§ 3. 。从李群到李代数的通道

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

§ 3。从李群到李代数的通道

1.点分布在李群上的卷积

定义 1 0A98

设 $G$ 为李群、 $g$ 和 $g'$ $G$ 的两个点，并让 $t \in T_g^{(\infty)}(G)$ $t' \in T_{g'}^{(\infty)}(G)$ 为 $G$ 上 $g$ 和 $g'$ 的两个点分布（*可微分和解析流形*，R，13.2.1）。 $t$ 和 $t'$ 的卷积乘积，用 $t * t'$ 表示，是 $G \times G$ 的映射 $(h, h') \mapsto hh'$ 下 $t \otimes t'$ 的像到 $G$ （*可微分和解析流形*，R，13.2.3).

被以下引用 3

被以下引用 § 3. 。从李群到李代数的通道, 命题 1, 命题 5

命题 1 0A99

(i) *如果 $t \in T_g^{(s)}(G)$ 和 $t' \in T_{g'}^{(s')}(G)$ ，则 $t * t' \in T_{gg'}^{(s+s')}(G)$ 。

引用了 1 · 被以下引用 2

引用了定义 1

被以下引用 § 3. 。从李群到李代数的通道, 命题 2

(ii) 如果 $t$ 或 $t$ 没有常数项，则 $t * t'$ 没有常数项。

（三） $\varepsilon_g * \varepsilon_{g'} = \varepsilon_{gg'}$ 。

(iv) 令 $t \in T_g^{(s)}(G)$ 、 $t' \in T_{g'}^{(s')}(G)$ 且令 $f$ 为类 $C^{s+s'}$ 的函数，位于 $gg'$ 的开邻域与值的 Hausdorff 多范数空间中。然后

\langle t * t', f \rangle = \langle t', h' \mapsto \langle t, h \mapsto f(hh') \rangle \rangle \\ = \langle t, h \mapsto \langle t', h' \mapsto f(hh') \rangle \rangle.

这是从可微分和解析流形、R、13.4.1、13.2.3 和 13.4.4 得出的。

假设 K = \mathbf{R} 或 \mathbf{C} 并且 G 是有限维的。则 G 是局部紧的。如果 t、t' 是点度量，则 t \* t' 的定义与积分的章 VIII, § 1 一致。稍后我们将看到，度量的卷积乘积和点分布的卷积是分布乘积的卷积的两种特殊情况，而这些分布不一定是点分布。

令 \mathscr{T}^{(\infty)}(G) 为 g \in G 的 T_g^{(\infty)}(G) 的直和（cf. 可微分和解析流形，R，13.6.1）。我们将 \mathscr{T}^{(\infty)}(G) 中的定义卷积乘积作为 \mathscr{T}^{(\infty)}(G) \times \mathscr{T}^{(\infty)}(G) 的双线性映射化为\mathscr{T}^{(\infty)}(G) 扩展定义 1 的卷积乘积。我们也用*表示它。因此，\mathscr{T}^{(\infty)}(G) 有代数结构经过 \mathscr{T}^{(s)}(G) 过滤。子代数 \mathscr{T}^{(0)}(G) = \bigoplus_{g \in G} T_g^{(0)}(G) 与 K 上的群 G 的代数 K^{(G)} 等价。

命题 2 0A9A

代数 \mathscr{T}^{(\infty)}(G) 是结合律。当且仅当 G 是可交换的时，它才是可交换的。

引用了 1 · 被以下引用 4

引用了命题 1

被以下引用命题 13, 命题 20, 命题 6, 习题 34, § 9

设 t \in \mathscr{T}^{(\infty)}(G)，t' \in \mathscr{T}^{(\infty)}(G)，t'' \in \mathscr{T}^{(\infty)}(G)。那么 t \* (t' \* t'') 是 t \otimes t' \otimes t'' 在映射 (g, g', g'') \mapsto g(g'g'') of G \times G \times G 到 G 下的像和 (t \* t') \* t'' 是像 t \otimes t' \otimes t'' 在映射 (g, g', g'') \mapsto (gg')g'' of G \times G \times G 到 G 中。因此 (t \* t') \* t'' = t \* (t' \* t'')。类似地可以看出，如果 G 是可交换的，则 t \* t' = t' \* t。如果卷积乘积是可交换的，则G可按命题1交换 (iii)。

命题 3 0A9B

如果 t \in \mathscr{T}^{(\infty)}(G) 和 g \in G，则 $\gamma(g)_* t = \varepsilon_g * t, \delta(g)_* t = t * \varepsilon_{g^{-1}}$ ，(Int g)_* t = $\varepsilon_g * t * \varepsilon_{g^{-1}}$ 。特别地， $\varepsilon_e$ 是\mathscr{T}^{(\infty)}(G)的单位元。

引用了 1 · 被以下引用 2

引用了 III § 2. 。群向量与李群的切线

被以下引用命题 14, 命题 4

考虑图表

\begin{array}{ccccc} G & \xrightarrow{\phi} & G \times G & \xrightarrow{\psi} & G \\ \end{array}

其中 $\phi$ 是映射 $h \mapsto (g, h)$ ， $\psi$ 是映射 $(h', h) \mapsto h'h$ 。然后 $\gamma(g) = \psi \circ \phi$ ，因此 $\gamma(g)_* t = \psi_*(\phi_*(t))$ 。但是 $\phi_*(t) = \varepsilon_g \otimes t$ ，因此 $\psi_*(\phi_*(t)) = \varepsilon_g * t$ 。 $\delta(g)_* t$ 的论证类似。最后，

\operatorname{Int} g = \gamma(g) \circ \delta(g)

因此 $(\operatorname{Int} g)_* = \gamma(g)_* \circ \delta(g)_*$ 。

因此可以看出，对于 $t \in T(G)$ ， $\varepsilon_g * t$ 和 $t * \varepsilon_g$ 等于群 T(G) (§ 2, no. 2)中计算的 $gt$ 和 $tg$ 。但需要注意的是，对于T(G)中的 $t, t'$ ，§ 2意义上的乘积 $tt'$ 总体上与 $t * t'$ 不同。

定义 2 0A9C

令 G 为李群。 e 中包含支持的分布的 $\mathscr{T}^{(\infty)}(G)$ 由……组成的子代数表示为 $U(G)$ 。

被以下引用 1

被以下引用 IX § 8. 。傅里叶变换

此代数已被子空间过滤

U_s(G) = U(G) \cap \mathscr{T}^{(s)}(G) = T_e^{(s)}(G).

我们写

U^+(G) = T_e^{(\infty)+}(G)

，

U_s^+(G) = U^+(G) \cap U_s(G)

（cf.可微分和解析流形，R，13.2.1）。回想一下，

U_0(G)

用 K 标识，

U_1^+(G)

用切线空间

T_e(G)

标识。在

U(G)

中，

U^+(G)

是

U_0(G)

的双面理想补充。

例 0A9D

令 E 为完全可范化空间，视为李群。然后向量空间 $U(E)$ 被规范地标识为向量空间 TS(E)（可微分和解析流形，R，13.2.4）。令 E 上的 $m : E \times E \to E$ 为加法，则

m_* : TS(E \times E) \to TS(E)

等于 TS(m)（可微分和解析流形，R，13.2.4）。对于

U(E) = TS(E)

中的

t, t'

，

m_*

下的对称张量积

t \otimes t'

的像

t * t'

因此为TS(m)(

t \otimes t'

)。到代数、章 IV, § 5, no. 6、命题 7，这个像只是代数 TS(E) 中的乘积

tt'

。因此代数

U(E)

被识别为代数TS(E)。

引用了 1

引用了命题 7, A IV § 5

命题 4 0A9E

考虑 $U(G) \otimes K^{(G)}$ 到 $\mathscr{T}^{(\infty)}(G)$ 的双线性映射 $(u, v) \mapsto u * v$ （分别为 $(u, v) \mapsto v * u$ ）。 $U(G) \otimes K^{(G)}$ 到 $\mathscr{T}^{(\infty)}(G)$ 的相应的线性映射是向量空间同构。

引用了 1

引用了命题 3

$K^{(G)}$ 是 $x \in G$ 的 $K_{e_x}$ 的直和。另一方面，映射 $u \mapsto u * \varepsilon_g$ （或 $u \mapsto \varepsilon_g * u$ ）是向量空间 $U(G) = \mathscr{T}_e^{(\infty)}(G)$ 到向量空间 $\mathscr{T}_g^{(\infty)}(G)$ 乘命题3的同构。最后， $\mathscr{T}^{(\infty)}(G)$ 是 $T_g^{(\infty)}(G)$ 的直和为 $g \in G$ 。

设X为类 $C^r$ ( $r \geq \infty$ )和 $x \in X$ 中的流形。我们定义了（可微分和解析流形，R，13.3.1）对关联分级向量空间的向量空间 $\mathscr{T}_x^{(\infty)}(X)$ 和典范同构 $i_{X,x}$ 到分级向量空间的规范过滤TS(T_x(X))。特别是令 $T_e(G) = L$ ；那么 $i_{G,e}$ 是分级向量空间 gr U(G) 的同构到分级向量空间 TS(L) 上。但 U(G) 是经过过滤的代数，从中我们可以得到 gr U(G) 上的分级代数结构。

命题 5 0A9F

同构 $i_{G,e} : \mathrm{gr}\ U(G) \to \mathrm{TS}(L)$ 是代数同构。

引用了 3 · 被以下引用 1

引用了定义 1, 命题 7, A IV § 5, 命题 2, III § 2

被以下引用命题 58

设 $p$ 为 $U(G) \times U(G)$ 的映射 $(t, t') \mapsto t \otimes t'$ 到 $U(G \times G)$ 。令c为 $U(G) \times U(G)$ 到 $U(G)$ 的映射 $(t, t') \mapsto t * t'$ 。设m为G中 $G \times G$ 的映射 $(g, g') \mapsto gg'$ ，然后乘以定义1

c = m_* \circ p.

考虑图表

\begin{array}{ccc} \mathrm{gr}\,\mathrm{U}(G) \times \mathrm{gr}\,\mathrm{U}(G) & \xrightarrow{\mathrm{gr}(p)} & \mathrm{gr}\,\mathrm{U}(G \times G) \\ \downarrow i_{G,e} \times i_{G,e} & & \downarrow i_{G \times G,e} \\ \mathrm{TS}(L) \times \mathrm{TS}(L) & \xrightarrow{q} & \mathrm{TS}(L \times L) \\ & & \xrightarrow{\mathrm{TS}(T(m))} \mathrm{TS}(L) \end{array}

其中

q

是从

\mathrm{TS}(L) \times \mathrm{TS}(L)

的典范同构派生到

\mathrm{TS}(L \times L)

的映射。由*可微分和解析流形*，R，13.4.6和13.3.5，图表的两个平方是可交换的。因此由 (1) 图表

\begin{array}{ccc} \mathrm{gr}\,\mathrm{U}(G) \times \mathrm{gr}\,\mathrm{U}(G) & \xrightarrow{\mathrm{gr}(c)} & \mathrm{gr}\,\mathrm{U}(G) \\ \downarrow i_{G,e} \times i_{G,e} & & \downarrow i_{G,e} \\ \mathrm{TS}(L) \times \mathrm{TS}(L) & \xrightarrow{\mathrm{TS}(T(m)) \circ q} & \mathrm{TS}(L) \end{array}

是可交换的。现在

T(m): L \times L \to L

映射

(x, y)

到

x + y

（§ 2, no. 1，命题2（ii））。通过*代数*，章IV, § 5, no. 6，命题7，

\mathrm{TS}(T(m)) \circ q

因此是代数

\mathrm{TS}(L)

的乘法。

2. 功能特性

命题 6 0A9G

令 $G, H$ 为李群，并将 $G$ 的 $\phi$ 态射代入 $H$ 。对于 $\mathscr{T}^{(\infty)}(G)$ 、 $\phi_*(t * t') = \phi_*(t) * \phi_*(t')$ 中的 $t, t'$ 。

引用了 1 · 被以下引用 3

引用了命题 2

被以下引用命题 12, 命题 15, 命题 7

考虑图表

\begin{array}{ccc} G \times G & \xrightarrow{m} & G \\ \phi \times \phi \downarrow & & \downarrow \phi \\ H \times H & \xrightarrow{n} & H \end{array}

其中

m(g, g') = gg'

，

n(h, h') = hh'

。这个图表是可交换的。因此

\begin{align*} \phi_*(t * t') &= \phi_*(m_*(t \otimes t')) = n_*((\phi \times \phi)_*(t \otimes t')) \\ &= n_*(\phi_*(t) \otimes \phi_*(t')) = \phi_*(t) * \phi_*(t'). \end{align*}

李群 $G$ 和 $G^\vee$ 具有相同的底层流形，因此向量空间 $\mathscr{T}^{(\infty)}(G)$ 和 $\mathscr{T}^{(\infty)}(G^\vee)$ 是相同的。令 $\theta$ 为映射 $g \mapsto g^{-1}$ ，即李群 $G$ 到李群 $G^\vee$ 的同构。那么 $\theta^*$ 就是向量空间 $\mathscr{T}^{(\infty)}(G)$ 的自同构，自同构我们用 $t \mapsto t^\vee$ 表示。然后 $(\varepsilon_g)^\vee = \varepsilon_{g^{-1}}$ 。如果 $t \in T_e(G)$ ，那么

t^\vee = -t \quad (§ 2, \text{Proposition 2}).

例 0A9H

假设 $G$ 是由完全可范化空间 $E$ 定义的李群。然后， $\mathrm{U}(G)$ 用 $\mathrm{TS}(E)$ 标识，限制 $\theta_*$ 到 $\mathrm{U}(G)$ 用 $\mathrm{TS}(T_e(\theta))$ 标识（*可微分和解析流形*，R，13.2.4）。因此，如果 $t \in \mathrm{TS}^s(E)$ ，则 $t^\vee = (-1)^s t$ 。

命题 7 0A9I

令 G 为李群。令 t, t' 位于 $\mathscr{T}^{(\infty)}(G)$ 中。

引用了 1 · 被以下引用 2

引用了命题 6

被以下引用命题 25, 命题 57

(i) 相对于 $G^\vee$ 计算的乘积 $t * t'$ 等于相对于G计算的乘积 $t' * t$ 。

(ii) $(t * t')^\vee = {t'}^\vee * t^\vee$ 。

考虑图表

\begin{array}{ccc} (G_1 \times G_2) \times (G_1 \times G_2) & \xrightarrow{m} & G_1 \times G_2 \\ \downarrow n & & \uparrow p_1 \times p_2 \\ (G_1 \times G_1) \times (G_2 \times G_2) \end{array}

其中 $s(g, g') = (g', g)$ 、 $m(g, g') = gg'$ 、 $n(g, g') = g'g$ 对于 G 中的所有 $g, g'$ 。这个图表是可交换的。因此 $n_*(t \otimes t') = m_*(s_*(t \otimes t')) = m_*(t' \otimes t)$ 。这个等式正是(i)。断言 (ii) 由 (i) 和命题 6 得出。

命题 8 0A9J

设G、H为G到H的李群和 $\phi$ 态射。如果 $t \in \mathscr{T}^{(\infty)}(G)$ ，则 $\phi_*(t^\vee) = (\phi_*(t))^\vee$ 。

Let $\theta$ (resp. $\theta'$ ) be the mapping $g \mapsto g^{-1}$ of G into G (resp. of H into H). 然后 $\phi \circ \theta = \theta' \circ \phi$ ，从而 $\phi_*(\theta_*(t)) = \theta'_*(\phi_*(t))$ 。

命题 9 0A9K

设 $G_1, \ldots, G_n$ 为李群和 $G = G_1 \times \cdots \times G_n$ 。如果向量空间 $\mathscr{T}^{(\infty)}(G)$ 和 $\mathscr{T}^{(\infty)}(G_1) \otimes \cdots \otimes \mathscr{T}^{(\infty)}(G_n)$ 被规范地识别，则代数 $\mathscr{T}^{(\infty)}(G)$ 是代数 $\mathscr{T}^{(\infty)}(G_1), \ldots, \mathscr{T}^{(\infty)}(G_n)$ 中的张量积。如果 $t_i \in \mathscr{T}^{(\infty)}(G_i)$ 对应 $i = 1, \ldots, n$ ，则

(t_1 \otimes \cdots \otimes t_n)^\vee = t_1^\vee \otimes \cdots \otimes t_n^\vee.

