§ 2. 。群向量与李群的切线

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§ 2。群向量与李群的切线

1. 合成的切线律

令X和Y为类C^r中的流形。我们知道（可微分和解析流形，R，8.1.4）X\times Y是类C^r的流形，并且映射（T（pr_1），T（pr_2）），乘积映射与规范投影的切线，是 T(X \times Y) 的类 C^{r-1} 到 T(X) \times T(Y) 的同构。\footnote{对于 r = 1，这意味着(T(pr_1), T(pr_2)) 是 T(X \times Y) 的同态到 T(X) \times T(Y)。} 这个同构与向量丛结构和基空间兼容X \times Y 并允许我们认同 T(X \times Y) 和 T(X) \times T(Y)。设a ε X，b ε Y，u ε T_a(X)，v ε T_b(Y)；上述识别允许我们将 (u, v) 视为 T_{(a, b)}(X × Y) 的元素；那么

(u, v) = (u, 0) + (0, v)

(u, 0) (resp. (0, v)) 是 u (resp. v) 的像在 X (resp. Y) 的浸没 x ↦ (x, b) (resp. y ↦ (a, y)) 到 X × Y 的切线映射下。准确地说，我们将 T_a(x) 的零元素写为 0_a。

现在设X，Y，Z为类C^r的流形和X×Y到Z的类C^r的f映射。使用上述标识，映射的切线为，将 T(X) × T(Y) 的映射类 C^{r-1} 转换为 T(Z)。对于 u Î T_a(X) 且 v Î T_b(Y)，

(1)

T(f)(u, v) = T(f)(u, 0_b) + T(f)(0_a, v),

(2)

T(f)(0_a, 0_b) = 0_{f(a, b)}.

另一方面，映射 y ↦ f(a, y) 是浸没 y ↦ (a, y) 和 f 的合成；由此可见

(3) $T(f)(0, v)$ 是 v 在映射到 $y \mapsto f(a, y)$ 的切线下的像。

同样

(4) $T(f)(u, 0)$ 是 u 在映射到 $x \mapsto f(x, b)$ 的切线下的像。

如果将 X × Y 的映射 f 代入 Z 表示为 (x, y) ↦ xy，则 uv 常用于表示元素 T(f)(u, v)，因为 u ∈ T(X)，v ∈ T(Y)。

设X为类C^r流形和m：X×X→类合成X律 C^r 于X。那么T(m)就是T(X)上类C^{r-1}合成律。称为合成与 m 的切线律。 T(X)在X上的规范投影p与律m和T(m)相容的；在其他字，

(5)

p \circ T(m) = m \circ (p \times p).

由(2)可知

(6)

T(m)(0_x, 0_y) = 0_{m(x, y)}

对于 X 中的所有 x, y；其他字、T(X)的零、截面 $x \mapsto 0_x$ 与律 m 和 T(m) 相容的。

命题 1 0A8Y

设X为类C^r流形，且X上类C^r合成m律。如果 m 是结合律（或可交换的），则 T(m) 是结合律（或可交换的）。

被以下引用 2

被以下引用推论, 命题 3

如果 m 是结合律，则 $m \circ (m \times \mathrm{Id}_X) = m \circ (\mathrm{Id}_X \times m)$ , 从而

T(m) \circ (T(m) \times \mathrm{Id}_{T(X)}) = T(m) \circ (\mathrm{Id}_{T(X)} \times T(m))

因此 $T(m)$ 是结合律。设 $s$ 为 $X \times X$ 的映射 $(x, y) \mapsto (y, x)$ 到 $X \times X$ 。如果 $m$ 是可交换的，则 $m \circ s = m$ 因此

T(m) \circ T(s) = T(m).

