条件 (i) 意味着，对于 G 中的所有 $g, g'$，我们在群 T(G) 中有：

或 但T(G)中$\beta(g)$和$(\mathrm{Ad}\,g)\beta(g')$的乘积只是$L(G)$中$\beta(g)$和$(\mathrm{Ad}\,g)\beta(g')$的和（§ 2, no. 1，命题2）。因此 (i) $\Leftrightarrow$ (iii)。另一方面，条件 (ii) 可以写成$\beta(gg')gg' = \beta(g)gg' + g\beta(g')g'$，或者 因此 (ii) $\Leftrightarrow$ (iii)。

李群

$a \in A$，*映射*$b \mapsto f(a, b)$*的*B*到*C*是*K-*解析*。 然后，对于 TB 到 TC 的所有 $t \in TA$，*映射* $u \mapsto (Tf)(t, u)$ 是K-*解析*。

我们固定$t \in TA$并写入$g(u) = (Tf)(t, u)$。显然 $g$ 是 K' 解析的。通过*可微解析流形*，R，5.14.6，足以证明映射到$g$的切线是K线性的。可以假设 A、B、C 在 K'、K、K 上的完全可范空间 E、F、G 中是 0 的开邻域，并且$t$ 在 0 处与 A 相切。我们认同 TA、TB、TC，其中 $A \times E, B \times F, C \times G$ 和$t$ 与 E 的元素。然后对于所有 $(x, y) \in TB = B \times F$。

我们认同$T(B \times F)$与$(B \times F) \times (F \times F)$，$T(C \times G)$与$(C \times G) \times (G \times G)$。那么，对于所有

$(Tg)((x, y), (h, k)) = ((a, b), (c, d))$，哪里

我们现在修复$(x, y) \in B \times F$。我们需要证明$F \times F$到$G \times G$的映射$(h, k) \mapsto (c, d)$是K线性的。由于 B 到 C 的映射 $x \mapsto f(0, x)$ 是 K 解析的，映射

是 K 线性的。另一方面

并且，对于固定的$\lambda$，映射$x \mapsto f(\lambda t, x)$是K-解析的，因此映射$h \mapsto (D_2f)(\lambda t, x)(h)$是K-线性的。

对于$v \in V,\ g_1 \in G,\ g_2 \in G,\ v(g_1g_2) = (vg_1)(vg_2)$。因此，对于 $u_1 \in TG,\ u_2 \in TG,\ a(u_1u_2) = (au_1)(au_2)$ (§ 2, no. 1, 命题 3)。特别地，G到TG中的映射$g \mapsto ag$是群同态。另一方面，这个映射是由引理2解析的。

因此$f_1 f_2 \in \mathscr{F}_{g_1 g_2}$。这就证明了$\mu(g_1 g_2) \geq \inf_{g \in V} (\mu(g_1), \mu(g_2))$。 (c) 根据可微分和解析流形，R，9.1.4和9.1.5，G中存在e的邻域V使得$\sigma = \inf_{g \in V} \mu(g) > 0$。令 $h \in G$ 和 C 为其连通分量。对于 (b) 中的所有 $h' \in C$、$\mu(h') \geq \inf(\sigma, \mu(h)) > 0$。另一方面，函数$f_{h'}$，其中$h' \in C$，在C中取其值。通过可微分和解析流形，R，9.1.4和9.1.5，C中的$\mu = +\infty$，最后G中的$\mu = +\infty$。然后让$f_g(\lambda) = \phi_\lambda(g)$代表所有$g \in G$和所有$\lambda \in K$。由可微分解析流形，R，9.1.4和9.1.5，映射$(\lambda, g) \mapsto \phi_\lambda(g)$是G上K的解析运算的律。显然，如果D是无穷小运算的关联律， $D(1) = \alpha$。由(b)，

对于所有$\lambda \in K, g_1 \in G, g_1 \in G$。

和$(f_{g_1}f_{g_2})(0) = g_1 g_2 = f_{g_1g_2}(0)$。因此$f_{g_1'g_2'}(\lambda) = f_{g_1'}(\lambda) f_{g_2'}(\lambda)$代表$(g_1', g_2', \lambda)$