考虑 $n = 2$ 的情况就足够了。令 $t_1, t_1'$ 在 $\mathscr{T}^{(\infty)}(G_1)$ 中， $t_2, t_2'$ 在 $\mathscr{T}^{(\infty)}(G_2)$ 中。我们需要证明 $(t_1 \otimes t_2) * (t_1' \otimes t_2') = (t_1 * t_1') \otimes (t_2 * t_2')$ 和 $(t_1 \otimes t_2)^\vee = t_1^\vee \otimes t_2^\vee$ 。考虑图表

\begin{array}{ccc} G \times G & \xrightarrow{s} & G \times G \\ \downarrow n & & \downarrow m \\ G & & G \end{array}

其中 $m((x_1, x_2), (x_1', x_2')) = (x_1 x_1', x_2 x_2')$ ，

n((x_1, x_2), (x_1', x_2')) = ((x_1, x_1'), (x_2, x_2')),

$p_1(x_1, x_1') = x_1 x_1'$ ， $p_2(x_2, x_2') = x_2 x_2'$ 。这个图表是可交换的。因此

m_*((t_1 \otimes t_2) \otimes (t_1' \otimes t_2')) = (p_1 \otimes p_2)_*(n_*((t_1 \otimes t_2) \otimes (t_1' \otimes t_2'))),

那是

\begin{align*} (t_1 \otimes t_2) * (t_1' \otimes t_2') &= (p_1 \otimes p_2)_*((t_1 \otimes t_1') \otimes (t_2 \otimes t_2')) \\ &= p_1*(t_1 \otimes t_1') \otimes p_2*(t_2 \otimes t_2') \\ &= (t_1 * t_1') \otimes (t_2 * t_2'). \end{align*}

类似地可以看出 $(t_1 \otimes t_2)^\vee = t_1^\vee \otimes t_2^\vee$ 。

命题 10 0A9L

设 H 是 G 的谎言子群和 $i : H \to G$ 典范嵌入。那么对于所有 $t \in \mathscr{T}^{(\infty)}(H)$ ， $i_*$ 就是代数 $\mathscr{T}^{(\infty)}(H)$ 的单同态到代数 $\mathscr{T}^{(\infty)}(H)$ 和 $i_*(t^\vee) = (i_*(t))^\vee$ 。

被以下引用 1

被以下引用注

这是从命题 6 和 8 以及可微分和解析流形，R，13.2.3 得出的。

$\mathscr{T}^{(\infty)}(H)$ 通过命题10的同构与 $\mathscr{T}^{(\infty)}(G)$ 的子代数进行识别。

注 0A9M

如果 H 是李准子群，命题 10 仍然有效。

我们回想一下（可微分和解析流形，R，13.5.1），如果V是K上的解析流形，则 $\mathscr{T}^{(\infty)}(V)$ 在K上具有规范的余代数结构和余单位；余单位是 $\mathscr{T}^{(\infty)}(G)$ 的线性映射到 K 中，它与 $T_x^{(\infty)}(V)$ 的每个元素其常数项相关联。

引用了 1

引用了命题 10

命题 11 0A9N

令 G 为李群。 (i) 余代数 $\mathscr{T}^{(\infty)}(G)$ ，通过卷积，是一个大数 (代数, 章 III, § 11, no. 4)。 (ii) 令 c 为 $\mathscr{T}^{(\infty)}(G)$ 上的余积。设 $t \in \mathscr{T}^{(\infty)}(G)$ 并写

c(t) = \sum_{i=1}^n t_i \otimes t_i'.

然后

c(t^\vee) = \sum_{i=1}^n t_i^\vee \otimes t_{i'}^\vee

。

引用了 1

引用了 A III § 11. 。余代数、乘积多重线性形式、内部乘积和对偶

我们证明（i）。在提到的bigebra的定义中，条件（1）从命题2和3得出，条件（2）从可微分和解析流形，R，13.5.1得出。令d为G到 $G \times G$ 的映射 $g \mapsto (g, g)$ 。那么 $c = d_*$ ，因此 c 是代数态射（命题 6 和 9），即条件 (3)。令 $t \in T_g^{(\infty)}(G)$ 、 $t' \in T_{g'}^{(\infty)}(G)$ 没有常数项且 $\lambda, \lambda'$ 为K的元素；则 $\varepsilon_g \otimes t', t \otimes \varepsilon_{g'}, t \otimes t'$ 没有常数项（可微且解析流形，R，13.4.1），因此 $(\lambda \varepsilon_g + t) * (\lambda' \varepsilon_{g'} + t')$ 的常数项为 $\lambda \lambda'$ ；因此条件 (4) 成立。

我们证明(ii)。到命题 8 和 9 时，

c(t^\vee) = d_*(t^\vee) = (d_*(t))^\vee = \left( \sum_{i=1}^n t_i \otimes t_i' \right)^\vee = \sum_{i=1}^n t_{i'}^\vee \otimes t_{i'}^\vee.

命题 12 0A9O

设G，H是G到H的两个李群和 $\phi$ 态射。则 $\phi_*$ 是 $\mathscr{T}^{(\infty)}(G)$ 到 $\mathscr{T}^{(\infty)}(H)$ 的大数态射。

引用了 1

引用了命题 6

这是从命题 6 和可微分与解析流形, R, 13.5.1 得出的。

令 G 为李群。卷积的限制和U(G)上的余积定义U(G)上的大数结构。我们有 U(G)^{\vee} = U(G)。若 $\phi : G \to H$ 为李群态射，我们将U(G)的U( $\phi$ )映射 $t \mapsto \phi_*(t)$ 表示为U(H)；这是一个大胸罩态射。如果 $\psi : H \to L$ 是另一个李群态射，则 U( $\psi \circ \phi$ ) = U( $\psi$ ) \circ U( $\phi$ )。如果 $\phi$ 是浸没（或浸没），则 U( $\phi$ ) 是通过 可微分和解析流形 的单射（或满射），R, 13.2.3。特别是，如果 H 是 G 的谎言子群，则 U(H) 可以用 U(G) 的子代数来识别，U(H) 上的余积是 U(G) 上余积的限制。如果 H 在 G 中开集，则 U(H) = U(G)。如果G_1，G_2是李群，则U(G_1 \times G_2)等于U(G_1) \times U(G_2)。 U(G) 的原语元素是 T_e(G) 的原语元素 (可微分和解析流形, R, 13.5.3)。

再次令 $\phi : G \to H$ 为李群态射。如果 gr U(G) 被识别为 TS(T_e(G)) 并且 gr U(H) 被识别为 TS(T_e(H))，那么 gr U( $\phi$ ) 被识别为 TS(T_e( $\phi$ )) (可微分和解析流形, R, 13.3.5)。我们将其应用于 G 的同构 $g \mapsto g^{-1}$ 到 G^{\vee} 上；那么 T_e( $\phi$ ) = -1 因此

t \in U_s(G) \Rightarrow t^{\vee} \equiv (-1)^s t \mod U_{s-1}(G).

3. 群在流形上运行的情况

令G为类C^r的李群、X流形以及X上G的类C^r的左运算的f律。如果 $t \in T^{(s)}_g(G)$ 和 $u \in T^{(s')}_x(X)$ 和 $s + s' \leq r$ ，我们用 $f_*$ 下的 $t \otimes u$ 的 $t * u$ 像来表示。我们将扩展乘积 \* 转换为 $\mathscr{T}^{(s)}(G) + \mathscr{T}^{(s')}(X)$ 的双线性映射（也用 * 表示）到 $\mathscr{T}^{(s+s')}(X)$ 。命题 1 of no. 1 可以通过对当前情况进行明显修改来扩展。

当G通过左平移对自身进行操作时，我们恢复no. 1的定义1。

命题 13 0A9P

令 $t \in \mathscr{T}^{(s)}(G)$ , $t' \in \mathscr{T}^{(s')}(G)$ , $u \in \mathscr{T}^{(s'')}(X)$ , 使得

s + s' + s'' \leq r.

引用了 1 · 被以下引用 1

引用了命题 2

被以下引用 § 3. 。从李群到李代数的通道

然后 $(t * t') * u = t * (t' * u)$ 。

这可以证明为命题 2 of no. 1。

特别是，如果 $r \leq \infty$ 、向量空间 $\mathscr{T}^{(\infty)}(X)$ 是左模超过代数 $\mathscr{T}^{(\infty)}(G)$ 且乘积*。

命题 14 0A9Q

(i) 设 $g_0 \in G$ 和 $\tau(g_0)$ 为X的映射 $x \mapsto f(g_0, x)$ 到X。如果 $u \in \mathscr{T}^{(r)}(X)$ ，则 $\tau(g_0)*u = \varepsilon_{g_0}*u$ 。

引用了 2 · 被以下引用 4

引用了命题 3, III § 2. 。群向量与李群的切线

被以下引用 § 3. 。从李群到李代数的通道, 定义 3, 命题 22, 命题 38

(ii) 设 $x_0 \in X$ 和 $\varrho(x_0)$ 为G到X的映射 $g \mapsto f(g, x_0)$ 。如果 $t \in T^{(r)}(G)$ ，则 $\varrho(x_0)*t = t*\varepsilon_{x_0}$ 。

这可以证明为命题 3 of no. 1。

特别地，如果 $u \in T(X)$ 和 $t \in T(G)$ ，则 $\varepsilon_{g_0} * u$ 和 $t * \varepsilon_{x_0}$ 等于§ 2, no. 2中定义的乘积、 $g_0u$ 和 $tx_0$ 。

命题 15 0A9R

设 G（分别为 G'）为李群和 X（分别为 X'）流形或类 C^r。假设给定X（或X'）上G（或G'）的类 C^r 的左运算的律。令 $\phi$ 是G到G'的态射， $\psi$ 是X到X'的 $\phi$ 态射。设 $t \in \mathscr{T}^{(s)}(G)$ 、 $u \in T^{(s')}(X)$ 使得 $s + s' \leq r$ 。然后

\psi_*(t * u) = \phi_*(t) * \psi_*(u).

这可以证明为命题 6 of no. 2。

引用了 1 · 被以下引用 2

引用了命题 6

被以下引用 § 3. 。从李群到李代数的通道, 命题 21

注 0A9S

令f为X上G的类C^r的右运算的律。如果 $t \in \mathscr{T}^{(s)}(G)$ 和 $u \in \mathscr{T}^{(s')}(X)$ ，以及 $s + s' \leq r$ ，我们用 $f_*$ 下的 $u \otimes t$ 的 $u * t$ 像来表示。命题 13, 14, 15 以明显的方式回顾这种情况。

命题 16 0A9T

令 G、G' 为李群、X 流形或类 C^r，并假设 G（或 G'）在左侧（或右侧）的 X 上运行，对所有 $x \in X, g \in G, g' \in G'$ 使用 $(gx)g' = g(xg')$ 。让 $t \in \mathscr{T}^{(s)}(G)$ ， $t' \in \mathscr{T}^{(s')}(G')$ ， $t'' \in T^{(s'')}(X)$ ，还有 $s + s' + s'' \leq r$ 。然后

(t * t'') * t' = t * (t'' * t').

(t * t'') * t'

（或

t * (t'' * t')

）是

t \otimes t'' \otimes t'

的像在映射

(g, x, g') \mapsto (gx)g'

（或

g(xg')

）下的

G \times X \times G'

到X。

4.点分布和函数的卷积

令G为X上类C^r的李群、X流形以及G的类C^r的左运算的 $(g, x) \mapsto gx$ 律。对于所有 $x \in X$ ，令 $\varrho(x)$ 表示 x 的轨道映射。

定义 3 0A9U

让 $t \in \mathscr{T}^{(s)}(G)$ 与 $s \leq r$ 。令 $f : X \to F$ 为类 C^r 的函数，其中值在豪斯多夫多项式空间中（对于例 $F = \mathbf{K}$ ）。 t 和 f 的卷积（用 $t * f$ 表示）是 X 上的函数，F 中的值定义为

(t * f)(x) = \langle t^\vee * \varepsilon_x, f \rangle.

然后

\begin{align*} (t * f)(x) &= \langle \varrho(x)_*(t^\vee), f \rangle \quad \text{(no. 3, Proposition 14 (ii))} \\ &= \langle t^\vee, f \circ \varrho(x) \rangle \quad \text{(Diff. \& Anal. Man., R, 13.2.3)} \\ &= \langle t, (f \circ \varrho(x))^\vee \rangle \quad \text{(Diff. \& Anal. Man., R, 13.2.3)}. \end{align*}

注定义 3 也可以写成更对称的形式

\langle \varepsilon_x, t * f \rangle = \langle t^\vee * \varepsilon_x, f \rangle.

函数

(g, x) \mapsto f(gx) = (f \circ \varrho(x))(g)

在

G \times X

上是类C^r。通过可微分和解析，流形，R，13.4.4，如果

s < \infty

，则函数

x \mapsto \langle t^\vee, f \circ \varrho(x) \rangle

因此为类

C^{r-s}

。在其他字中，如果

s < \infty

，则

t * f

是类

C^{r-s}

。

引用了 1

引用了命题 14

显然 $t * f$ 线性依赖于 $t$ 和 $f$ 。

公式 (4) 特别意味着，对于 $g \in G$ ，

(\varepsilon_g * f)(x) = f(g^{-1}x)

那就是

\varepsilon_g * f = \gamma(g)f.

假设 $K = \mathbf{R}$ 或 $\mathbf{C}$ ， $G$ 和 $X$ 是有限维的，并且 $X$ 在 $G$ 下具有正测度不变量。 $\varepsilon_g * f$ 的定义与积分的章VIII, § 4, no. 1一致（cf.公式（2），前述）。

命题 17 0A9V

让类 $C^r$ 中的 $t \in \mathscr{T}^{(s)}(G)$ 、 $t' \in \mathscr{T}^{(s')}(X)$ 和 $f : X \to F$ 函数与 $s + s' \leq r$ 。然后

\langle t', t * f \rangle = \langle t^\vee * t', f \rangle.

\begin{align*} \langle t', t * f \rangle &= \langle t', x \mapsto \langle t, g \mapsto f(g^{-1}x) \rangle \rangle \quad \text{by (4)} \\ &= \langle t \otimes t', (g, x) \mapsto f(g^{-1}x) \rangle \quad (\text{Diff. \& Anal. Man., R, 13.4.4}) \\ &= \langle t^\vee \otimes t', (g, x) \mapsto f(gx) \rangle \quad (\text{Diff. \& Anal. Man., R, 13.2.3}) \\ &= \langle t^\vee * t', f \rangle. \end{align*}

被以下引用 2

被以下引用命题 18, 命题 20

命题 18 0A9W

设类 $C^r$ 中的 $t \in \mathscr{T}^{(s)}(G)$ 、 $t' \in \mathscr{T}^{(s')}(G)$ 和 $f : X \to F$ 函数，以及 $s + s' \leq r$ 。然后

(t * t') * f = t * (t' * f).

对于所有

x \in X

，

\begin{align*} \langle \varepsilon_x, (t * t') * f \rangle &= \langle ((t * t')^\vee * \varepsilon_x), f \rangle \quad \text{by (5)} \\ &= \langle {t'}^\vee * (t^\vee * \varepsilon_x), f \rangle \quad (\text{Propositions 2 and 7}) \\ &= \langle t^\vee * \varepsilon_x, t' * f \rangle \quad (\text{Proposition 17}) \\ &= \langle \varepsilon_x, t * (t' * f) \rangle \quad (\text{Proposition 17}). \end{align*}

引用了 1 · 被以下引用 1

引用了命题 17

被以下引用 § 3. 。从李群到李代数的通道

如果 $r \geq \infty$ ，我们看到 $X$ 上的类 $C^\infty$ 函数的集合和 $F$ 中的值是左模超过代数 $\mathscr{T}^{(\infty)}(G)$ 。

命题 19 0A9X

让 $t \in \mathscr{T}^{(s)}(G)$ ，与 $s \leq r$ 。令 $f$ （分别为 $f'$ ）为 $X$ 上的类 $C^r$ 的函数，其中值在 Hausdorff 多范数空间 $F$ （分别为 $F'$ ）中。令 $(u, u') \mapsto uu'$ 为 $F \times F'$ 的连续双线性映射为 Hausdorff 多范数空间 $F''$ ，因此 $ff'$ 为 $X$ 上类 $C^r$ 的函数，其中值在 $F''$ 。让

\sum_{i=1}^n t_i \otimes t'_i \text{ be the image of } t \text{ in } \mathscr{T}^{(s)}(G) \otimes \mathscr{T}^{(s)}(G) \text{ under the coproduct. Then}

t * (ff') = \sum_{i=1}^n (t_i * f)(t'_i * f').

让 $x \in X$ 和 $\rho(x)$ 表示 $x$ 的轨道映射。然后

\langle \varepsilon_x, t * (ff') \rangle = \langle t^\vee, (ff') \circ \rho(x) \rangle \quad \text{by (4)} \\ = \langle t^\vee, (f \circ \rho(x))(f' \circ \rho(x)) \rangle \\ = \sum_{i=1}^n \langle t_i^\vee, f \circ \rho(x) \rangle \langle t_{i'}^\vee, f' \circ \rho(x) \rangle \tag{Diff. \& Man. Anal., R, 13.5.2} \\ = \sum_{i=1}^n \langle \varepsilon_x, t_i * f \rangle \langle \varepsilon_x, t_i' * f' \rangle \quad \text{by (4).}

注 1 0A9Y

令G为X上G的类 $C^r$ 的李群、X流形和 $(x, g) \mapsto xg$ 律以及类 $C^r$ 的右运算。如果 $t \in \mathscr{T}^{(s)}(G)$ 与 $s \leq r$ 和 $f : X \to F$ 是X上类 $C^r$ 的函数，我们用X上的 $f * t$ 函数表示，定义为

\langle \varepsilon_x, f * t \rangle = \langle \varepsilon_x * t^\vee, f \rangle \\ = \langle \rho(x) * (t^\vee), f \rangle \\ = \langle t^\vee, f \circ \rho(x) \rangle \\ = \langle t, (f \circ \rho(x))^\vee \rangle.

特别是

(f * \varepsilon_g)(x) = f(xg^{-1})

那就是

f * \varepsilon_g = \delta(g)^{-1} f.