但是 $T(s)$ 是 $T(X) \times T(X)$ 的映射 $(u, v) \mapsto (v, u)$ 变成 $T(X) \times T(X)$ 。因此 $T(m)$ 是可交换的。

命题 2 0A8Z

令 $X$ 为类 $C^r$ 流形， $X$ 和 $e$ 上类 $C^r$ 合成 $m$ 律单位元素换 $m$ 。

被以下引用 4

被以下引用引理 1, III § 10, 推论, 命题 6, 命题 5, III § 3

(i) *向量 $0_e$ 是单位元素对应 $T(m)$ 。 (ii) * $T_e(X)$ 在 $T(m)$ 和律下稳定，合成在 $T_e(X)$ 上由 $T(m)$ 诱导为向量空间加法在 $T_e(X)$ 上。 (iii) *令 $U$ 为 $X$ 的开子集和 $U$ 的类 $C^r$ 入 $X$ 的 $\alpha$ 映射，使得对于所有 $x \in U$ ， $\alpha(x)$ 是 $x$ 在 $m$ 下的逆。那么，对于所有 $u \in T(U)$ ， $T(\alpha)u$ 是 $u$ 在 $T(m)$ 下的逆。

性质 (3) 和 (4) 表明对于所有 $u \in T(X)$ 、从而 (i) 都有 $T(m)(0_e, u) = T(m)(u, 0_e) = u$ 。对于 $T_e(X)$ 中的 $u, v$ ，

T(m)(u, v) = T(m)(u, 0_e) + T(m)(0_e, v) = u + v,

从而（二）。最后关系 $m(x, \alpha(x)) = m(\alpha(x), x) = e$ 对于所有 $x \in U$ 意味着

T(m)(u, T(\alpha)(u)) = T(m)(T(\alpha)u, u) = 0_e

对于所有 $u \in T(U)$ ，从而 (iii)。

命题 3 0A90

设 $X_1, X_2, \ldots, X_p, Y$ 为类 $C^r$ 流形， $\{1, p\}$ $i$ 整数， $m_i$ （分别为 $n$ ）类合成律 $C^r$ $X_i$ （分别为 $Y$ ）和 $u$ 映射类 $C^r$ $X_1 \times X_2 \times \cdots \times X_p$ 进入 $Y$ 。如果 $u$ 相对于指标 $i$ 变量具有分配性，则 $T(u)$ 相对于指标 $i$ 变量具有分配性。

引用了 1 · 被以下引用 1

引用了命题 1

被以下引用命题 1, III § 10

证明类似于命题 1。

2. 向量到李群的切线群

命题 4 0A91

令 $G$ 为李群。那么 $T(G)$ ，合成的律与 $G$ 的乘法相切，就是李群。 $T(G)$ 的单位元素是向量 $0_e$ 。

这是从命题 1 和 2 得出的。

命题 5 0A92

设 $G$ 和 $H$ 为 $G$ 的李群和 $f$ 态射到 $H$ 。那么 $T(f)$ 就是李群 $T(G)$ 的态射变成李群 $T(H)$ 。

我们知道 $T(f')$ 是解析的。另一方面，令 $m$ （或 $n$ ）表示 $G$ （或 $H$ ）上的乘法。然后 $f \circ m = n \circ (f \times f)$ ，从而

T(f) \circ T(m) = T(n) \circ (T(f) \times T(f)),

它表达了 $T(f)$ 是群同态这一事实。

推论 0A93

令 $G_1, \ldots, G_n$ 为李群。流形 $T(G_1 \times \cdots \times G_n)$ 到流形 $T(G_1) \times \cdots \times T(G_n)$ 的典范同构是李群同构。

$\mathrm{pr}_i$ 是 $G_1 \times \cdots \times G_n$ 的态射到 $G_i$ ，因此 $T(\mathrm{pr}_i)$ 是 $T(G_1 \times \cdots \times G_n)$ 的态射到 $T(G_i)$ 。

命题 6 0A94

令 $G$ 为李群。* (i) 规范投影 $p : T(G) \to G$ 为李群态射。 (ii) $p$ 中的核为 $T_e(G)$ 。这是 $T(G)$ 的谎言子群。李群结构在 $T_e(G)$ 上由 $T(G)$ 诱发，是完整范数空间 $T_e(G)$ 的李群结构。 (iii) 零截面 $s$ 是李群 $G$ 的同构到子群 $s(G)$ 的 $T(G)$ 上（子群我们认同与 $G$ ). (iv) *李群 $T(G)$ 是 $G$ 乘 $T_e(G)$ 的半直接乘积。