在 $(g_1, g_2, 0)$ 的邻域中（可微分和解析流形，R，9.1.8）。由于$G$是紧的，因此存在$I'$的开子群$I$，使得$f_{g_1g_2}(\lambda) = f_{g_1}(\lambda) f_{g_2}(\lambda)$对于所有$g_1 \in G, g_2 \in G, \lambda \in I$。在其他字，$\phi_\lambda \in \mathrm{Aut}\, G$为$\lambda \in I$。

这就证明了蕴涵((ii)和(iii))$\Rightarrow$(i)。最后，如果$G'$是连接的，则$G'$由$e_{G'}$的每个邻域生成，因此(ii)$\Rightarrow$(iii)。

将$U \times \psi(B')$中的映射$(u, g) \mapsto (u, \psi^{-1}(g))$变为$U \times B'$； 将$U \times B'$中的映射$(u, x) \mapsto u(x)$转换为$B$； 将 $B$ 的映射 $y \mapsto \psi(y)$ 转换为 $G$。

因此这个映射是解析的。

令$p$为H的典范映射进入齐次空间$H/N$。那么 $\theta^{-1}(\mathrm{Aut}(H, N))$ 是 $u \in \mathrm{Aut}\ L(H)$ 的集合使得

对于所有$g \in N$。由§ 8, no. 2、定理2和推论2至定理2，证明了(ii)。

假设 N 是离散且正规的。让$w \in \mathrm{Aut}\ G$。然后

因此$p \circ \eta(w) = w \circ p$，因此$\eta(w) \in \mathrm{Aut}(H, N)$。显然，$\mathrm{Aut}\ G$到$\mathrm{Aut}(H, N)$的映射$\eta$是单同态。这个同态是满射，因为 $p : H \to G$ 是淹没。

令 G 为 G 的局部紧致群和 $\Gamma$ 自同构群。回想一下，拓扑 $\mathscr{T}_\beta$ 已在 $\Gamma$ 上定义（一般拓扑、章 X, § 3, no. 5）。它是最粗糙的拓扑，其中$\Gamma$进入$C_c(G; G)$的映射$v \mapsto v$和$v \mapsto v^{-1}$（G的连续映射进入G的空间与紧收敛拓扑）是连续的。 拓扑 $\mathscr{T}_\beta$ 与 $\Gamma$ 上的群结构兼容（前述）。对于 G 的每个紧凑子集 L 和 G 中$e_G$ 的每个邻域 U，令 $N(L, U)$ 为 $\phi \in \Gamma$ 的集合，使得对于所有 $g \in L$ 都有 $\phi(g) \in gU$ 和 $\phi^{-1}(g) \in gU$；那么$N(L, U)$形式是$e_\Gamma$的邻域的基本系统。如果 G 由紧致子集 C 生成，则拓扑 $\mathscr{T}_\beta$ 也是最粗糙的拓扑，其中映射 $v \mapsto v|C$ 和 $v \mapsto v^{-1}|C$ 的 $\Gamma$ 到 $C_u(C; G)$ 是连续的（对于每个紧致对于足够大 n)，G 的子集包含在$(C \cup C^{-1})^n$ 中。如果 K 是局部紧的并且 V 是 K 上的有限维向量空间，则 $\mathbf{GL}(V)$ 上的拓扑 $\mathscr{T}_\beta$ 只是通常的拓扑。

(i) 在$\mathrm{Aut}\ G$上存在且仅有一个解析流形结构满足以下条件： (AUT) 对于每个解析流形 M 和 M 到 $\mathrm{Aut}\ G$ 的每个映射 f，当且仅当 $M \times G$ 到 G 的映射 $(m, g) \mapsto f(m)g$ 是解析的。