命题 17, 18, 19 显然变成了记号，

\langle t', f * t \rangle = \langle t' * t^\vee, f \rangle \tag{11}

f * (t * t') = (f * t) * t' \tag{12}

(ff') * t = \sum_{i=1}^n (f * t_i)(f' * t_i') \tag{13}

命题 20 0A9Z

设 G、G' 为类 $C^r$ 的李群、X 流形以及类的左（或右）运算 $(g, x) \mapsto gx$ （分别 $(x, g') \mapsto xg'$ ）律 G（或 G'）在 X 上的 $C^r$ 。假设 $(gx)g' = g(xg')$ 代表所有 $x \in X, g \in G, g' \in G'$ 。令 $t \in \mathscr{T}^{(s)}(G)$ 、 $t' \in \mathscr{T}^{(s')}(G')$ 和 $f : X \to F$ 为类 $C^r$ 中的函数，使得 $s + s' \leq r$ 。然后*

(t * f) * t' = t * (f * t').

对于所有

x \in X

，

\langle \varepsilon_x, (t * f) * t' \rangle = \langle \varepsilon_x * {t'}^\vee, t * f \rangle \quad \text{by (8)} \\ = \langle t^\vee * (\varepsilon_x * {t'}^\vee), f \rangle \quad \text{(Proposition 17)} \\ = \langle t^\vee * \varepsilon_x, f * t' \rangle \quad \text{(Proposition 2 and (11))} \\ = \langle \varepsilon_x, t * (f * t') \rangle \quad \text{by (5).}

引用了 2 · 被以下引用 1

引用了命题 17, 命题 2

被以下引用命题 23

特别是，将 G 视为通过左平移和右平移对其自身进行操作。如果 $f : G \to F$ 是G上类 $C^r$ 的函数并且 $t \in \mathscr{T}^{(s)}(G)$ （与 $s \leq r$ ）， $t * f$ 和 $f * t$ ，如果 $s < \infty$ ，类 $C^{r-s}$ 的函数在G.进一步，令 $t' \in \mathscr{T}^{(s')}(G)$ ，与 $s + s' \leq r$ 。然后

(t * f) * t' = t * (f * t').

特别是，

\mathscr{C}^\infty(G)

是

(\mathscr{T}^{(\infty)}(G), \mathscr{T}^{(\infty)}(G))

双模。公式 (5) 和 (8) 承认为特殊情况

\langle t, f \rangle = \langle \varepsilon_e, t^\vee * f \rangle = \langle \varepsilon_e, f * t^\vee \rangle.

注 2 0AA0

令 $(g, x) \mapsto gx$ 为X上G的类 $C^r$ 的左运算的律。设 $t \in U_s(G)$ 与 $s \leq r$ 、 $\Omega$ 为X的开子集以及类 $C^r$ 的 $f : \Omega \to F$ 函数。 $t * f$ 也可以由公式(4)或(5)定义；它是在 $\Omega$ 上定义的函数，F 中的值，如果 $s < \infty$ ，则为类 $C^{r-s}$ 。这个结果没有。扩展以明显的方式应对这种情况。

5. 点的域分布由群的作用在流形上定义

令 $(g, x) \mapsto \lambda(g, x) = gx$ 为X上G的类 $C^r$ 的左运算的律。设 $s \leq r$ 和 $t \in U_s(G)$ 。对于所有 $x \in X$ ， $t * \varepsilon_x \in T^{(s)}_x(X)$ 。映射 $x \mapsto t * \varepsilon_x$ 称为点分布的域，由 X 上的 G 的 t 和作用定义，并用 $D_t^\lambda$ 或简称为 $D_t$ 表示有时。令 $\Omega$ 为 X 的开子集，且 F 为 Hausdorff 多范数空间。如果 $f : \Omega \to F$ 是类 $C^r$ 和 $s \leq r$ ，则 $\Omega$ 上的函数 $t^\vee * f$ 也用 $D_t f$ 表示。然后

(D_t f)(x) = \langle t * \varepsilon_x, f \rangle.

如果

s < \infty

，则

D_t f \in \mathscr{C}^{r-s}(\Omega, F)

乘以no. 4。因此，

f \mapsto D_t f

是

\mathscr{C}^r(\Omega, F)

的映射变成

\mathscr{C}^{r-s}(\Omega, F)

（通常通过滥用记号来表示为

D_t

）。如果

t \in U_s(G)

、

t' \in U_{s'}(G)

和

s + s' \leq r

，则通过no. 4的命题 18，

D_{t*t'} = D_{t'}(D_t f)

因此，使用上面指出的记号的滥用，

D_{t*t'} = D_{t'} \circ D_t.

假设 G 和 X 是有限维的。将

T^{(s)}(G) \times X

的映射

(t, x) \mapsto t \otimes \varepsilon_x

转化为向量丛

T^{(s)}(G \times X)

（cf.可微分和解析流形，R，13.2.5）是类

C^{r-s}

。因此（可微分和解析流形，R，13.2.5）

T^{(s)}(G) \times X

的映射

(t, x) \mapsto t * \varepsilon_x

到向量丛

T^{(s)}(X)

是类

C^{r-s}

。特别是，

D_t

是阶

\leq s

和类

C^{r-s}

在可微分和解析流形，R，14.1.6意义上的微分算子。通过公式 (16)，函数

D_t f

则在此微分算子下是

f

的像（可微和解析流形，R，14.1.4）。

我们现在不再假设 G 和 X 是有限维的。令 $\psi$ 为 X 上流形 X 的自同构和点分布的 $\Delta$ 域。与一般的定义一致， $\psi$ 下 $\Delta$ 的变换是X上点分布的域，其 $\psi(x)$ 下的值是 $\psi_*(\Delta(x))$ ；我们用 $\psi(\Delta)$ 表示这个映射。如果 $g \in G$ 和 $\tau(g)$ 表示X的自同构 $x \mapsto gx$ ，则 $\tau(g)$ 下的 $\Delta$ 的变换也称为g下的 $\Delta$ 的变换。

命题 21 0AA1

设 $\psi$ 为X与G的运算通勤的自同构，则 $D_t$ 在 $\psi$ 下不变。

引用了 1 · 被以下引用 2

引用了命题 15

被以下引用命题 22, 命题 23

对于所有 $x \in X$ ，

\begin{align*} (\psi(D_t))(\psi(x)) &= \psi_*(D_t(x)) = \psi_*(t * \varepsilon_x) \\ &= t * \psi_*(\varepsilon_x) \tag{Proposition 15} \\ &= t * \varepsilon_{\psi(x)} = D_t(\psi(x)). \end{align*}

命题 22 0AA2

如果 $g \in G$ ，则g下 $D_t$ 的变换为 $D_{\varepsilon_g * t * \varepsilon_g^{-1}}$ 。

引用了 2

引用了命题 14, 命题 21

这个变换在 $gx$ 的值是

\begin{align*} \tau(g)_*(D_t(x)) &= \tau(g)_*(t * \varepsilon_x) \\ &= \varepsilon_g * (t * \varepsilon_x) \quad \text{(Proposition 14 (i))} \\ &= (\varepsilon_g * t * \varepsilon_g^{-1}) * \varepsilon_{gx} \quad \text{(Propositions 1 and 2)} \\ &= D_{\varepsilon_g * t * \varepsilon_g^{-1}}(gx). \end{align*}

令 $(x, g) \mapsto \mu(x, g) = xg$ 为X上G的类 $C'$ 右运算的律。设 $s \leq r$ 和 $t \in U_s(G)$ 。对于所有 $x \in X$ 、 $\varepsilon_x * t \in T^{(s)}_x(X)$ 。映射 $x \mapsto \varepsilon_x * t$ 被称为 X 上 G 的 t 和作用定义的分布的域，有时表示为 $D_t^u$ 或简称为 $D_t$ 。设 $\Omega$ 是X的开子集。如果 $f : \Omega \to F$ 是类 $C'$ ，则函数 $f * t^\vee$ 表示为 $D_t f$ 。然后

(19)

(D_t f)(x) = \langle \varepsilon_x * t, f \rangle

并且，在明显的记号中，

(20)

D_{t * t'} f = D_t(D_{t'} f)

(21)

D_{t * t'} = D_t \circ D_{t'}.

命题21 仍然有效。让 $g \in G$ 。 g下的 $D_t$ 的变换（即X的自同构 $x \mapsto xg$ ）是 $D_{\varepsilon_g^{-1} * t * \varepsilon_g}$ 。

6. 李群上点的不变域分布

定义 4 0AA3

设G为李群。如果 G 上的分布域在 G 的左（或右）平移下保持不变，则称为左（或右）不变。

在其他字中， $G$ 上的分布 $g \mapsto \Delta_g$ 的域保持不变，如果

\Delta_{gg'} = \gamma(g) * \beta_{g'}

对于

G

中的

g, g'

，或者再次如果

\Delta_{gg'} = \varepsilon_g * \Delta_{g'}

G

中的

g, g'

。它是右不变式如果

\Delta_{gg'} = \delta({g'}^{-1}) * \Delta_g

对于

G

中的

g, g'

，或者再次如果：

\Delta_{gg'} = \Delta_g * \varepsilon_g,

对于

G

中的

g, g'

。

定义 5 0AA4

令 $G$ 为李群和 $t \in U(G)$ 。让 $L_t$ 表示 $G$ 上的分布 $g \mapsto \varepsilon_g * t$ 的域和 $R_t$ 域的 $G$ 上的分布 $g \mapsto t * \varepsilon_g$ 。

被以下引用 1

被以下引用推论 3

在其他字中， $L_t$ （或 $R_t$ ）是 $t$ 和 $G$ 定义的分布的域，通过映射 $(g, g') \mapsto gg'$ 在右侧（或左侧）操作 $G$ 。令 $\Omega$ 为 $G$ 的开子集，且 $F$ 为 Hausdorff 多范数空间；如果 $f \in C^\omega(\Omega, F)$ ，则 $L_t f = f * t^\vee \in C^\omega(\Omega, F)$ 且

R_t f = t^\vee * f \in C^\omega(\Omega, F)

（no. 5）。如果

G

是有限维的，则微分算子

L_t

和

R_t

为类

C^\omega

(no. 5)。

命题 23 0AA5

(i) 映射 $t \mapsto L_t$ （或 $t \mapsto R_t$ ）是向量空间 $U(G)$ 的同构到 $G$ 上左（或右）不变分布的向量域。 (ii) 对于 $U(G)$ 、 $L_{t*t'} = L_t \circ L_{t'}$ 、 $R_{t*t'} = R_{t'} \circ R_t$ 、 $L_t \circ R_{t'} = R_{t'} \circ L_t$ 中的 $t, t'$ （滥用记号或no. 5）。 (iii) 如果 $\theta$ 是 $G$ 的映射 $g \mapsto g^{-1}$ 到 $G$ ，则 $\theta(L_t) = R_{t^\vee}$ 。 (iv) *如果 $t \in U(G)$ 和 $g \in G$ ，则 $(L_t)_g = (R_{\varepsilon_g * t * \varepsilon_g^{-1}})_g$ 。

引用了 2 · 被以下引用 3

引用了命题 21, 命题 20

被以下引用命题 44, 命题 51, 命题 57

在 $G$ 中，每个右翻译都与每个左翻译进行交换。因此，到 no. 5 的命题 21 时， $L_t$ 保持不变。由于 $(L_t)_e = t$ ，映射 $t \mapsto L_t$ 是单射的。令 $\Delta$ 为 $G$ 上左不变分布的域；让 $t = \Delta_e$ ；那么 $\Delta$ 和 $L_t$ 在 $e$ 处具有相同的值并且保持不变，因此 $\Delta = L_t$ 。这证明了 $L_t$ 的(i)，并且对于 $R_t$ 的论证类似。公式 $L_{t*t'} = L_t \circ L_{t'}$ 、 $R_{t*t'} = R_{t'} \circ R_t$ 由 (21) 和 (18) 得出。设 $t \in U_s(G)$ 、 $t' \in U_{s'}(G)$ 、 $f \in C^r(\Omega, F)$ ，其中 $\Omega$ 在 $G$ 和 $s + s' \leq r$ 开；然后

\begin{align*} L_t R_{t'} f &= L_t ({t'}^\vee * f) = ({t'}^\vee * f) * t \\ &= {t'}^\vee * (f * t^\vee) \tag{Proposition 20} \\ &= R_{t'} L_t f \end{align*}

因此

L_t \circ R_{t'} = R_{t'} \circ L_t

。由于

\theta

是

G

在

G^\vee

上的同构，

\theta(L_t)

是

G

上的右不变分布的域；它的值在

e

是

\theta(t) = t^\vee

；因此

\theta(L_t) = R_{t^\vee}

。最后，

(L_t)_g = \varepsilon_g * t = (\varepsilon_g * t * \varepsilon_g^{-1}) * \varepsilon_g = (R_{\varepsilon_g * t * \varepsilon_g^{-1}})_g.

注 1 0AA6

它是 G 本身的作用右平移，即左不变分布的定义域。

被以下引用 1

被以下引用命题 26

注 2 0AA7

假设 G 是有限维的。映射

(t, g) \mapsto (\mathbf{R}_t)_g = t * \varepsilon_g

$U_s(G) \times G$ 化为 $T^{(s)}(G)$ 是解析向量丛的同构；对于这个映射是双射的，在每个纤维上都是线性的并且是解析的（no. 5）；另一方面，令 $\phi : T^{(s)}(G) \to U_s(G) \times G$ 为逆双射；如果 $t \in T^{(s)}_g(G)$ ，则 $\phi(t) = (t * \varepsilon_{g^{-1}}, g)$ ，因此 $\phi$ 是解析的。同构 $\phi$ 称为 $T^{(s)}(G)$ 的右平凡化。同样，将 $U_g(G) \times G$ 中的映射 $(t, g) \mapsto (\mathbf{L}_t)_g = \varepsilon_g * t$ 考虑为 $T^{(s)}(G)$ ；逆同构称为 $T^{(s)}(G)$ 的左平凡化。到限制，我们恢复了 $T(G)$ （§ 2, no. 2）的右和左平凡化。

引用了 1

引用了 III § 2. 。群向量与李群的切线

7.李代数李群

令 G 为李群。在 $U(G)$ 中，与任何联想词代数一样，我们写为 $[t, t'] = t * t' - t' * t$ 。由于 $T_e(G)$ 是 $U(G)$ 、 $[T_e(G), T_e(G)] \subset T_e(G)$ 的原语元素的集合(章II, § 1, no. 2、命题4)。支架的限制到 $T_e(G)$ ，因此定义在 $T_e(G)$ 李代数结构。

引理 1 0AA8

令X和 $X'$ 完全可规范空间， $X_0$ 是X中0的开邻域，并且将 $X_0$ 的解析映射引入 $X'$ ，使得 $f(0) = 0$ 。令 $f = f_1 + f_2 + f_3 + \cdots$ 为 f 的展开作为级数关于 0 的积分，其中 $f_i$ 是次数 i 在 X 上的齐次连续多项式，值在 $X'$ 上。令t为TS $^2(X)$ 的元素，被视为X上的点分布，且支持包含在\{0\}中。让 $t' = f_*(t) \in TS(X')$ 。次数 1 的 $t'$ 的齐次分量是 $\langle f_2, t \rangle$ 。

被以下引用 1

被以下引用命题 24

让 $t'_1$ 成为这个分量。然后，对于 $X'$ 的每个连续线性映射 u 到多范数空间，

u(t'_1) = \langle t', u \rangle \quad \text{because } u \text{ is continuous and linear}

= \langle t, u \circ f \rangle \quad (\text{Diff. \& Anal. Man., R, 13.2.3})

= \langle t, u \circ f_2 \rangle \quad \text{because } t \in TS^2(X)

= u(\langle t, f_2 \rangle) \quad (\text{Diff. \& Anal. Man., R, 13.2.2}),

从而引理。

命题 24 0AA9

令 G 为李群和 $(U, \phi, E)$ G 上的图表，使得 $\phi(e) = 0$ 。令 V 为 e 的开邻域，使得 $V^2 \subset U$ 。令 m 为 $\phi(V) \times \phi(V)$ 对 E 的解析映射 $(a, b) \mapsto \phi(\phi^{-1}(a)\phi^{-1}(b))$ 。令

m = \sum_{i, j \geq 0} m_{i, j}

引用了 1 · 被以下引用 1

引用了引理 1

被以下引用引理 2, III § 4

是 m 的展开作为关于 (0, 0) 的积分级数，其中 $m_{i,j}$ 是 $E \times E$ 上的二次 $(i, j)$ 的双齐次连续多项式， $E$ 上的值。

(i) $m_{i,0} = m_{0,j} = 0$ 适用于所有 $i \neq 1$ 和 $j \neq 1$ 。 (ii) $m_{1,0}(a, b) = a$ 和 $m_{0,1}(a, b) = b$ 对于所有 $a \in E, b \in E$ 。 (iii) *令 $\psi : T_e(G) \to E$ 为 $\phi$ 在 e 处的微分。对于 $T_e(G)$ 中的所有 $u, v$ ，

\psi([u, v]) = m_{1,1}(\psi(u), \psi(v)) - m_{1,1}(\psi(v), \psi(u)).

