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附录

运算线性表示

令 G 为 k 上的群、k 交换域、E_1、E_2、...、E_n 向量空间，以及 G 在 E_i 上的 π_i 线性表示 (1 ≤ i ≤ n)。 映射

将 G 的线性映射转化为向量空间 E_1 ⊗ ... ⊗ E_n，称为 π_1, ..., π_n 的张量积，并表示为 π_1 ⊗ ... ⊗ π_n。

令 E 为 k 上的向量空间，G 的 π 线性表示在 E 上。对于所有 g ∈ G，令 τ(g)（分别为 σ(g)、ε(g)）为代数 T(E)（分别为 S(E)、∧(E)）的唯一自同构，其中扩展 π(g)（代数、章、III, § 5, no. 2、§ 6, no. 2 和 § 7, no. 2）。那么 τ (分别为 σ, ε) 是 G 在 T(E) (分别为 S(E), ∧(E)) 上的线性表示，用 T(π) (分别为 S(π), ∧(π)) 表示。由 T^n(E)（分别为 S^n(E)、∧^n(E)）定义的 T(π)（分别为 S(π)、∧(π)）的子表示称为 π 的第 n 个张量（分别为对称、外部）幂，并表示为 T^n(π)（分别为 S(π)、∧^n(E)）。 S^n(π), ∧^n(π))。然后

（n因子）。 表示 S(π), ∧(π) 是 T(π) 的表示商，因此 S^n(π), ∧^n(π) 是 T^n(π) 的表示商。

令 g 大于 k 李代数。 g 的表示的有限数的张量积已在章 I, § 3, no. 2 中定义；它由 π_1 ⊗ ... ⊗ π_n 表示。令 E 为 k 上的向量空间以及 E 上 g 的 π 表示。对于所有 x ∈ g，令 τ'(x)（分别为 σ'(x)、ε'(x)）为代数 T(E)（分别为 S(E)、∧(E)）的唯一推导，其中扩展 π(x) (代数, 章 III, § 10, no. 9, 例 1)。那么 τ'（分别为 σ'、ε'）是 T(E)（分别为 S(E)、∧(E)）上 g 的线性表示 by 代数，loc。前述，公式 (35)，用 $T(\pi)$ 表示（分别为 $S(\pi)$、$\Lambda(\pi)$）。由$T^n(E)$（分别为$S^n(E)$、$\Lambda^n(E)$）定义的$T(\pi)$（分别为$S(\pi)$、$\Lambda(\pi)$）的子表示由$T^n(\pi)$（分别为$S^n(\pi)$、$\Lambda^n(\pi)$）表示。 表示 $T^n(\pi)$ 是$n$ 表示上的张量积与$\pi$ 相同。 表示 $S(\pi)$、$\Lambda(\pi)$ 是表示与$T(\pi)$ 的商，因此$S^n(\pi)$、$\Lambda^n(\pi)$ 是表示与$T^n(\pi)$ 的商。