假设在叙述的其余部分中，Aut G 有这个结构。 (ii) Aut G 是有限维李群。 (iii) 将 Aut G 的态射 $\phi : u \mapsto L(u)$ 转化为 Aut L(G) 是解析的。 (iv) 如果 G 是连通的，$\phi$ 是李群 Aut G 的同构到 Aut L(G) 的谎言子群上；如果 G 是单连通的，则该 Lie 子群等于 Aut L(G)。 (v) 设$a$为G的无穷小自同构的集合，则$a$为向量域的李代数以及与映射相关的无穷小运算的律 (Aut G) $\times$ G 的 $(u, g) \mapsto u(g)$ 到 G 中是 L(Aut G) 到 $a$ 的同构。 (vi) 李群 Aut G 的拓扑为拓扑 $\mathscr{T}_\beta$。 (a) (i) 中考虑的解析结构的唯一性是显而易见的。 (b) 假设 G 是连通的。令 H 为 G 的通用覆盖空间，$p$ H 在 G 上的规范态射，且 N = Ker $p$。我们将引理的记号$\theta$、$\eta$和Aut(H,N)引入。我们通过$\theta$将AutL(G)的迁移李群结构转换为Aut H。然后 Aut H 变成有限维李群并且 Aut(H, N) 成为 Aut H 的谎言子群 (引理 4 (ii))。我们通过 $\eta^{-1}$ 将 Aut(H, N) 迁移李群结构转换为 Aut G。那么Aut G就变成了有限维的李群。满足定理的性质 (ii)、(iii) 和 (iv)，并且 (Aut G) $\times$ G 的映射 $(u, g) \mapsto u(g)$ 到 G 中是解析的 (引理 4 (i))。设 M 是 M 到 Aut G 的解析流形、$f$ 映射以及 M $\times$ G 到 G 的 $\phi$ 映射 $(m, g) \mapsto f(m)g$。显然，如果 $f$ 是解析的，$\phi$ 是分析的。假设 $\phi$ 是解析的。则 T$\phi$: TM $\times$ TG $\to$ TG 是解析的；因此，其限制到 M $\times$ L(G)，即 M $\times$ L(G) 到 L(G) 的映射 $(m, x) \mapsto L(f(m))x$ 是解析的；由于 L(G) 是有限维的，因此 M 到 Aut L(G) 中的映射 $m \mapsto L(f(m))$ 是解析的，因此 $f$ 是解析的。因此(i)成立。

让L(G) 被赋予范数。对于所有$\lambda > 0$，令B_\lambda为L(G)中中心0、半径为$\lambda$的开球。我们选择 $\lambda > 0$ 足够小，使得 $\psi = \exp_G|_{B_\lambda}$ 成为解析流形 B_\lambda 到 G 的开子流形 $\psi(B_\lambda)$ 的同构。令 $\Phi$ 为 Aut G 上的滤波器。对于 $\Phi$ 收敛到在Aut G中$\mathrm{Id}_G$，$L(\Phi)$收敛到Aut L(G)中的$\mathrm{Id}_{L(G)}$是充分必要的，因此$L(\Phi)|_{B_{\lambda/2}}$和$L(\Phi)^{-1}|_{B_{\lambda/2}}$一致收敛到$\mathrm{Id}_{B_{\lambda/2}}$。这个条件意味着$\Phi|\psi(B_{\lambda/2})$和$\Phi^{-1}|\psi(B_{\lambda/2})$一致收敛到$\mathrm{Id}_{\psi(B_{\lambda/2})}$。相反，假设$\Phi|\psi(B_{\lambda/2})$一致收敛于$\mathrm{Id}_{\psi(B_{\lambda/2})}$。存在 M $\in \Phi$，如果$u \in M$，则$u(\psi(B_{\lambda/2})) \subset \psi(B_{2\lambda/3})$；则L(u)(B_{\lambda/2})是L(G)的连通子集，其$\exp_G$下的像包含在$\psi(B_{2\lambda/3})$中，因此L(u)(B_{\lambda/2})不满足$B_\lambda - B_{2\lambda/3}$ 因此 L(u)(B_{\lambda/2}) $\subset$ B_\lambda;那么$\Phi|\psi(B_{\lambda/2})$均匀收敛到$\mathrm{Id}_{\psi(B_{\lambda/2})}$的假设意味着$L(\Phi)|_{B_{\lambda/2}}$均匀收敛到$\mathrm{Id}_{B_{\lambda/2}}$。由此可见：

这就证明了(vi)。

设 D 为无穷小运算的律，与 G 上 Aut(G) 的左运算的律相关联。由no. 1、$D(L(\text{Aut } G)) = a$ 的命题 1 和 2。因此，a 是向量域的李代数，D 是 a 上的 $L(\text{Aut } G)$ 的态射。令$x_1$和$x_2$为$L(\text{Aut } G)$的元素，使得$D(x_1) = D(x_2)$。那么G上的运算$(\lambda, g) \mapsto (\exp \lambda x_1)g$的律和K的$(\lambda, g) \mapsto (\exp \lambda x_2)g$有相同的关联无穷小运算的律；因此，对于足够小的$|\lambda|$，$\exp \lambda x_1$和$\exp \lambda x_2$重合在e的邻域上（$§ 4$，no. 7，定理6），从而$\exp \lambda x_1 = \exp \lambda x_2$。由此可见，$x_1 = x_2$，因此 D 是 $L(\text{Aut } G)$ 的同构到 a 上。