$m(a, 0) = a,\ m(0, b) = b$ 对于 $\phi(V)$ 中的所有 $a, b$ ，这证明了(i)和(ii)。令 $u, v$ 位于 $T_e(G)$ 中。让 $T_0(E)$ 等同于 $E$ ，因此 $\psi$ 等同于 $T_e(\phi)$ ： $T_e(\phi)$ 下的 $u$ 和 $v$ 中的像是 $\psi(u)$ 和 $\psi(v)$ 。这些像的张量积点分布是 $(\psi(u), 0)$ 和 $(0, \psi(v))$ 在 $TS(E \times E) = TS(E) \times TS(E)$ 的对称乘积，即

(\psi(u), 0) \otimes (0, \psi(v)) + (0, \psi(v)) \otimes (\psi(u), 0).

因此， $\phi * (u * v)$ 是上述元素的像在 $\phi(V) \times \phi(V)$ 的映射 $m$ 下到 $E$ 。 $TS(E)$ 中次数 1 的分量是引理 1，

x = \langle m_{1,1}, (\psi(u), 0) \otimes (0, \psi(v)) + (0, \psi(v)) \otimes (\psi(u), 0) \rangle.

我们定义双线性映射 $n : (E \times E)^2 \to E$

n((a, b), (a', b')) = m_{1,1}(a, b').

然后 $n((a, b), (a, b)) = m_{1,1}(a, b)$ ，因此

x = \langle n, (\psi(u), 0) \otimes (0, \psi(v)) + (0, \psi(v)) \otimes (\psi(u), 0) \rangle \\ = m_{1,1}(\psi(u), \psi(v)) + m_{1,1}(0, 0) = m_{1,1}(\psi(u), \psi(v)).

类似地， $\phi * (v * u)$ 承认 $m_{1,1}(\phi(v), \phi(u))$ 是 $TS(E)$ 中次数1的组成部分。由于 $\phi([u, v])$ 是次数 1，这就证明了 (iii)。

推论 0AAA

normable 空间 $T_e(G)$ 与括号一起，是normable 李代数。

定义 6 0AAB

可范化空间 $T_e(G)$ 与括号一起称为G的可范化李代数，或简称为G的李代数，记为 $L(G)$ 。

命题 25 0AAC

设 G 为李群和 $E(G)$ $L(G)$ 的包络代数。将 $L(G)$ 的典范嵌入转换为 $E(G)$ 定义同态 $\theta$ 将代数 $E(G)$ 转换为代数 $U(G)$ 。如果 K 的特征为 0，则 $\eta$ 是大数同构。

引用了 3

引用了 Theorem 1, II § 1, I § 2. 。包络代数的李代数, 命题 7

bigebra $U(G)$ 是可交换的（*可微分和解析流形*，R，13.5.1），并且过滤 $(U_s(G))$ 与 bigebra 结构兼容。 $U(G)$ 的原语元素的集合是 $L(G)$ 。然后应用章 II, § 1, no. 6、定理 1 即可。

当 K 的特征为 0 时，我们将来将用 $L(G)$ 包络代数来实现认同 $U(G)$ 。由(2)和命题7(ii)， $U(G)$ 到 $U(G)$ 的映射 $t \mapsto t^\vee$ 然后被识别为 $U(G)$ (章I, § 2, no. 4)的主要反自同构。

命题 26 0AAD

假设K的特征为 $p > 0$ 。对于所有 $a \in L(G)$ 、 $a^p \in L(G)$ 和 $\operatorname{ad}(a^p) = (\operatorname{ad} a)^p$ （幂 $a^p$ 按 $U(G)$ 计算）。

引用了 2

引用了 II § 1. Enveloping bigebra of a Lie algebra, 注 1

如果 $a \in L(G)$ ， $a$ 在 $U(G)$ 中是原语，因此 $a^p$ 在 $U(G)$ 中是原语（章II, § 1, no. 2，*注1*），因此 $a^p \in L(G)$ 。令 $\sigma_a$ （或 $\tau_a$ ）为 $U(G)$ 的线性映射 $x \mapsto a * x$ （或 $x \mapsto x * a$ ）到 $U(G)$ 。对于所有 $x \in U(G)$ ， $(\operatorname{ad} a)(x) = (\sigma_a - \tau_a)(x)$ ，因此 $(\operatorname{ad} a)^p = (\sigma_a - \tau_a)^p$ 。但 $\sigma_a$ 和 $\tau_a$ 通勤，因此 $(\sigma_a - \tau_a)^p = (\sigma_a)^p - (\tau_a)^p = \tau_a^p - \sigma_a^p$ 、从而是第二个断言。

定义 7 0AAE

设X为类 $C^r$ ( $r \geq 2$ )的流形，且 $g$ 为完全规范李代数。 A law of infinitesimal left (resp. right) operation of class $C^{r-1}$ of $g$ on X is a mapping $a \mapsto D_a$ of $g$ into the set of vector fields on X with the following properties:

被以下引用 2

被以下引用注, 定义 3, VIII § 1

(a) 映射 $(a, x) \mapsto D_a(x)$ 是向量丛 $g \times X$ 的类 $C^{r-1}$ 的态射到向量丛 $T(X)$ ；

(b) $[D_a, D_b] = -D_{[a, b]}$ （ $[D_a, D_b] = D_{[a, b]}$ 适用于 $g$ 中的所有 $a, b$ ）。

特别地，每个向量域 $D_a$ 都是类 $C^{r-1}$ 。

注 0AAF

令X为类 $C^r$ 的流形， $g$ 为有限维李代数，将 $g$ 的 $a \mapsto D_a$ 线性映射转换为向量域的向量空间类 $C^{r-1}$ 于X。那么定义7中的条件(a)成立。因为，通过考虑 $g$ 和应用*可微分和解析流形*的基，R，7.7.1，问题被简化为情况 $\dim g = 1$ ，然后我们的断言是显而易见的。

引用了 1

引用了定义 7

命题 27 0AAG

设 G 为类 $C^r$ 中的李群和 X 流形。 Suppose that a law of left (resp. right) operation of class $C^r$ of G on X is given. 对于所有 $a \in L(G)$ ，令 $D_a$ 为由 X 定义的点分布的域。

被以下引用 2

被以下引用 IX § 8. 。傅里叶变换, 定理 1, IX § 8

(i) 映射 $(a, x) \mapsto D_a(x)$ 是类 $C^{r-1}$ 的态射，将琐碎的向量丛 $L(G) \times X$ 化为向量丛 $T(X)$ 。

(ii) 令I为K包含0的开子集和类 $C^r$ 的 $\gamma : I \to G$ 映射，使得 $\gamma(0) = e$ 。让 $a = T_0(\gamma)1 \in L(G)$ 。如果 f 在 X 的开子集上是类 $C^r$ 的函数，则

(D_a f)(x) = \lim_{k \in \mathbf{K}^*, k \to 0} k^{-1}(f(\gamma(k)x) - f(x)) \quad \text{if G operates on the left,}

(D_a f)(x) = \lim_{k \in \mathbf{K}^*, k \to 0} k^{-1}(f(x\gamma(k)) - f(x)) \quad \text{if G operates on the right.}

(iii) If $r \geq 2$ , the mapping $a \mapsto D_a$ is a law of infinitesimal left (resp. right) operation of class $C^{r-1}$ of $L(G)$ on X.

假设G对左边的X进行运算。设 $\phi : G \times X \to X$ 为运算的律。那么 $T(\phi)$ 是向量丛 $T(G) \times T(X)$ 到向量丛 $T(X)$ 的类 $C^{r-1}$ 的 $\phi$ 态射（*可微分和解析*

流形，R，8.1.2）。诱导的向量丛 $(\mathrm{T}(G) \times \mathrm{T}(X))|_{\{\epsilon\} \times X}$ 被识别为 $E = L(G) \times T(X)$ 。因此 $T(\phi)|E$ 是类 $C^{r-1}$ 的向量丛态射。对于 $(a, x) \in L(G) \times X, T(\phi)(a, x) = D_a(x)$ ，从而 (i)。

公式给出 $(D_a f)(x)$ 从 § 2 得出，no. 2 的末尾，以及可微分和解析流形，R，8.4.5。

假设 $r \geqslant 2$ 。令 $a, b$ 在 $L(G)$ 中，并且 $f$ 在 $X$ 的开子集上，为类 $C^r$ 中的函数。然后

\begin{align*} D_{[a, b]}f &= D_b(D_a f) - D_a(D_b f) \quad \text{by (17)} \\ &= [D_b, D_a]f \tag{Diff. \& Anal. Man., R, 8.5.3}. \end{align*}

让

x \in X

。将

f

视为

x

的开邻域上的图表，可得出

D_{[a, b]}(x) = [D_b, D_a](x)

、从而 (iii)。如果

G

对右侧的

X

进行运算，则论证类似。

当 $r \geqslant 2$ 时，映射 $a \mapsto D_a$ 被称为无穷小运算的律，与运算的给定律相关联。

8. 李代数的功能特性

设 $G$ 和 $H$ 为 $G$ 的李群和 $\phi$ 态射到 $H$ 。 $U(\phi)$ 到 $L(G)$ 的限制，即 $T_e(\phi)$ ，是 $L(G)$ 到 $L(H)$ 的连续态射，我们用 $L(\phi)$ 表示。如果 $\psi$ 是 $H$ 的态射到李群，则 $L(\psi \circ \phi) = L(\psi) \circ L(\phi)$ 。

为了使 $\phi$ 成为浸没， $L(\phi)$ 是 $L(G)$ 的同构到 $L(H)$ 的子代数上，并承认拓扑补充是必要且充分的。特别地，如果 $G$ 是 $H$ 的谎言子群并且 $\phi$ 是典范嵌入，则通过 $L(\phi)$ 将 $L(G)$ 与 $L(H)$ 的谎言子代数进行识别。更具体地，如果 $G$ 是 $H$ 的开子群，则 $L(G) = L(H)$ 。

如果 $G$ 是 $H$ 的李准子群，则 $L(G)$ 也可以用 $L(H)$ 的闭李子群来标识。

对于 $\phi$ 是淹没， $L(\phi)$ 是满射并且其核承认拓扑补充是必要且充分的。在这种情况下， $\phi$ 的核 $N$ 是 $G$ 和 $L(N) = \operatorname{Ker} L(\phi)$ 的谎言子群。特别是，如果 $H$ 是 $G$ 与普通李子子群 $P$ 的商李群，则 $L(P)$ 是 $L(G)$ 的理想，并且，如果 $\phi$ 是 $G$ 的典范满射到当经过商时， $H$ 、 $L(G/P)$ 通过从 $L(\phi)$ 导出的态射与 $L(G)/L(P)$ 等同。

令 $I$ 是有限的集合， $(G_i)_{i \in I}$ 是李群的族， $G$ 是它们的乘积， $p_i$ 是 $G$ 到 $G_i$ 的规范态射。则 $(L(p_i))_{i \in I}$ 化为李代数 $\prod_{i \in I} L(G_i)$ 为李代数 $L(G)$ 态射且可规范空间为同构。因此， $L(G)$ 通过 $(L(p_i))_{i \in I}$ 与 $\prod_{i \in I} L(G_i)$ 进行识别。

命题 28 0AAH

设G和H为李群，G到H的φ态射。假设K的特征为0，H是有限维的。

引用了 1 · 被以下引用 3

引用了命题 14, III § 1

被以下引用命题 30, 命题 31, 推论 1, III § 6

(i) φ 的核 N 是 G 的谎言子群，并且 L(N) = Ker L(φ)。

(ii) 当经过到商是浸没时，从 φ 导出 G/N 的态射 ψ 到 H。

(iii) 如果 φ(G) 在 H 中闭，并且 G 的拓扑具有可数基，则 φ(G) 是 H 的谎言子群，ψ 是李群 G/N 到李群 φ(G) 上的同构，且 L(φ(G)) = Im L(φ)。

让 G 对左侧的 H 进行映射 (g, h) ↦ φ(g)h 运算。满足§ 1, no. 7的应用命题14、e的轨道。

命题 29 0AAI

设G和H为李群，G到H的φ态射。假设K的特征为0，H是有限维的。如果 H' 是 H 的谎言子群，则 G' = φ⁻1(H') 是 G 的谎言子群，并且 L(G') = L(φ)⁻1(L(H'))。

引用了 2 · 被以下引用 3

引用了命题 11, III § 1, 命题 14, III § 1

被以下引用习题 1, § 3, 推论 1, 推论 2

令 π 为 H 的典范映射到齐次空间 X = H/H'。让 G 对左侧的 X 进行映射 (g, x) ↦ φ(g)x 运算。 π(e) 的稳定子是 G'，因此是 G 的谎言子群 (§ 1, no. 7, 命题 14)。 π(e) 的轨道映射为 π ∘ φ。通过 § 1 的命题 14，L(G') 等于 L(π ∘ φ) = T_e(π) ∘ L(φ) 的核。 T_e(π) 的核为 L(H') (§ 1, no. 6, 命题 11 (i))，因此 Ker L(π ∘ φ) = L(φ)⁻¹(L(H'))。

推论 1 0AAJ

设G、H为李群，G的φ₁和φ2态射为H。假设K的特征为0，H是有限维的。 g ∈ G 的集合使得 φ₁(g) = φ2(g) 是 G 的李子子群 G'，并且 L(G') 是 x ∈ L(G) 的集合，使得 L(φ₁)x = L(φ2)x。

引用了 1 · 被以下引用 3

引用了命题 29

被以下引用推论 3, 注, III § 6, 命题 8, III § 9

对于所有 g ∈ G，我们写 φ(g) = (φ₁(g), φ2(g))，因此 φ 是 G 的态射到 H × H 中。令 Δ 为 H × H 的对角线子群。则 G' = φ⁻1(Δ) 且 L(φ)x = (L(φ₁)x， L(φ2)x) 对于所有 x ∈ L(G)。现在足以应用命题 29。

推论 2 0AAK

设G是有限维李群，G₁和G2是G的两个谎言子群。假设K的特征为0。则G₁∩G2是G的谎言子群，其中李代数L(G₁)∩L(G2)。

引用了 1 · 被以下引用 3

引用了命题 29

被以下引用命题 31, 推论 3, III § 6, 命题 11, VIII § 5

我们将G₁的应用命题29到典范嵌入转化为G和子群G2。

推论 3 0AAL

令 G、G'、H 为李群，且 φ : G → H 且 φ' : G' → H 李群态射。假设 K 的特征为 0，并且 H 是有限维的。令 F 为 (g, g') ∈ G × G' 的集合，使得 φ(g) = φ'(g')。那么 F 是 G × G' 的谎言子群，L(F) 是 (x, x') ∈ L(G) × L(G') 的集合，使得 L(φ)x = L(φ')x'。

引用了 1

引用了推论 1

我们将推论 1 应用于 G × G' 的态射 (g, g') ↦ φ(g) 和 (g, g') ↦ φ'(g') 到 H 中。

命题 30 0AAM

设 G 是有限维李群且具有可数基且

引用了 2 · 被以下引用 2

引用了命题 14, III § 1, 命题 28

被以下引用习题 9, § 3, 命题 31

H 和 H' 位于 G 的子群。假设 K 的特征为 0，并且 HH' 在 G 中局部闭。

(i) HH' 是 G 和 $T_e(HH') = L(H) + L(H')$ 的子流形。

(ii) 假设 H 的每元素与 H' 的每元素都可交换。那么 HH' 是 G 的谎言子群。设 $\phi$ 是 $H \times H'$ 的映射 $(h, h') \mapsto hh'$ 到 HH' 上。 $\phi$ 的核是 $(m, m^{-1})$ 的集合，其中 $(H \times H')/\mathrm{Ker}\ \phi$ 的 $m \in H \cap H'$ 和态射到HH'上，从 $\phi$ 通过经过得到的商是李群同构。

让 $H \times H'$ 对右边的G进行映射 $((h, h'), g) \mapsto hg{h'}^{-1}$ 运算。 e 的轨道映射 $\rho$ 为 $(h, h') \mapsto h{h'}^{-1}$ 。由§ 1, no. 7的命题14(iii)，HH'是G和 $T_e(HH') = \mathrm{Im}\ T_e(\rho)$ 的子流形。现在

T_e(\rho)(L(H) \times \{0\}) = L(H) \quad \text{and} \quad T_e(\rho)(\{0\} \times L(H')) = L(H')

因此 $T_e(HH') = L(H) + L(H')$ 。假设 H 的每个元素与 H' 的每个元素都可交换。那么HH'是G的子群。通过(i)，它是G的谎言子群。叙述的其余部分从命题28得出。

命题 31 0AAN

设 G 为有限维李群，可数基，H 为 G 的正规谎言子群，A 为 G 的谎言子群。假设 K 的特征为 0，且 AH 是闭集。令 $\phi$ 为 G 在 G/H 上的规范态射。然后典范映射

A/(H \cap A) \to \phi(A), \qquad AH/H \to \phi(A)

引用了 3

引用了命题 28, 推论 2, 命题 30

是李群同构。

到命题 30，AH 是G 的谎言子群。根据推论2 到命题 29， $H \cap A$ 是G 的谎言子群。因此，谈论群 $AH/H$ 和 $A/(H \cap A)$ 是有意义的。另一方面， $\phi(A)$ ，即 G/H 中 AH 的典范像，是闭集，因此是 G/H 的谎言子群 (命题 28 (iii))。命题 28，应用于复合态射 $A \to G \to G/H$ 和 $AH \to G \to G/H$ ，证明命题的典范映射是李群同构。