引用了 3 · 被以下引用 1

引用了命题 8, III § 1, 命题 2, 推论 2, III § 1

被以下引用推论, III § 3

断言 (i) 由 (5) 得出。考虑到命题 2 (ii)，断言 (ii) 是显而易见的。断言 (iii) 和 (iv) 由 (6) 和 § 1、命题 8 得出。

设 $u \in T(G)$ 和 $g \in G$ 。通过(3)和(4)，群 $T(G)$ 计算出的乘积 $ug, gu$ 是 $T(\delta(g^{-1}))$ 和 $T(\gamma(g))$ 下 $u$ 的像。从§ 1，推论2到命题17， $G \times T_e(G)$ 进入 $T(G)$ 的映射 $(g, u) \mapsto gu$ 是平凡的向量丛 $G \times T_e(G)$ 与基的同构空间 $G$ 到向量丛 $T(G)$ 。逆同构被称为 $T(G)$ 的*左平凡化*。通过考虑映射 $(g, u) \mapsto ug$ ， $T(G)$ 的*右平凡化*也有类似的定义。

命题 7 0A95

令 $G$ 为李群、类 $C^r$ 的 $M$ 流形和 $f$ 以及类 $C^r$ 的 $g$ 映射 $M$ 转化为 $G$ ，因此 $fg$ 就是类 $C^r$ 的映射 $M$ 转化为 $G$ 。让 $m \in M, x = f(m), y = g(m), u \in T_m(M)$ 。然后

被以下引用 2

被以下引用推论, 命题 59, III § 3

(T fg)u = T(f)u.y + x.T(g)u.

令 $m$ 为 $G$ 的乘法。然后 $fg = m \circ (f, g)$ 。现在

T(f, g)(u) = (T(f)u, T(g)u),

因此 $T(fg)u = T(f)u.T(g)u$ 。然后应用 (1) 并将 $f$ 替换为 $m$ 即可。

推论 0A96

设 $n \in \mathbf{Z}$ 。 $G$ 到 $G$ 的 $e$ 到映射 $g \mapsto g^n$ 的切线映射是 $T_e(G)$ 到 $T_e(G)$ 的映射 $x \mapsto nx$ 。

引用了 3 · 被以下引用 1

引用了命题 2, 命题 7, 命题 1

被以下引用习题 2, § 3

对于 $n \geqslant 0$ ，其后面是从命题 7 到 $n$ 的归纳。另一方面， $e$ 到映射 $g \mapsto g^{-1}$ 的切线映射是映射 $x \mapsto -x$ (no. 1，命题2)。

设G为类C^r的李群、X流形和X上G的类C^r的左运算的(g,x)\mapsto gx律。对于命题 1，我们推导出T(G)在T(X)上的类C^{r-1}的左运算的律，我们也将其表示为(u, v) \mapsto uv。将 G（分别为 X）与 T(G) 的零截面的像（分别为 T(X)）进行识别，我们可以通过 (6) 看到 T(G) 的左运算的律在 T(X) 扩展上X 上 G 左侧运算的律。对于所有 u \in T_g(G) 和 v \in T_x(X)，通过 (1)，

uv = gv + ux.

如果 g \in G 和 v \in T_x(X)，则通过 (3)，gv 是 v 在 x 到映射处的切线映射下的像将 X 映射到 X。该切线映射是 T_x(X) 到 T_{gx}(X) 的同构。尤其，

g(v + v') = gv + gv', \quad g(\lambda v) = \lambda(gv) \quad \text{for } v, v' \text{ in } T_x(X), \lambda \in K.

如果 x \in X 且 u \in T_g(G)，ux 是 u 在 g 处的切线映射下到映射 h \mapsto hx of G 到 X 的 (4) 像。因此

(u + u')x = ux + u'x, \quad (\lambda u)x = \lambda(ux) \quad \text{for } u, u' \text{ in } T_g(G), \lambda \in K.