至此，定理对于G连通而言已被完全证明。

(c) 我们转向一般情况。到假设，G由$G_0$和元素$x_1, x_2, \ldots, x_n$的有限数生成。每$u \in \text{Aut } G$离开$G_0$稳定。令 $\text{Aut}_1 G$ 为 $u \in \text{Aut } G$ 的集合，将经过商，给出 $G/G_0$ 的恒等式自同构。这是正常的子群 $\text{Aut } G$。通过证明的部分(b)，$\text{Aut } G_0$具有规范的李群结构和$G_0^n \times \text{Aut } G_0$的映射$(g_1, g_2, \ldots, g_n, u) \mapsto (ug_1, ug_2, \ldots, ug_n)$到$G_0^n$的解析性。令P为$\text{Aut } G_0$乘$G_0^n$的相应的半直积；它是有限维李群 ($§ 1$, no. 4, 命题 7)。

如果$w \in \text{Aut}_1 G$，我们写

对于 $\text{Aut}_1 G$ 中的所有 $w, w'$， 因此 $\zeta$ 是 $\text{Aut}_1 G$ 的同态到 P 中。这个同态显然是内射的。

我们证明$\zeta(\text{Aut}_1 G)$在P中是封闭的。设$\Phi$是$\text{Aut}_1 G$上的过滤器，使得$\zeta(\Phi)$收敛到P的点$((w_1, \ldots, w_n), w_0)$。然后$\Phi$逐点收敛到G的映射v到G中。显然v是群 G 的自同态。此外，v 使每个陪集模$G_0$ 稳定且$v|G_0 = w_0$。由此可见$v \in \text{Aut}_1 G$。作为$\zeta(v) = ((w_1, \ldots, w_n), w_0)$，我们已经证明$\zeta(\text{Aut}_1 G)$在P中是闭的。

(d) 在部分 (d) of 证明中，我们假设$K = \mathbf{R}$。通过$§ 8$，no. 2，定理 2，$\zeta(\text{Aut}_1 G)$是P的谎言子群。我们迁移实李群结构在$\zeta(\text{Aut}_1 G)$到$\text{Aut}_1 G$通过$\zeta^{-1}$。因此$\text{Aut}_1 G$变成有限维李群。

令 M 为 M 到 Aut_1G 的解析流形、f 映射以及 M × G 到 G 的 φ 映射 (m, g) ↦ f(m)g。我们有以下等价：

法分析 ⇔ 映射 m: ↦ (f(m))_i，其中 0 ≤ i ≤ n，是解析的 ⇔ {M 的映射 m ↦ f(m)x_i 进入 G，对于 1 ≤ i ≤ n，是解析的 和 映射 (m, g) ↦ M × G_0 到 G 的 f(m)g 是解析的 ⇔ φ 是解析的。

对于 w ∈ Aut_1G，L(w) = L(w_0)，因此 Aut_1G 的态射 w ↦ L(w) 到 Aut L(G) 是解析的。我们在(b)中看到，与G上Aut_1G的运算的律相关的无穷小运算的律是a上的L(Aut_1G)的同构。

令 C 为 G_0 生成的 G_0 的紧致子集。为了使滤波器 Φ 在 Aut_1G 上收敛到 $\mathrm{Id}_G$，Φ|(C ∪ {x_1} ∪ ... ∪ {x_n}) 和 Φ^{-1}|(C ∪ {x_1} ∪ ... ∪ {x_n}) 均匀收敛到

Id_a|(C∪{x_1}∪...∪{x_n})。

因此，Aut_1G 的拓扑是拓扑 $\mathscr{T}_\beta$。

显然，Aut_1G 在 Aut G 中以拓扑 $\mathscr{T}_\beta$ 打开。在 Aut G 李群结构上存在与此拓扑兼容，并在上面构造的 Aut_1G 结构上进行归纳（§ 8, no. 1，推论 2 到定理 1）。 李群 Aut G 具有定理的属性这一事实源自 Aut_1G 的相应的属性。