命题 32 0AAO

令 G 和 H 为李群，k 为 K 的非离散闭子域和 G 的 $\phi$ 态射到 H 中，对于 k 上的李群结构。假设 K 的特征为 0。如果 $L(\phi)$ 是 K 线性的，则对于 K 上的李群结构， $\phi$ 是态射。

被以下引用 1

被以下引用推论 2, III § 4

对于所有 $g \in G$ ，

T_g(\phi) = T_e(\gamma(\phi(g))) \circ L(\phi) \circ T_g(\gamma(g)^{-1})

因此 $T_g(\phi)$ 是 K 线性的。命题然后从可微分和解析流形，R，5.14.6 得出。

9. 群的可逆元代数的李代数

设 $A$ 是代数与单位元 $e$ 的完全规范关联。令 $A^*$ 为 $A$ 的可逆元中的群。我们已经看到（§ 1, no. 1） $A^*$ 是 $A$ 的开子流形，并且是李群。令 $G$ 为李群，并将李群 $G$ 中的 $f$ 态射转化为李群 $A^*$ 。 $f$ 可以被视为 $G$ 的解析映射到完全可范化空间 $A$ 。因此，如果 $t \in \mathscr{T}^{(\infty)}(G)$ ，我们可以形式 $\langle t, f \rangle$ ，即元素除以 $A$ 。

命题 33 0AAP

映射 $t \mapsto \langle t, f \rangle$ 是代数 $\mathscr{T}^{(\infty)}(G)$ 中的态射变成代数 $A$ 。

被以下引用 2

被以下引用 § 3. 。从李群到李代数的通道, 推论

只要验证一下，如果 $t$ 和 $t'$ 是 $G$ 上的点分布，则 $\langle t * t', f \rangle = \langle t, f \rangle \langle t', f \rangle$ 。但是

\begin{align*} \langle t * t', f \rangle &= \langle t \otimes t', (g, g') \mapsto f(gg') \rangle \\ &= \langle t \otimes t', (g, g') \mapsto f(g)f(g') \rangle \\ &= \langle t, f \rangle \langle t', f \rangle \end{align*}

（差异和肛门曼，R，13.4.3）。

命题 33 中的态射据说与 $f$ *相关联。

将 $G$ 视为群 $A^*$ 本身，并将 $f$ 视为 $A^*$ 的恒等映射 $i$ 。我们获得态射，称为*规范*，将代数 $\mathscr{T}^{(\infty)}(A^*)$ 转化为代数 $A$ 。切线空间 $T_e(A^*)$ 规范地等同于 $A$ ；如果 $t \in T_e(A^*)$ ，则该识别的定义使得 $\langle t, i \rangle = t$ 。那么命题 33 意味着以下推论：

推论 0AAQ

$L(A^*)$ 的典范映射 $\zeta$ 到 $A$ 是李代数的同构， $L(A^*)$ 到李代数 $A$ 。在其他字，

\zeta([a, b]) = \zeta(a)\zeta(b) - \zeta(b)\zeta(a)

对于

L(A^*)

中的所有

a, b

。如果

K

具有特征

p > 0

，则

\zeta(a^p) = \zeta(a)^p

对于所有

a \in L(A^*)

。

引用了 1 · 被以下引用 2

引用了命题 33

被以下引用 § 3. 。从李群到李代数的通道, 例, III § 4

从此以后， $L(A^*)$ 和 $A$ 通过同构 $\zeta$ 来识别。

$\mathscr{T}^{(\infty)}(A^*)$ 到 $A$ 的规范态射已经作为命题33的态射的特例获得。但也可以从相反的方向争论：

命题 34 0AAR

设 $H$ 为李群， $A$ 为单位完全规范结合律代数和 $\phi : H \to A^*$ 李群态射。通过将 $\phi_*$ 与 $\mathscr{T}^{(\infty)}(A^*)$ 的规范态射组合到 $A$ 中，获得 $\mathscr{T}^{(\infty)}(H)$ 的相关态射 $\phi'$ 到 $A$ 的关联。特别是， $\phi'(x) = L(\phi)(x)$ 适用于所有 $x \in L(H)$ 。

被以下引用 2

被以下引用命题 35, 命题 38

设 $i$ 为 $A^*$ 到 $A$ 的恒等映射。那么，对于所有 $t \in \mathscr{T}^{(\infty)}(H)$ ，

\begin{align*} \phi'(t) &= \langle t, \phi \rangle = \langle t, i \circ \phi \rangle \\ &= \langle \phi_*(t), i \rangle \quad \text{(Diff. \& Anal. Man., R, 13.2.3)}. \end{align*}

10. 李代数某些线性群

令 E 为完全范数空间。那么 $\mathscr{L}(E)$ 是单位完全范数代数， $\mathbf{GL}(E)$ 是李群。根据命题 33、no. 9的推论，如果 $T_1(\mathbf{GL}(E))$ 与 $\mathscr{L}(E)$ 规范地一致， $\mathbf{L}(\mathbf{GL}(E))$ 上的李代数结构由两个元素的括号 $(x, y) \mapsto xy - yx$ 给出 $\mathscr{L}(E)$ 。特别是， $\mathbf{L}(\mathbf{GL}(n, K))$ 被规范地标识为 $\mathfrak{gl}(n, K)$ (章 I, § 1, no. 2)。

命题 35 0AAS

设E为有限维向量空间。令 $\phi$ 为李群 $\mathbf{GL}(E)$ 中的态射 $g \mapsto \det g$ 变成李群 $K^*$ 。 $\mathscr{L}(E)$ 到K中的映射 $\mathbf{L}(\phi)$ 为映射 $x \mapsto \operatorname{Tr} x$ 。 $\phi$ 的核 $\mathbf{SL}(E)$ 是 $\mathbf{GL}(E)$ 的谎言子群与李代数 $\mathfrak{sl}(E)$ 。

引用了 1

引用了命题 34

我们行列式的E.展开的选择范数和基证明了

\det(1 + u) \in 1 + \operatorname{Tr} u + o(\|u\|)

当

u

在

\mathscr{L}(E)

趋于0时。因此，使用命题 34、no. 9 来表示

x \in \mathscr{L}(E) = \mathbf{L}(\mathbf{GL}(E))

：

\mathbf{L}(\phi)(x) = \langle x, \phi \rangle = \operatorname{Tr} x.

由此可见

\phi

是淹没。因此，

\operatorname{Ker} \phi = \mathbf{SL}(E)

是

\mathbf{GL}(E)

的谎言子群，其李代数是

\operatorname{Ker} \mathbf{L}(\phi) = \mathfrak{sl}(E)

。

令 $E_1, \ldots, E_n$ 完全可范化空间且 E 为直和。每个 $x \in \mathscr{L}(E)$ 都可以用矩阵 $(x_{ij})_{1 \leq i, j \leq n}$ 来表示，其中 $x_{ij} \in \mathscr{L}(E_i, E_j)$ 。

命题 36 0AAT

设I为 $\{1, 2, \ldots, n\}$ 的子集，G子群为 $g = (g_{ij})_{1 \leq i, j \leq n} \in \mathbf{GL}(E)$ 的 $\mathbf{GL}(E)$ 由……组成，这样 $g_{ij} = 0$ 为 $i < j$ ， $g_{ii} = 1$ 为 $i \in I$ 。那么 G 是 $\mathbf{GL}(E)$ 的谎言子群， $\mathbf{L}(G)$ 是 $x = (x_{ij})_{1 \leq i, j \leq n} \in \mathscr{L}(E)$ 的集合，这样 $x_{ij} = 0$ 对应 $i < j$ ， $x_{ii} = 0$ 对应 $i \in I$ 。

令 S 为 $(x_{ij}) \in \mathscr{L}(E)$ 的集合，使得 $i < j$ 为 $x_{ij} = 0$ ， $i \in I$ 为 $x_{ii} = 0$ 。那么G就是 $\mathbf{GL}(E)$ 的交和 $\mathscr{L}(E)$ 的仿射子空间 $1 + S$ 。因此，G 是 $\mathbf{GL}(E)$ 的子流形，G 在 1 处的切线空间用 S 标识。

引用了 1 · 被以下引用 2

引用了 I § 1. 。定义共李代数

被以下引用命题 17, III § 9, 命题 11, VIII § 5

特别是，在 $\mathbf{GL}(n, K)$ 中，总下三角子群和下严格三角形子群（如积分中定义的章 VII, § 3, no. 3）是谎言子群以及李代数 $t(n, K)$ 和 $n(n, K)$ （章I, § 1, no. 2）。

命题 37 0AAU

设 A 是完全规范单位结合律代数和 $x \mapsto x^t$ A 到 A 中的连续线性映射，使得 A 中所有 $x, y$ 都有 $(x^t)^t = x$ 和 $(xy)^t = y^t x^t$ 。假设 K 具有特征 $\neq 2$ 。令 G 为 $x \in A$ 的 $A^*$ 由……组成的子群，使得 $xx^t = x^t x = 1$ 。那么 G 是 $A^*$ 的谎言子群，并且 $\mathbf{L}(G)$ 是 $y \in A$ 的集合，使得 $y^t = -y$ 。

引用了 1 · 被以下引用 2

引用了命题 6, III § 1

被以下引用推论 1, 推论 2

令 S（或 S'）为 $y \in A$ 的集合，使得 $y = y^t$ （或 $y = -y^t$ ）。那么 S, S' 闭合 A 的向量子空间。公式

y = \frac{1}{2}(y + y^t) + \frac{1}{2}(y - y^t)

证明A是S和S'的拓扑直和。令 f 为由 $f(x) = xx^t$ 定义的 A 到 S 的映射。这个映射是分析性的。对于所有 $y \in A$ 、 $f(1 + y) = 1 + y + y^t + yy^t$ ； A 上的选择范数与其代数结构兼容；然后

f(1 + y) \in 1 + y + y^t + o(\|y\|) \quad \text{for } y \text{ tending to } 0.

因此， $T_1(f)(y) = y + y^t$ ，因此 f 是 1 处的淹没。因此，A 中存在 1 的开邻域 U，使得 $U \cap G$ 是 U 的子流形。因此 (§ 1, no. 3, 命题 6) G 是 A* 的谎言子群。而且， $L(G) = T_e(G) = \operatorname{Ker} T_1(f)$ 。

推论 1 0AAV

假设K的特征为 $\neq 2$ 。设 E 为 K 上的有限维向量空间，且 $\phi$ 为 E 上的非简并对称（分别为交错的）双线性形式。对于所有 $u \in \mathscr{L}(E)$ ，令 $u^*$ 为 u 相对于 $\phi$ 的伴随。令 G 为 $\phi$ 的正交（或辛）群。那么 G 是 $\mathbf{GL}(E)$ 的谎言子群，并且 $L(G)$ 是 $x \in \mathscr{L}(E)$ 的集合，使得 $x^* = -x$ 。

我们应用命题 37 与 $A = \mathscr{L}(E)$ 和 $x^t = x^*$ 。

引用了 1 · 被以下引用 1

引用了命题 37

被以下引用注

注 0AAW

令 B 为 E 的基和 $\phi$ 的 J 矩阵关于 B。则 $L(G)$ 为 $\mathscr{L}(E)$ 的元素集合，其中关于 B 的矩阵 X 满足等式

{}^tX = -JXJ^{-1}.

这是从代数、章 IX, § 1、公式 (50) 得出的。

推论 2 0AAX

令 E 为复数（或实数）希尔伯特空间，U 为 E 的酉群。则 U 为 $\mathbf{GL}(E)$ 的实数子群， $L(U)$ 为 $x \in \mathscr{L}(E)$ 的集合，使得 $x^* = -x$ 。

我们应用命题 37 和 $A = \mathscr{L}(E)$ 被视为代数超过 $\mathbf{R}$ 和 $x^t = x^*$ 。

引用了 1 · 被以下引用 1

引用了命题 37

被以下引用 IX § 3. 。紧形式复半单李代数

推论 3 0AAY

设 E 为有限维复数向量空间， $\phi$ 为 E 上的非简并厄米特倍半线性形式，U 为 $\phi$ 的酉群。那么 U 是 $\mathbf{GL}(E)$ 的实谎言子群， $L(U)$ 是 $x \in \mathscr{L}(E)$ 的集合，使得 $ix$ 是厄米特。

当 $E \neq \{0\}$ 时，U*不是*复数李群 $\mathbf{GL}(E)$ 的谎言子群，因为 $L(U)$ 不是 $\mathscr{L}(E)$ 的复数向量子空间。

11.线性表示

设 G 为李群，E 为完全可范化空间， $\pi$ 为 G 在 E (§ 1, no. 2) 上的解析线性表示。 $\mathscr{T}^{(\infty)}(G)$ 到 $\mathscr{L}(E)$ 的关联态射 $t \mapsto \langle t, \pi \rangle$ 是代数态射（no. 9，命题33），其限制到 $L(G)$ 是 $L(\pi)$ 。因此 $L(\pi)$ 是 $E$ 上 $L(G)$ 的表示（章I, § 3，定义1）。

命题 38 0AAZ

将 $G$ 视为在映射 $(g, x) \mapsto \pi(g)x$ 左侧的 $E$ 上进行操作。设 $b \in E$ 和 $\varphi(b)$ 为其轨道映射。让 $T_b(E)$ 与 $E$ 被规范地识别。对于所有 $t \in L(G)$ ，

(L(\pi)t)(b) = \langle t, \varphi(b) \rangle = \varphi(b)*t = t * \varepsilon_b.

引用了 2 · 被以下引用 1

引用了命题 34, 命题 14

被以下引用命题 41

特别是， $t$ 在 $E$ 上定义的向量域是域 $b \mapsto (L(\pi)t)(b)$ 。

$L(\pi)t = \langle t, \pi \rangle$ （no. 9，命题34）。由于 $\mathscr{L}(E)$ 到 $E$ 的映射 $A \mapsto Ab$ 是连续且线性的，因此

\begin{align*} (L(\pi)t)(b) &= \langle t, g \mapsto \pi(g)b \rangle \\ &= \langle t, \mathrm{Id}_E \circ \varphi(b) \rangle \\ &= \langle \varphi(b)*t, \mathrm{Id}_E \rangle \quad (\text{Diff. \& Anal. Man., R, 13.2.3}) \\ &= \varphi(b)*t. \end{align*}

最后， $\varphi(b)*t = t * \varepsilon_b$ （no. 3，命题14（ii））。

命题 39 0AB0

假设 $K$ 的特征为0。令 $G$ 为李群， $E$ 有限维向量空间， $\pi$ 为 $G$ 在 $E$ 上的解析线性表示。令 $E_1, E_2$ 为 $E$ 的向量子空间，使得 $E_2 \subset E_1$ 。 $g \in G$ 的集合 $G_1$ ，使得 $\pi(g)x \equiv x$ （模 $E_2$ ）对于所有 $x \in E_1$ 是 $G$ 的谎言子群，并且 $L(G_1)$ 是 $a \in L(G)$ 的集合，这样 $L(\pi)a$ 映射 $E_1$ 变成 $E_2$ 。

被以下引用 2

被以下引用推论 1, 推论 2

这是从命题 29 (no. 8) 和 36 (no. 10) 开始的。

推论 1 0AB1

在命题 39 的记号、 $g \in G$ 的集合中， $\pi(g)(E_1) \subset E_1$ 是 $G$ 的谎言子群，并且它的李代数是 $a \in L(G)$ 的集合，这样 $L(\pi)a$ 映射 $E_1$ 变为 $E_1$ 。

引用了 1 · 被以下引用 1

引用了命题 39

被以下引用命题 10, III § 9

我们应用命题 39 和 $E_1 = E_2$ 。

推论 2 0AB2

令 $G, E, \pi$ 与命题 39 相同。令 $F$ 为 $E$ 的子集。 $g \in G$ 的集合，使得对于所有 $x \in F$ 来说， $\pi(g)x = x$ 是 $G$ 的谎言子群，并且它的李代数是 $a \in L(G)$ 的集合，使得对于所有 $(L(\pi)a)(x) = 0$ $x \in F$ 。

引用了 3 · 被以下引用 3

引用了命题 39, A VIII § 13. 。绝对半单代数, I § 3. 。表示

被以下引用注, 推论 5, 命题 7, III § 9

我们应用命题 39 与 $E_2 = \{0\}$ 和 $F$ 生成的 $E$ 的 $E_1$ 向量子空间。

令 $\pi_1, \pi_2, \ldots, \pi_n$ 为 $G$ 的解析线性表示。显然， $\pi_i$ （代数，章VIII, § 13, no. 1）的直和 $\pi$ 是 $G$ 的解析线性表示， $L(\pi)$ 是 $L(\pi_1), L(\pi_2), \ldots, L(\pi_n)$ 的直和（章I, § 3, no. 1）。

命题 40 0AB3

令 $G$ 为李群， $E$ 完全可范空间， $\pi$ $G$ 在 $E$ 上的解析线性表示，以及 $F$ 闭向量 $E$ 的子空间稳定在 $\pi(G)$ 以下。假设 $K$ 的特征为0，或者 $F$ 是 $E$ 的直因子。

被以下引用 2

被以下引用推论 4, 推论 2, VIII § 7

(i) 子表示 $\pi_1$ 和 $\pi$ 由 $F$ 定义的商表示 $\pi_2$ 是解析的表示。

(ii) $F$ 在 $L(\pi)(L(G))$ 下稳定。

(iii) 令 $\varrho_1$ 和 $\varrho_2$ 为子表示和 $L(\pi)$ 由 $F$ 定义的商表示。然后 $L(\pi_1) = \varrho_1, L(\pi_2) = \varrho_2$ 。

令 $A$ 为 $u \in \mathscr{L}(E)$ 的集合，使得 $u(F) \subset F$ 。那么 $A$ 是 $\mathscr{L}(E)$ 的闭向量子空间，并且 $\pi$ 在 $A$ 中取其值。根据 $K$ 和 $F$ 的假设，与 $\pi$ 同图的映射 $\pi': G \to A$ 是解析的（*可微且解析流形*，R，5.8.5）。典范映射 $\theta_1 : A \to \mathscr{L}(F)$ 和 $\theta_2 : A \to \mathscr{L}(E/F)$ 是连续且线性的，因此是解析的。这就证明了(i)。映射 $T_e(\pi)$ 和 $T_e(\pi')$ 有相同的图，因此 $L(\pi)(L(G)) \subset A$ ，这证明了 (ii)。我们有

T_e(\pi_1) = T_e(\theta_1 \circ \pi') = \theta_1 \circ T_e(\pi') = \varrho_1 \\ T_e(\pi_2) = T_e(\theta_2 \circ \pi') = \theta_2 \circ T_e(\pi') = \varrho_2.