上述可以应用于李群通过左（或右）平移对其自身进行操作的情况。 T(G) 上 T(G) 的运算的相应的律由李群 T(G) 的左（或右）平移定义。因此，公式 (7)、(8) 和 (9) 在 T(G) 中有效。

命题 8 0A97

Let G_1 and G_2 be Lie groups, X_1 and X_2 manifolds of class C^r and f_i a law of left operation of class C^r of G_i on X_i (i = 1, 2). 设\phi为G_1到G_2的态射，\psi为X_1到X_2的\phi同态。那么 T(\psi) 是 T(X_1) 到 T(X_2) 的 T(\phi) 态射。

f_2 \circ (\phi \times \psi) = \psi \circ f_1, 从而

T(f_2) \circ (T(\phi) \times T(\psi)) = T(\psi) \circ T(f_1).

设G为类C^r的李群、X流形，以及G在X上的类C^r的左运算的(g,x)\mapsto gx律。令 I 为 K 包含 0 和 \gamma: I \ 到类 C^r 的 G 映射的开子集，使得 \gamma(0) = e。让

a = T_0(\gamma)1 \in T_e(G).

设 x \in X。使用 (4)，ax 是像在 0 处向量 1 到 I 的切线映射到 \lambda \mapsto \gamma(\lambda)x 的切线下。因此 向量域 x \mapsto ax 在 X 是向量域由映射 (\lambda, x) \mapsto \gamma(\lambda)x 在可微分和解析的意义上定义流形, R, 8.4.5。

3. 群细菌案例

设(G, e, θ, m)为m的李群胚芽和定义的\Omega集合。然后 T(\Omega) 被识别为 T(G) \times T(G) 的开子集，并且 T(m) 是 $T(\Omega)$ 到 $T(G)$ 的解析映射。可以如no. 2中验证 $(T(G), 0_e, T(\theta), T(m))$ 是李群胚芽。 $G$ 和 $T(G)$ 的乘积经常写成乘法。 $T(G)$ 到 $G$ 的标准投影是李群细菌的态射。 $T_e(m)$ 到 $T_e(G)$ 的限制是 $T_e(G)$ 的向量空间加法。 $T(G)$ 的零截面是李群胚芽 $G$ 的同构到 $T(G)$ 的谎言子群胚芽，我们认同与 $G$ 。如果 $f$ 是 $G$ 的态射变成李群胚芽 $H$ ， $T(f): T(G) \to T(H)$ 就是李群胚芽的态射。

$G \times T_e(G)$ 的映射 $\phi: (g, u) \mapsto gu$ 到 $T(G)$ 是琐碎的向量丛 $G \times T_e(G)$ 与基空间 $G$ 到向量丛 $T(G)$ 的同构；因为 $\phi$ 和 $\phi^{-1}$ 是解析的，并且是向量丛态射，因此只需应用 可微分和解析流形，R，7.2.1。（no. 2的证明也可以改编。）同构 $\phi^{-1}$ 称为 $T(G)$ 的左平凡化。映射 $(g, u) \mapsto ug$ 的逆同构称为右平凡化。

令 $X$ 为类 $C^r$ 的流形和 $X$ 上 $G$ 的类 $C^r$ 的左运算块 $\psi$ 律块。那么 $T(\psi)$ 是 $T(G)$ 的类 $C^{r-1}$ 的左运算的律块，在 $T(X)$ 上延伸 $\psi$ 。如果定义了 $gx$ ，公式 (7)、(8) 和 (9) 仍然有效。如果 $I$ 是 $K$ 包含0的开子集，如果 $\gamma: I \to G$ 是类 $C^r$ 的映射，使得 $\gamma(0) = e$ 并且如果 $a = T_0(\gamma)1$ ，向量在 $X$ 上定义的域 $x \mapsto ax$ 是由映射 $(\lambda, x) \mapsto \gamma(\lambda)x$ 定义的向量域，在*可微分和解析流形* 的意义上，R，8.4.5。