(e) 在部分 (e) of 证明中，我们假设 K = C。由(c)和§ 8, no. 2的定理2，在Aut_1G上存在实李群结构，使得z是Aut_1G的同构到P的实谎言子群上。

G 上 (Aut_1G) × G 的运算 (w, g) ↦ wg 律是实解析。令 D 为无穷小运算的关联律。通过命题 1 和 2 of no. 1，D(L(Aut_1G)) = a。

对于所有 α ∈ a，令 α_0 表示 α 到 G_0 的限制；它是 G_0 的无穷小自同构，我们认同，因为证明的部分 (b)，元素为 L(Aut G_0)。对于 1 ≤ i ≤ n，我们写

最后，我们写$f(\alpha) = ((\alpha_1, ..., \alpha_n), \alpha_0) \in L(P)$。那么 f 是 a 到 L(P) 的 C 线性映射。

另一方面，显然$L(\zeta) = f \circ D$。 因此$L(\zeta)(L(Aut_1G)) = f(a)$是L(P)的复数向量子空间。 By Proposition 2 of § 4, no. 2, $\zeta(Aut_1G)$ is a complex Lie subgroup of P and we can proceed exactly as in (d): we transport the complex Lie group structure on $\zeta(Aut_1G)$ to Aut_1G by means of $\zeta^{-1}$ and we see as in (d) that Aut_1G has the properties analogous to properties (i), (ii), (iii), (v) and (vi) of the theorem.

显然，Aut₁G 在 Aut G 中以拓扑 $\mathscr{T}_\beta$ 开路。让$w \in \mathrm{Aut}\ G$。令 $\sigma$ 为 Aut₁G 的自同构 $v \mapsto wvw^{-1}$。它是实解析的（$§ 8$、no. 1、定理 1），$L(\sigma)$是$L(\mathrm{Aut}_1 G)$的$\mathbf{R}$自同构，并且

是$a$的$\mathbf{R}$自同构。这个自同构也是$a$的自同构由$w$由结构的迁移衍生而来；由于$w$是K-解析的，我们看到$L(\sigma)$是K-线性的。因此 $\sigma$ 是 K 解析 ($§ 3$, no. 8, 命题 32)。由 $§ 1$、no. 9、命题 18，Aut G 上存在且仅有一个李 K 群结构，使得 $\mathrm{Aut}_1 G$ 是 Aut G 的开李子群。事实上，这个结构具有定理的性质，由相应的的性质得出$\mathrm{Aut}_1 G$。

映射 $u \mapsto L(u)$ 是 Aut G 的同构到 Aut $L(G)$ (定理 1) 的谎言子群上。这个同构下的Int G的像是Ad G。但是Ad G是Aut$L(G)$的恒等分量（$§ 9$，no. 8，命题30（ii））。

从而$w(x) = L(w)(x)$。因此，$w = L(w)|G$。

令$\Gamma$为$\gamma \in \mathrm{Aut}\ L(G)$的集合，使得$\gamma(G) = G$。由于 G 在 $L(G)$ 中是开紧的，因此 $\Gamma$ 是 $\mathrm{Aut}\ L(G)$ 的开子群。由上式可知，Aut G 可以用$\Gamma$、从而来识别，Aut G 上存在李群结构，由此定理 1 的性质（i）、（ii）、（iii）、（vi）是显而易见的。 性质 (v) 由no. 1 的命题 1 和 3 得出。

(c) 我们转向一般情况。由§ 7, no. 1，命题 1，存在G的开紧子群 G_0，其在(b)中考虑为型。然后 G 由 G_0 和元素 x_1, x_2, ..., x_n 的有限数生成。令 Aut_1G 为 u ∈ Aut G 的集合，使得 u(G_0) = G_0 且 u(x_iG_0) = x_iG_0（1 ≤ i ≤ n）。我们将定义与定理 1 的证明一样，部分 (c)，将 Aut G_0 的半直接乘积 P 通过 G_0^n 和 Aut_1G 的单同态 ζ 转换为 P，其像在 P 中闭合。

(d)、(e)：论证与定理 1 的证明部分 (d)、(e) 完全相同，其中 R 替换为 Q_p，并使用命题 3 代替命题 2。