命题 41 0AB4

设* $G$ *为李群且* $\pi_1, \pi_2, \ldots, \pi_n, \pi$ *在完全可规范空间* $E_1, E_2, \ldots, E_n, E$ 上解析* $G$ 的线性表示。让

(x_1, x_2, \ldots, x_n) \mapsto x_1 x_2 \ldots x_n

是

E_1 \times E_2 \times \cdots \times E_n

到

E

的连续多重线性映射。假设

\pi(g)(x_1 x_2 \ldots x_n) = (\pi_1(g)x_1)(\pi_2(g)x_2) \ldots (\pi_n(g)x_n)

对于所有人

g \in G, x_1 \in E_1, \ldots, x_n \in E_n

。然后

(L(\pi)a)(x_1 x_2 \ldots x_n) = \sum_{i=1}^n x_1 x_2 \ldots x_{i-1} ((L(\pi_i)a)x_i) x_{i+1} \ldots x_n

对于所有人

a \in L(G), x_1 \in E_1, \ldots, x_n \in E_n

。

引用了 1 · 被以下引用 3

引用了命题 38

被以下引用推论 1, 推论 3, 命题 45

作为例，我们执行 $n = 2$ 的计算。

\begin{align*} (L(\pi)a)(x_1 x_2) &= \langle a, g \mapsto \pi(g)(x_1 x_2) \rangle & \text{(Proposition 38)} \\ &= \langle a, (g \mapsto \pi_1(g)x_1)(g \mapsto \pi_2(g)x_2) \rangle \\ &= \langle a, g \mapsto \pi_1(g)x_1 \rangle \cdot x_2 + x_1 \cdot \langle a, g \mapsto \pi_2(g)x_2 \rangle & \text{(*Diff.* \& *Anal.* *Man.*, R, 5.5.6)} \\ &= ((L(\pi_1)a)x_1) \cdot x_2 + x_1 \cdot ((L(\pi_2)a)x_2) & \text{(Proposition 38)}. \end{align*}

推论 1 0AB5

设* $G$ *为李群，* $E_1, \ldots, E_{n+1}$ *完全可范化空间和* $\pi_1, \ldots, \pi_{n+1}$ *对* $G$ *解析线性表示* $E_1, \ldots, E_{n+1}$ 。让

E = \mathscr{L}(E_1, \ldots, E_n; E_{n+1})

将

E_1 \times \cdots \times E_n

的连续多线性映射的完整可规范空间转化为

E_{n+1}

（一般拓扑、章X, § 3, no. 2）。 对于所有

g \in G

，*让*

\pi(g)

成为

E

*的自同构 定义为

(\pi(g)u)(x_1, \ldots, x_n) = \pi_{n+1}(g)(u(\pi_1(g)^{-1}x_1, \ldots, \pi_n(g)^{-1}x_n)).

引用了 3 · 被以下引用 6

引用了 TG X § 3. 特别函数空间, 命题 41, 命题 3, I § 3

被以下引用注, 推论 2, 推论 5, 推论, III § 6, 推论 4, III § 6, 推论 1, III § 6

那么 $\pi$ 是 $G$ 在 $E$ 上的解析线性表示并且

((L(\pi)a)u)(x_1, \ldots, x_n) = -\sum_{i=1}^n u(x_1, \ldots, x_{i-1}, (L(\pi_i)a)x_i, x_{i+1}, \ldots, x_n)

\quad + (L(\pi_{n+1})a)(u(x_1, \ldots, x_n))

对于所有

a \in L(G)

、

u \in E

、

x_1 \in E_1, \ldots, x_n \in E_n

。

$\mathscr{L}(E_1) \times \cdots \times \mathscr{L}(E_{n+1})$ 定义的每个元素 $(A_1, \ldots, A_{n+1})$ $E$ 的连续自同态 $\theta(A_1, \ldots, A_{n+1})$ 公式

(\theta(A_1, \ldots, A_{n+1})u)(x_1, \ldots, x_n) = A_{n+1}(u(A_1x_1, \ldots, A_nx_n)).

\mathscr{L}(E_1) \times \cdots \times \mathscr{L}(E_{n+1})

到

\mathscr{L}(E)

的映射

\theta

是连续且多重线性的。那么，对于所有

g \in G

，

\pi(g) = \theta(\pi_1(g^{-1}), \ldots, \pi_n(g^{-1}), \pi_{n+1}(g))

因此

\pi

是解析的。我们应用命题41到映射

(x_1, \ldots, x_n, u) \mapsto u(x_1, \ldots, x_n)

E_1 \times \cdots \times E_n \times E

变为

E_{n+1}

。然后

\pi_{n+1}(g)(u(x_1, \ldots, x_n)) = (\pi(g)u)(\pi_1(g)x_1, \ldots, \pi_n(g)x_n)

因此

(L(\pi_{n+1})a)(u(x_1, \ldots, x_n)) = \sum_{i=1}^n u(x_1, \ldots, (L(\pi_i)a)x_i, \ldots, x_n)

\quad + ((L(\pi)a)u)(x_1, \ldots, x_n).

当 $E_i$ 为有限维时， $L(G)$ 的表示 $L(\pi)$ 是由表示 $L(\pi_1), \ldots, L(\pi_{n+1})$ 根据章I, § 3、命题3的过程推导出来的。

推论 2 0AB6

令 $G$ 为李群，且 $\pi$ 为 $G$ 在完全可规范空间 $E$ 上的解析线性表示。 Then $g \mapsto {}^t\pi(g)^{-1}$ is an analytic linear representation $\rho$ of $G$ on the complete normable space $\mathscr{L}(E, K)$ \footnote{As when $K = \mathbf{R}$ or $\mathbf{C}$ , the transpose ${}^t\pi(g)$ considered here is the restriction to $\mathscr{L}(E, K)$ of the transpose of $\pi(g)$ in the purely algebraic sense.} and $L(\rho)a = -{}^t(L(\pi)a)$ for all $a \in L(G)$ .

引用了 2

引用了推论 1, I § 3. 。表示

这是推论 1 的一个特例。

$\rho$ 被称为 $\pi$ 的*反对* 表示。

当 $E$ 是有限维时， $L(\rho)$ 是 $L(\pi)$ 的对偶表示，即章I, § 3, no. 3。

推论 3 0AB7

令 $G$ 为李群，并且 $\pi_1, \ldots, \pi_n$ 在有限维向量空间 $E_1, \ldots, E_n$ 上解析 $G$ 的线性表示。则 $G$ (附录)的表示 $\pi_1 \otimes \cdots \otimes \pi_n$ 解析， $L(\pi_1 \otimes \cdots \otimes \pi_n)$ 为 $L(\pi_1), \ldots, L(\pi_n)$ 的张量积。

引用了 1 · 被以下引用 2

引用了命题 41

被以下引用推论 4, 推论 2, VIII § 7

$\mathscr{L}(E_1) \times \cdots \times \mathscr{L}(E_n)$ 到 $\mathscr{L}(E_1 \otimes \cdots \otimes E_n)$ 的映射 $(A_1, \ldots, A_n) \mapsto A_1 \otimes \cdots \otimes A_n$ 是多线性的，从而 $\pi$ 是解析的。考虑 $E_1 \times \cdots \times E_n$ 中的映射 $(x_1, \ldots, x_n) \mapsto x_1 \otimes \cdots \otimes x_n$

E_1 \otimes \cdots \otimes E_n.

到命题41，我们看到

(L(\pi)a)(x_1 \otimes \cdots \otimes x_n) = \sum_{i=1}^n x_1 \otimes \cdots \otimes (L(\pi_i)a)x_i \otimes \cdots \otimes x_n

对于所有

a \in L(G)

，

x_i \in E_i

对于

1 \leq i \leq n

。因此

L(\pi)

是

L(\pi_i)

的张量积。

推论 4 0AB8

令 $G$ 为李群，且 $\pi$ 为 $G$ 在有限维向量空间 $E$ 上的解析线性表示。然后对 $G$ (附录)的表示 $T^n(\pi)$ 、 $S^n(\pi)$ 和 $\wedge^n(\pi)$ 进行解析，

L(T^n(\pi)) = T^n(L(\pi)), \quad L(S^n(\pi)) = S^n(L(\pi)), \quad L(\wedge^n(\pi)) = \wedge^n(L(\pi)).

这是从推论 3 和命题 40 得出的。

引用了 2

引用了命题 40, 推论 3

推论 5 0AB9

令 $A$ 为有限维代数。假设 $K$ 的特征为0。 $A$ 的自同构群 $\mathrm{Aut}(A)$ 是 $\mathbf{GL}(A)$ 的谎言子群， $L(\mathrm{Aut}(A))$ 是 $A$ 的推导的李代数。

引用了 2 · 被以下引用 1

引用了推论 2, 推论 1

被以下引用推论, III § 6

这是从推论1（适用于 $E = \mathscr{L}(A, A; A)$ ）和命题39的推论2（仅适用于 $E$ 由……组成的子集， $A$ 上的乘法）得出的。

注 0ABA

我们将推论 1 应用于 $G = \mathbf{GL}(F)$ （ $F$ 一个完整的可范数空间）、 $\pi_1 = \pi_2 = \mathrm{Id}_G$ 和 $\pi_3$ $G$ 的平凡表示在 $K$ 上。我们在 $\mathscr{L}(F, F; K)$ 上获得 $\mathbf{GL}(F)$ 的解析表示 $\pi$ 。我们假设 $F$ 是有限维的， $K$ 的特征为0。应用推论2到命题39到 $\pi$ ，我们将推论1的部分恢复到命题37。

引用了 3

引用了推论 1, 推论 2, 推论 1

命题 42 0ABB

令 $G$ 为李群， $X$ 为 $X$ 上 $G$ 的解析左（或右）运算的解析流形， $(g, x) \mapsto gx$ （或 $xg$ ）律，并且 $X$ 的 $x_0$ 点在 $G$ 下不变。对于所有 $g \in G$ ，令 $\tau(g)$ 为 $X$ 的自同构 $x \mapsto gx$ （分别为 $xg$ ），令 $\pi(g)$ 为 $T_{x_0}(X)$ 在 $x_0$ 处的切线自同构到 $\tau(g)$ 。 (i) $\pi$ 是 $G$ （或 $G^\vee$ ）在 $T_{x_0}(X)$ 上的解析表示。 (ii) 对于所有 $a \in L(G)$ 和所有 $\xi_0 \in T_{x_0}(X)$ ， $L(\pi)a.\xi_0$ 可以计算如下：令 $D_a$ 为向量域，由 $a$ 在 $X$ 和 $\xi$ 向量上定义类 $C^1$ 的域在 $x_0$ 的开邻域中，使得 $\xi(x_0) = \xi_0$ ；然后

L(\pi)a.\xi_0 = -[D_a, \xi](x_0).

引用了 2 · 被以下引用 2

引用了命题 16, III § 1, III § 2. 。群向量与李群的切线

被以下引用推论 3, 命题 44

$\tau(gg') = \tau(g)\tau(g')$ （或 $\tau(g')\tau(g)$ ），因此 $\pi(gg') = \pi(g)\pi(g')$ （或 $\pi(g')\pi(g)$ ）。另一方面，由于 $TX$ 是类 $C^\omega$ （§ 1, no. 8，命题16）的向量G丛， $\pi$ 是解析的，从而(i)。

为了证明(ii)，假设G在左边运算。 K 中存在 0 的开邻域 I，G 中存在 I 的解析映射 $\gamma$ ，使得 $\gamma(0) = e, T_0(\gamma)1 = a$ 。那么 $D_a$ 就是 X 上的向量域，由 $I \times X$ 的映射 $\phi : (\lambda, x) \mapsto \gamma(\lambda)x$ 定义为 X (§ 2, no. 2)。如果 $\phi_\lambda$ 表示 X 的双射 $x \mapsto \gamma(\lambda)x$ 到 X，则

[D_a, \xi](x_0) = \left( \frac{d}{d\lambda} (T_{\phi_\lambda(x_0)}(\phi_\lambda^{-1})\xi(\phi_\lambda(x_0))) \right)_{\lambda=0} \quad (\text{Diff. \& Anal. Man., R,}

= \left( \frac{d}{d\lambda} (T_{x_0}(\phi_\lambda^{-1})\xi_0) \right)_{\lambda=0}

= \left( \frac{d}{d\lambda} (\pi(\gamma(\lambda))^{-1}\xi_0) \right)_{\lambda=0}.

由于映射 $\lambda \mapsto \gamma(\lambda)^{-1}$ 和 $\lambda \mapsto \gamma(-\lambda)$ 在0处相切，这也等于

- \left( \frac{d}{d\lambda} (\pi(\gamma(\lambda))\xi_0) \right)_{\lambda=0}

= - \left( \frac{d}{d\lambda} (\pi \circ \gamma)(\lambda) \right)_{\lambda=0} \xi_0

= -L(\pi)a.\xi_0.

12. 伴随表示

令 G 为李群。考虑解析左运算的律

(g, g') \mapsto gg'g^{-1} = (\operatorname{Int} g)g'

这个运算定义的律，通过no. 3，

\mathscr{T}^{(\infty)}(G) \times \mathscr{T}^{(\infty)}(G)

到

\mathscr{T}^{(\infty)}(G)

的双线性映射，我们将在这个数中用

\tau

表示。截至命题 13 / no. 3，

(t * t') \tau t'' = t \tau (t' \tau t'')

对于

\mathscr{T}^{(\infty)}(G)

中的所有

t, t', t''

。截至命题 14 (i) / no. 3，

\varepsilon_g \tau t = (\operatorname{Int} g)_*t

对于所有

g \in G

和

t \in \mathscr{T}^{(\infty)}(G)

。特别是，

\mathscr{T}^{(\infty)}(G)

到

\mathscr{T}^{(\infty)}(G)

的映射

t \mapsto \varepsilon_g \tau t

是大数

\mathscr{T}^{(\infty)}(G)

的自同构。其限制至

U(G), U_s(G), L(G)

用

\operatorname{Ad}_{U(G)}(g), \operatorname{Ad}_{U_s(G)}(g), \operatorname{Ad}_{L(G)}(g)

表示。为了避免混淆，我们经常写

\operatorname{Ad}(g)

而不是

\operatorname{Ad}_{L(G)}(g)

。根据(23)，

\operatorname{Ad}(g)

是映射在e到

\operatorname{Int}(g)

的切线。正常的自同构

李代数 $\mathbf{L}(G)$ 。当 $K$ 的特征为0时， $\mathrm{Ad}_{\mathbf{U}(G)}(g)$ 是 $\mathbf{U}(G)$ 唯一的自同构，即扩展 $\mathrm{Ad}(g)$ 。

如果 $\phi$ 是李群 $G$ 到李群 $H$ 的态射，那么

\phi_*(t \top t') = \phi_*(t) \top \phi_*(t')

对于

\mathscr{T}^{(\infty)}(G)

中的所有

t, t'

；这是从命题 15 of no. 3 得出的。

命题 43 0ABC

让 $t, u$ 位于 $\mathscr{T}^{(\infty)}(G)$ 中。设 $\sum_{i=1}^n t_i \otimes t'_i$ 为余积下 $t$ 的像。然后*

t \top u = \sum_{i=1}^n t_i * u * {t'_i}^\vee.

