, no. 2，命题 3，G 的每个紧致子群都包含在最大紧致子群中，即共轭，并且对于 G 的任何最大紧致子群 K，G 是 K 与 N 的半直接乘积。因为 $G_0$ 包含于 N，是N乘$G_0\cap K$的半直接乘积；由此可见，$G_0\cap K$是连通的，因此等于$K_0$，因为$K/(G_0\cap K)$与$G/G_0$同构的，因此是有限的；最后，$K_0$ 显然是 $G_0$ 的最大的紧致子群 by a)。

事实上，通过 (ii) 存在元素$g\in G$使得$gK_1g^{-1}= K_2$；由(iv)，存在$n\in N$和$k\in K_1$使得$g=nk$。 元素 $n$ 则具有所需的属性。