到定义， $t \top u$ 是 $G \times G$ 的映射 $(g, g') \mapsto gg'g^{-1}$ 下的 $t \otimes u$ 像变成 $G$ 。现在这个映射是通过组合以下映射得到的：

\begin{aligned} \alpha & : (g, g') \mapsto (g, g, g') & \text{of } G \times G \text{ into } G \times G \times G \\ \beta & : (g, g', g'') \mapsto (g, {g'}^{-1}, g'') & \text{of } G \times G \times G \text{ into } G \times G \times G \\ \gamma & : (g, g', g'') \mapsto gg''g' & \text{of } G \times G \times G \text{ into } G. \end{aligned}

另一方面：

\begin{aligned} \alpha_*(t \otimes u) &= \sum_{i=1}^n (t_i \otimes t'_i) \otimes u = \sum_{i=1}^n t_i \otimes t'_i \otimes u \\ \beta_* \left( \sum_{i=1}^n t_i \otimes t'_i \otimes u \right) &= \sum_{i=1}^n t_i \otimes {t'_i}^\vee \otimes u \\ \gamma_* \left( \sum_{i=1}^n t_i \otimes {t'_i}^\vee \otimes u \right) &= \sum_{i=1}^n t_i * u * {t'_i}^\vee. \end{aligned}

推论 1 0ABD

设 $u \in \mathbf{L}(G)$ 和 $u' \in \mathscr{T}^{(\infty)}(G)$ 。然后 $u \top u' = u * u' - u' * u$ .

被以下引用 1

被以下引用推论 3

余积下的 $u$ 中的像是 $u \otimes \varepsilon_e + \varepsilon_e \otimes u$ 、从而

u \top u' = u * u' * \varepsilon_e + \varepsilon_e * u' * u^\vee = u * u' - u' * u.

推论 2 0ABE

设 $t \in \mathscr{T}^{(\infty)}(G)$ 和 $g \in G$ 。然后 $\varepsilon_g \top t = \varepsilon_g * t * \varepsilon_{g^{-1}}$ 。如果 $t \in \mathbf{L}(G)$ ，则 $\varepsilon_g \top t = gtg^{-1}$ （其中后者乘积在群 $\mathbf{T}(G)$ 中计算）。

余积下的 $\varepsilon_g$ 的像是 $\varepsilon_g \otimes \varepsilon_g$ 。

推论 3 0ABF

设 $a \in \mathbf{L}(G)$ 。向量域由 $a$ 定义， $G$ 在 $G$ 上的左边运算 $g \mapsto \mathrm{Int}\, g$ 是域 $\mathbf{R}_a - \mathbf{L}_a$ 。

引用了 3 · 被以下引用 1

引用了推论 1, 定义 5, 命题 42

被以下引用命题 44

这个域在 $g$ 的值是

\begin{aligned} a \top \varepsilon_g &= a * \varepsilon_g - \varepsilon_g * a & \text{(Corollary 1)} \\ &= (\mathbf{R}_a)_g - (\mathbf{L}_a)_g & \text{(Definition 5)}. \end{aligned}

对于所有 $g \in G$ 和所有 $t \in L(G)$ ，

(\mathrm{Ad}\,g)(t) = \varepsilon_g \top t = \varepsilon_g * t * \varepsilon_g^{-1} = gtg^{-1}.

由于

\mathrm{Ad}\,g = T_e(\mathrm{Int}\,g)

，no. 11的命题 42证明

\mathrm{Ad}

是

G

在可范空间

L(G)

上的解析线性表示。

定义 8 0ABG

表示 G 在 L(G) 上的 Ad 称为 G 的伴随表示。

被以下引用 2

被以下引用定义 9, 命题 2, IX § 6

命题 44 0ABH

对于所有 $a \in L(G)$ ，*

(L(\mathrm{Ad}))(a) = \mathrm{ad}_{L(G)}a.

让

b \in L(G)

。由 no. 11 的命题 42 (ii) 以及推论 3 至命题 43，

(L(\mathrm{Ad}))(a).b = -[R_a - L_{a_1}L_b](e).

现在

R_a \circ L_b = L_b \circ R_a

（no. 6、命题23（ii））、从而

[R_a, L_b] = 0

；然后，使用命题 23 (ii)，

(L(\mathrm{Ad}))(a).b = [L_a, L_b](e) = L_{[a, b]}(e) = [a, b] = (\mathrm{ad}_{L(G)}a)b.

引用了 3 · 被以下引用 7

引用了命题 42, 推论 3, 命题 23

被以下引用命题 45, 引理 4, III § 4, 推论 3, III § 4, 命题 14, III § 6, 命题 10, III § 9, 命题 7, III § 9, 引理 1, IX § 2

命题 45 0ABI

假设G是有限维的并且K的特征为0。令s为整数 $\geqslant 0$ 。那么映射 $\pi : g \mapsto \mathrm{Ad}_{U_s(G)}(g)$ 是 G 在 $U_s(G)$ 和 $L(\pi)a = \mathrm{ad}_{U_s(G)}a$ 上对所有 $a \in L(G)$ 的解析线性表示。

引用了 2 · 被以下引用 1

引用了命题 41, 命题 44

被以下引用推论 6, III § 6

线性表示 $\pi$ 是 $\bigoplus_{r=0}^s \mathrm{Tr}(\mathrm{Ad})$ 的商，因此是解析的。对于 $L(G)$ 中的 $a \in L(G)$ 和 $x_1, x_2, \ldots, x_s$ ，

\begin{align*} (L(\pi)a)(x_1x_2\ldots x_s) &= \sum_{i=1}^s x_1 \ldots (L(\mathrm{Ad})a.x_i) \ldots x_s & \text{(Proposition 41)} \\ &= \sum_{i=1}^s x_1 \ldots ([a, x_i]) \ldots x_s & \text{(Proposition 44)} \\ &= (\mathrm{Ad}_{U_s(G)}a)(x_1x_2\ldots x_s). \end{align*}

命题 46 0ABJ

设 $h \in G, x \in T_h(G)$ 和 $a \in L(G)$ 。设 $\phi$ 为 $G \times G$ 的映射 $(g, g') \mapsto gg'g^{-1}$ 到 $G$ 。 $T_{(e, h)}(\phi)$ 下 $(a, x) \in T_e(G) \times T_h(G)$ 的像y是 $y = x + h((\mathrm{Ad}\,h^{-1})a - a)$ 。我们有*

\begin{align*} y &= (T_{(e, h)}\phi)(a \otimes \varepsilon_h + \varepsilon_e \otimes x) \\ &= a \top \varepsilon_h + \varepsilon_e \top x \\ &= a * \varepsilon_h - \varepsilon_h * a + x \\ &= h((\mathrm{Ad}\,h^{-1})a) - ha + x. \end{align*}

被以下引用 2

被以下引用引理 4, IX § 5, 引理 3, VII § 4

命题 47 0ABK

设 G 为李群，H 和 E 为 G 的子群，并假设对于所有 h \in H，hEh $^{-1}$ = E。则 $\mathscr{T}^{(\infty)}(H) \subset \mathscr{T}^{(\infty)}(E) \subset \mathscr{T}^{(\infty)}(E)$ 。特别是 $\mathrm{Ad}(H)(L(E)) \subset L(E)$ 和 $[L(H), L(E)] \subset L(E)$ 。

被以下引用 2

被以下引用命题 48, 命题 2, III § 7

如果 $t \in \mathscr{T}^{(\infty)}(H)$ 和 $t' \in \mathscr{T}^{(\infty)}(E)$ ，则映射 $(g, g') \mapsto gg'g^{-1}$ 下 $H \times E$ 的 $t \otimes t' \in \mathscr{T}^{(\infty)}(H \times E)$ 和像包含在E中。

命题 48 0ABL

设 G 为李群，H 和 E 位于 G 的子群。假设 G 是 H 通过 E 的半直乘积，如李群。设 $\varphi$ 为李群 G 在 $L(E)$ 上的线性表示 $g \mapsto (\mathrm{Ad}\, g) \mid L(E)$ (cf. 命题 47) 并设 $\sigma$ 为 $\varphi$ 到H的限制。则： (i) $L(G)$ 是 $L(H)$ 和 $L(E)$ 的拓扑直和； (ii) $L(H)$ 是 $L(G)$ 的子代数，并且 $L(E)$ 是 $L(G)$ 的理想； (iii) $L(\sigma)$ 为 $L(E)$ 推导李代数上 $L(H)$ 线性表示； (iv) $L(G)$ 是由 $L(\sigma)$ (章 I, § 1, no. 8) 定义的 $L(E)$ 对 $L(H)$ 的半直接乘积。

引用了 2 · 被以下引用 1

引用了命题 47, I § 1. 。定义共李代数

被以下引用推论

(i) 是显而易见的，并且 (ii) 由命题 47. $L(\sigma) = L(\varphi) \mid L(H)$ 得出。现在，通过命题 40 (no. 11) 和 44 (no. 12)，对于所有 $t \in L(G)$ ， $L(\varphi)(t)$ 是 $\mathrm{ad}_{L(G)} t$ 到 $L(E)$ 的限制。这就证明了(iii)。利用(i)和(ii)，这也证明了(iv)。

推论 0ABM

令 G 为李群。让 $T_e(G)$ 被赋予其唯一的交换律李代数结构。设 $\tau$ 是 $L(G)$ 的伴随表示。那么 $T(G)$ 的李代数就是 $\tau$ 定义的 $T_e(G)$ 对 $L(G)$ 的半直接乘积。在其他字中，对于 $L(G)$ 中的 $x, x'$ 和 $T_e(G)$ 中的 $y, y'$ ，

[(x, y), (x', y')] = ([x, x'], [x, y'] + [y, x'])

引用了 2

引用了命题 6, III § 2, 命题 48

（其中左侧括号在 $L(T(G))$ 中计算，右侧括号在 $L(G)$ 中计算）。

这是从 § 2, no. 2 的命题 48 和命题 6 得出的。

命题 49 0ABN

设 A 是完全规范单位结合律代数。我们认同 A 与 $L(A^*)$ 。那么，如果 $g \in A^*$ 和 $y \in A$ ，则 $(\mathrm{Ad}\, g)y = gyg^{-1}$ 。

回想一下 $\mathrm{Ad}\, g = T_1(\mathrm{Int}\, g)$ 。令 $u_g$ 为A到A的映射 $x \mapsto gxg^{-1}$ 。 $A^*$ 到变换 $\mathrm{Int}\, g$ 到 $u_g \mid A^*$ 的恒等图。 $A^*$ 的每个点与此映射的切线映射等于 $u_g$ 、从而命题。

推论 0ABO

对于所有 $g \in A^*$ ，令 $i(g)$ 为 A 的自同构 $y \mapsto gyg^{-1}$ ，因此 $i$ 是 A 上 $A^*$ 的解析线性表示。对于所有 $z \in L(A^*) = A, L(i)z$ 为内部推导 A 的 $y \mapsto zy - yz$ 。

这是从命题 49 和 44 得出的。

13. 张量和不变形式

令 G 为李群。我们认为 G 通过左（或右）平移对其自身进行操作。令 $\lambda$ 为同构的类 $C^\omega$ 的向量函子。那么 $\lambda(\mathrm{TG})$ 是解析左（或右）向量 G 丛（§ 1, no. 8，命题 16 的推论）。 $G \times \lambda(\mathrm{L}(G))$ 到 $\lambda(\mathrm{TG})$ 的映射 $(g, u) \mapsto gu$ （分别 $ug$ ）是向量G束（§ 7, no. 8）的同构 $\phi$ （分别 $\psi$ ），推论2到命题17)。 $\lambda(\mathrm{TG})$ 的每个 G 不变量截面都是解析的，并由其在 $e$ 处的值确定（§ 1, no. 8，推论 1 到命题 17）。这样的截面被称为*左*（或*右*）*不变*。令 $\sigma$ 为 $\lambda(\mathrm{TG})$ 的左不变量截面； $\sigma$ 的变换 $\sigma'$ 在正确翻译 $\delta(g)$ 下由 $\sigma'(\delta(g)h) = \lambda(\mathrm{T}_h(\delta(g)))\sigma(h)$ 定义为所有 $h \in G$ ；它也是保持不变的；它也是从 $\sigma$ 到 $\gamma(g) \circ \delta(g) = \mathrm{Int}(g)$ 衍生而来，因此

\sigma'(e) = \lambda(\mathrm{Ad}\ g)\cdot \sigma(e).

类似地，令 $\tau$ 为 $\lambda(\mathrm{TG})$ 的右不变量截面；左翻译 $\gamma(g)$ 下的 $\tau$ 变换 $\tau'$ 也是右变体并且

\tau'(e) = \lambda(\mathrm{Ad}\ g)\cdot \tau(e).

现在，我们将 $G \times G$ 视为在左侧的 $G$ 上进行操作

((g, g'), g'') \mapsto gg''{g'}^{-1}.

那么 G 是 $G \times G$ (§ 1, no. 6, 例) 的左李齐次空间。因此 $\lambda(\mathrm{TG})$ 是解析左向量 $(G \times G)$ 丛。如果 $\lambda(\mathrm{TG})$ 的截面在 $\lambda(\mathrm{TG})$ 上的 $G \times G$ 的作用下是不变的，则称为*双不变*，在其他字中，如果它在左右平移下是不变的。设 $\lambda(\mathrm{L}(G))_0$ 为 $\lambda(\mathrm{L}(G))$ 元素集合在 $\lambda(\mathrm{Ad}(G))$ 下不变。对于所有 $u \in \lambda(\mathrm{L}(G))_0$ ，令 $\sigma_u$ 为 $G$ 的映射进入由 $\sigma_u(g) = gu = ug$ 定义的 $\lambda(\mathrm{TG})$ 。那么 $u \mapsto \sigma_u$ 是 $\lambda(\mathrm{L}(G))_0$ 的双射到 $\lambda(\mathrm{TG})$ 的双不变截面的集合（§ 1, no. 8，推论1到命题17）。

命题 50 0ABP

设 G 为李群（如果 K 的特征 > 0，则假定为有限维）。令E为 $\mathrm{T}_e(G)$ 上次数 k 的连续交替多重线性形式的向量空间。对于所有 $u \in E$ ，令 $\omega^u$ 为G上次数k的微分形式，使得 $(\omega^u)_g$ 是 $\mathrm{T}_g(G)$ 上的多重线性形式，通过平移 $h \mapsto gh$ （或 $h \mapsto hg$ ）从u导出。那么 $\omega^u$ 在 G 上是解析的且左（或右）不变的。映射 $u \mapsto \omega^u$ 是 E 的同构到 G 上次数 k 的左（或右）不变微分形式的向量空间。

被以下引用 2

被以下引用 IX § 6. 。集成紧李群, 定理 2, IX § 6

这是我们上面所说的一个特例。

设 F 是完全可范空间。如果 G 上的微分形式和 K 中的值被 G 上的微分形式和 F 中的值替换，命题 50 仍然为真。对于 F 中 $\mathrm{T}_e(G)$ 的每个连续线性映射 $u$ ，都存在一个微分形式 G 上次数 1 的 $\omega^u$ ，F 上有值，使得 $(\omega^u)_g = u \circ \mathrm{T}_g(\gamma(g)^{-1})$ 。特别是取 $F = \mathrm{T}_e(G)$ 和 $u = \mathrm{Id}_{\mathrm{T}_e(G)}$ 。然后我们获得 $G$ 上的微分形式 $\omega$ ，使得 $\omega_g = T_g(\gamma(g^{-1}))$ ；这个微分形式是左不变的和解析的；它被称为 $G$ 的*左规范微分形式*。 $\omega_g(t) = g^{-1}t$ 对于所有 $t \in T_g(G)$ 。

如果 $F$ 又是任意完全范数空间和 $u \in \mathscr{L}(T_e(G), F)$ ，则 $\omega^u = u \circ \omega$ 。特别是（取 $F = K$ ），映射 $v \mapsto v \circ \omega$ 是 $T_e(G)$ 的对偶到向量空间的线性双射，次数1的微分形式与 $K$ 中的值保持不变 $G$ 以下。

类似地， $G$ 上的微分形式 $\omega'$ 使得 $\omega'_g = T_g(\delta(g))$ 被称为 $G$ 的*右规范微分形式*。 $\omega$ 也有类似的性质，我们留给读者来说明。将 $G$ 的映射 $g \mapsto g^{-1}$ 转换为 $G$ 变换 $\omega$ 转换为 $\omega'$ 。

14.毛雷尔-嘉当公式

如果 $K$ 具有特征 $> 0$ ，则令 $X$ 为类、 $C^r$ 的流形、有限维，并令 $L$ 为完全规范的李代数。令 $\alpha$ 为 $X$ 上次数1的微分形式与类 $C^{r-1}$ 的 $L$ 中的值。让 $x \in X$ 。映射

(u_1, u_2) \mapsto [\alpha_x(u_1), \alpha_x(u_2)]

$T_x(X) \times T_x(X)$ 到 $L$ 是 $T_x(X)$ 上的连续交错的双线性形式， $L$ 中有值。我们用 $[\alpha]^2_x$ 来表示它，因此 $[\alpha]^2$ 是 $X$ 上的次数2与 $L$ 上的值的微分形式。识别 $X$ 中 $x$ 的开邻域与Banach空间的开子集，我们立即发现 $[\alpha]^2$ 是类 $C^{r-1}$ 。如果 $X'$ 是类 $C^r$ 中的流形并且 $f : X' \to X$ 是态射，那么

[f^*(\alpha)]^2 = f([\alpha]^2).

令 $\alpha, \beta$ 为 $X$ 上次数1的二微分形式与类 $C^{r-1}$ 的 $L$ 中的值。 $\alpha$ 和 $\beta$ 的外部乘积 $\alpha \wedge \beta$ （*可微分和解析流形*，R，7.8.2）是 $X$ 上次数 2 的微分形式与值 $L$ 类 $C^{r-1}$ ；我们有

(\alpha \wedge \beta)_x(u_1, u_2) = [\alpha_x(u_1), \beta_x(u_2)] - [\alpha_x(u_2), \beta_x(u_1)]

对于 $T_x(X)$ 中的 $u_1, u_2$ 。就是直接的

[\alpha + \beta]^2 = [\alpha]^2 + [\beta]^2 + \alpha \wedge \beta

\alpha \wedge \alpha = 2[\alpha]^2.

命题 51 0ABQ

如果 $K$ 具有特征 $> 0$ ，则令 $G$ 为有限维的李群，并令 $a_1, \ldots, a_p$ 为 $L(G)$ 的元素， $F$ 为完全规范的空间，并且 $\alpha$ $G$ 上次数 $p-1$ 的形式与 $F$ 上值的差值。如果 $\alpha$ 保持不变，则

引用了 1 · 被以下引用 3

引用了命题 23

被以下引用推论 1, 定理 2, IX § 6, 推论 1, IX § 6

(d\alpha)_e(a_1, \ldots, a_p) = \sum_{i<j} (-1)^{i+j} \alpha_e([a_i, a_j], a_1, \ldots, a_{i-1}, a_{i+1}, \ldots, a_{j-1}, a_{j+1}, \ldots, a_p).

如果 $\alpha$ 是右不变量，那么

(d\alpha)_e(a_1, \ldots, a_p) = - \sum_{i < j} (-1)^{i+j} \alpha_e([a_i, a_j], a_1, \ldots, a_{i-1}, a_{i+1}, \ldots, a_{j-1}, a_{j+1}, \ldots, a_p).

假设

\alpha

保持不变。由 可微分和解析流形, R, 8.5.7, 则

(d\alpha)(L_{a_1}, \ldots, L_{a_p}) = \sum_i (-1)^{i-1} L_{a_i} \alpha(L_{a_1}, \ldots, L_{a_{i-1}}, L_{a_{i+1}}, \ldots, L_{a_p}) + \sum_{i < j} (-1)^{i+j} \alpha([L_{a_i}, L_{a_j}], L_{a_1}, \ldots, L_{a_{i-1}}, L_{a_{i+1}}, \ldots, L_{a_{j-1}}, L_{a_{j+1}}, \ldots, L_{a_p}).

但是 G 上的函数

\alpha(L_{a_1}, \ldots, L_{a_{i-1}}, L_{a_{i+1}}, \ldots, L_{a_p})

保持不变，因此是常数。因此

L_{a_i} \alpha(L_{a_1}, \ldots, L_{a_{i-1}}, L_{a_{i+1}}, \ldots, L_{a_p}) = 0.

此外，

[L_{a_i}, L_{a_j}] = L_{[a_i, a_j]}

(命题 23)、从而命题 51 中的第一个公式。第二个可以类似地建立，这次使用关系

[R_{a_i}, R_{a_j}] = -R_{[a_i, a_j]}

。

推论 1 0ABR

如果K的特征> 0，则令G为有限维的李群，并且 $\omega$ 和 $\omega'$ 为G的左右规范微分形式。则*

d\omega + [\omega]^2 = 0, \qquad d\omega' - [\omega']^2 = 0.

到命题51，

(d\omega)_e(a_1, a_2) = -\omega_e([a_1, a_2]) = -[a_1, a_2] = -[\omega_e(a_1), \omega_e(a_2)] = -[\omega]^2_e(a_1, a_2)

从而第一个公式。第二个可以类似地建立。

引用了 1 · 被以下引用 1

引用了命题 51

被以下引用命题 60

推论 2 0ABS

假设 G 是有限维的。令 $(e_1, \ldots, e_n)$ 为 $L(G)$ 、 $(e_1^*, \ldots, e_n^*)$ 对偶基、 $(c_{ijk})$ 的基、 $L(G)$ 的结构相对于基、 $(e_1, \ldots, e_n)$ 和 $\omega_i$ 的常数（分别为： $\omega'_i$ ) G 上的左（或右）不变微分形式与 K 中的值，使得 $(\omega_i)_e = e_i^*$ （或 $(\omega'_i)_e = e_i^*$ ）。然后*

d\omega_k + \sum_{i < j} c_{ijk} \omega_i \wedge \omega_j = 0 \quad (k = 1, 2, \ldots, n)

d\omega'_k - \sum_{i < j} c_{ijk} \omega'_i \wedge \omega'_j = 0 \quad (k = 1, 2, \ldots, n).

如果

r < s

，

(d\omega_k)_e(e_r, e_s) = -(\omega_k)_e([e_r, e_s]) = -\sum_i c_{rsi} (\omega_k)_e(e_i) = -c_{rsk} = -\sum_{i < j} c_{ijk} (\omega_i \wedge \omega_j)_e(e_r, e_s).

\omega'_k

的论证类似。

15. 不变微分形式的构造

引理 2 0ABT

设G为李群，U为G中e的对称开邻域，E为完全规范空间， $\phi : U^2 \to E$ 为解析映射。对于所有 $g \in U$ ，令 $\omega_g$ 为映射 $h \mapsto \phi(g^{-1}h)$ 在点g处的微分。那么 $\omega$ 对于G上的左不变微分形式的U来说是限制，其在e处的值是 $d_e \phi$ 。

被以下引用 2

被以下引用命题 52, 命题 53

显然 $\omega_e = d_e \phi$ 。对于所有 $g \in U$ 和所有 $t \in T_e(G)$ ，

\langle \omega_g, T_e(\gamma(g))t \rangle = \langle d_g(\phi \circ \gamma(g)^{-1}), T_e(\gamma(g))t \rangle \\ = \langle d_e \phi \circ T_g(\gamma(g)^{-1}), T_e(\gamma(g))t \rangle = \langle d_e \phi, t \rangle

因此 $\omega_g$ 是由 $d_e \phi$ 通过 $T_e(\gamma(g))$ 衍生而来。

命题 52 0ABU

令 n 为整数 > 0，G 为 n 维李群，U 为 G 中 e 的对称开邻域， $\psi : U^2 \to K^n$ 为 G 的图，使得 $\psi(e) = 0$ 。如果 $(x_1, \ldots, x_n)$ 是 $x \in \psi(U)$ 的坐标， $(y_1, \ldots, y_n)$ 是 $y \in \psi(U)$ 的坐标，我们表示为

m_1(x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n), \ldots, m_n(x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n)

引用了 1 · 被以下引用 1

引用了引理 2

被以下引用注

$\psi(\psi^{-1}(x)^{-1}\psi^{-1}(y))$ 的坐标。那么，如果我们写，对于 $1 \leq k \leq n$ ，

\varpi_k(x_1, \ldots, x_n) = D_{n+1} m_k(x_1, \ldots, x_n, x_1, \ldots, x_n) dx_1 + \cdots \\ + D_{2n} m_k(x_1, \ldots, x_n, x_1, \ldots, x_n) dx_n,

$\psi(U)$ 上的微分形式 $\varpi_k$ 是通过 $\psi$ 从G上的左不变微分形式导出的，并且使得 $\varpi_k(0, \ldots, 0) = dx_k$ 。

我们将引理 2 与 $E = K$ 相乘，将 $\phi(g)$ 作为指标 k 的 $\psi(g)$ 的坐标。我们得到微分形式 $\omega_k$ ；设 $\varpi_k$ 为 $\psi$ 下的变换。 $(x_1, \ldots, x_n)$ 处 $\varpi_k$ 的值是函数 $y \mapsto m_k(x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n)$ 在 $(x_1, \ldots, x_n)$ 的微分；因此，这个值由公式 (32) 给出。然后使用引理 2 的结论就足够了。

命题 53 0ABV

设G为李群，A为G的完全可规范代数和 $\phi$ 李群态射为 $A^*$ 。对于所有 $g \in G$ ，令 $\omega_g = \phi(g)^{-1} d_g \phi$ 。那么 $\omega$ 是G上的左不变微分形式，其在e处的值是 $d_e \phi$ 。

引用了 1

引用了引理 2

我们将引理 2 与 $E = A$ 和 $U = G$ 一起应用。映射 $h \mapsto \phi(g^{-1}h) = \phi(g)^{-1} \phi(h)$ 处的 g 差为 $\phi(g)^{-1} d_g \phi$ 。

16.HAAR 测量李群

令 G 为有限维 n 的李群。则 $\bigwedge^n(T_e(G))$ 为维数 1。因此，G 上次数 n 的左不变微分形式的 (no. 13) 向量空间 S 为维数 1。令 $(\omega_1, \ldots, \omega_n)$ 为空间的基 G 上次数 1 的左不变微分形式；那么 $\omega_1 \wedge \omega_2 \wedge \cdots \wedge \omega_n$ 就是 S 的基。

命题 54 0ABW

令 G 为有限维 n 的李群，ω 为 G 上次数 n 的左不变微分形式和 G 的 φ 自同态。则

\phi^*(\omega) = (\det L(\phi)) \omega.

被以下引用 1

被以下引用命题 55

我们写 $L(\phi) = u$ 、 $\omega_e = f$ 和 $\phi^*(\omega)_e = g$ 。对于 $L(G)$ 中的所有 $x_1, \ldots, x_n$ ，

g(x_1, \ldots, x_n) = f(ux_1, \ldots, ux_n) = (\det u)f(x_1, \ldots, x_n)

因此 $\phi^*(\omega)_e = \det L(\phi) \cdot \omega_e$ 。另一方面，如果 $g \in G$ ，

\phi \circ \gamma(g) = \gamma(\phi(g)) \circ \phi

因此 $\gamma(g)^*\phi^*(\omega) = \phi^*(\omega)$ 。因此 $\phi^*(\omega)$ 保持不变，从而命题。

推论 0ABX

对于所有 $g \in G$ ，

\delta(g)^*\omega = (\det \mathrm{Ad}\, g) \omega.

\delta(g)^*\omega = \delta(g)^*\gamma(g)^*\omega = (\mathrm{Int}\, g)^*\omega \text{ and } L(\mathrm{Int}\, g) = \mathrm{Ad}\, g.

被以下引用 1

被以下引用 IX § 6. 。集成紧李群

设G是G的局部紧致群和φ自同态。假设存在e的开邻域V、 $V'$ ，使得 $\phi(V) = V'$ 和 $\phi|V$ 是G到G的局部同构。令μ为G上的左Haar测度。通过积分，章 VII, § 1，推论命题 9，存在唯一的数 $a > 0$ ，使得 $\phi(\mu|V) = a^{-1}\mu|V'$ 。显然 a 独立于 V、 $V'$ 和 μ 中的选择。它称为 φ 的模数，用 $\mathrm{mod}_G \phi$ 或简称为 $\mathrm{mod}\, \phi$ 表示。当 φ 是 G 的自同构时，我们恢复积分的定义 4，章 VII, § 1。

命题 55 0ABY

假设 K 是局部紧致的。令 μ 为 K 的加法群上的 Haar 测度。令 G 为有限维 n 的李群。

引用了 1 · 被以下引用 2

引用了命题 54

被以下引用习题 2, § 3, 推论

(i) 令 ω 为 G 上次数 n 的非零左不变微分形式。则测度 $\mathrm{mod}(\omega)_\mu$ （可微且解析流形, R, 10.1.6）是 G 上的左 Haar 测度。如果 $K = \mathbf{R}$ 且 G 具有由 ω 定义的方向，则测度由 ω（可微且解析流形, R, 10.1.6）定义。解析流形, R, 10.4.3) 是 G 上的左 Haar 测度。

(ii) 令 φ 为 G 的 etale 自同态。然后为 $\mathrm{mod}\, \phi = \mathrm{mod}\, \det L(\phi)$ 。

(i) 是显而易见的。令V、 $V'$ 为e的开邻域，使得 $\phi(V) = V'$ 和 $\phi|V$ 是G到G的局部同构。则

\phi^{-1}(\mathrm{mod}(\omega)_\mu|V') = \mathrm{mod}(\phi^*(\omega))_\mu|V) \quad \text{by transport of structure}

= \mathrm{mod}(\det L(\phi)\omega|V)_\mu \quad \text{(Proposition 54)}

= \mathrm{mod}\, \det L(\phi)(\mathrm{mod}(\omega)_\mu|V)

从而 $\mathrm{mod}\, \phi = \mathrm{mod}\, \det L(\phi)$ 乘定义共 $\mathrm{mod}\, \phi$ 。

推论 0ABZ

对于所有 $g \in G$ ， $\Delta_G(g) = (\operatorname{mod} \det \operatorname{Ad} g)^{-1}$ 。 In particular, for $G$ to be unimodular, it is necessary and sufficient that $\operatorname{mod} \det \operatorname{Ad} g = 1$ for all $g \in G$ .

\Delta_G(g) = (\operatorname{mod} \operatorname{Int} g)^{-1} \quad \text{(Integration, Chapter VII, § 1, formula (33))} = (\operatorname{mod} \det L(\operatorname{Int} g))^{-1} \quad \text{(Proposition 55)} = (\operatorname{mod} \det \operatorname{Ad} g)^{-1}.

引用了 1 · 被以下引用 2

引用了命题 55

被以下引用命题 56, 推论 4, III § 6

注 0AC0

保留命题 52 的假设和记号，假设 $K$ 是局部紧致的。设 $\mu$ 为度量

\operatorname{mod} \det(D_{n+i}m_k(x_1, \ldots, x_n, x_1, \ldots, x_n))_{1 \leq i, k \leq n} dx_1 \ldots dx_n

在

\psi(U)

。那么

\psi^{-1}(\mu)

是

G

上哈尔测度的限制到

U

。

引用了 1

引用了命题 52

命题 56 0AC1

令 $G$ 为有限维 $n$ 的李群， $H$ 一个 $p$ 维李子群和 $X$ 李齐次空间 $G/H$ 。假设

\det \operatorname{Ad}_{L(G)} h = \det \operatorname{Ad}_{L(H)} h

对于所有

h \in H

。然后： (i) 次数

n - p

在

X

上的微分形式在

G

下不变，是解析的。 (ii) 这些形式中的向量空间是维数 1。 (iii) 如果

\omega

是这样一个非零形式并且

K

是局部紧致的，

\operatorname{mod}(\omega)_\mu

是

X

上的非零测度，它在

G

下是不变的。

引用了 3 · 被以下引用 1

引用了 III § 1. 。李群, 推论 1, III § 1, 推论

被以下引用 IX § 6. 。集成紧李群

由 § 1, no. 8、例、 $\operatorname{Alt}^{n-p}(TX, K)$ 是解析的向量 $G$ 丛。令 $x_0$ 为 $X$ 中 $e$ 的典范像；它的稳定子是 $H$ 。 $\operatorname{Alt}^{n-p}(TX, K)$ 在 $x_0$ 处的纤维是 $\bigwedge^{n-p} T_{x_0}(X)^*$ ， $T_{x_0}(X)$ 被规范地识别为 $L(G)/L(H)$ 。如果 $h \in H$ ， $h$ 定义的 $X$ 的自同构 $\tau_h$ 是在经过与 $G$ 的自同构 $g \mapsto hgh^{-1}$ 的商导出的。因此，当经过与 $\operatorname{Ad}_{L(G)}(h)$ 的商时，可得出自同构 $T_{x_0}(\tau_h)$ 。作为

\det \operatorname{Ad}_{L(G)} h = (\det \operatorname{Ad}_{L(H)} h) \cdot (\det T_{x_0}(\tau_h)),

假设意味着

\det T_{x_0}(h) = 1

。因此，

\bigwedge^{n-p} T_{x_0}(X)^*

的每个元素在

H

下都是不变的。那么(i)和(ii)从§ 1, no. 8，推论1到命题17，(iii)是显而易见的。

$G$ 下 $X$ 不变量存在非零正测度，可从积分章 VII, § 2，推论 2 到定理 3 得出，对于命题 56 的假设意味着 $\Delta_G|H = \Delta_H$ （推论命题55）。

命题 57 0AC2

设 $G$ 为有限维 $n$ 中的李群。选择基 $\bigwedge^n T_e(G)^*$ ；通过 $\bigwedge^n T(G)^*$ 的右（或左）平凡化，我们用平凡的向量丛 $G \times K$ 来可以确定这个向量丛，这样标量微分算子的转置就可以用标量微分算子来标识。

引用了 2 · 被以下引用 1

引用了命题 23, 命题 7

被以下引用推论

那么，如果 $u \in U(G)$ ， $L_u$ （或 $R_u$ ）的转置是 $L_u^\nu$ （或 $R_u^\nu$ ）。

我们将考虑使用右不变量形式 $\omega$ 来简化 $\Lambda^n T(G)^*$ 的情况。

假设命题已被证明适用于 $U(G)$ 的元素 $u_1, u_2$ 。然后，

\begin{align*} t(L_{u_1 * u_2}) &= t(L_{u_1} \circ L_{u_2}) & \text{(Proposition 23)} \\ &= t(L_{u_2}) \circ t(L_{u_1}) & \text{(\emph{Diff. \& Anal. Man.}, R, 14.3.3)} \\ &= L_{u_2}^\nu \circ L_{u_1}^\nu & \text{by hypothesis} \\ &= L_{u_2 * u_1}^{\nu \nu} & \text{(Proposition 23)} \\ &= L_{(u_1 * u_2)^\nu} & \text{(Proposition 7)} \end{align*}

因此命题对于 $u_1 * u_2$ 是正确的。因此，当 $u \in T_e(G)$ 时，证明命题就足够了。现在 $L_u$ 是由 $G$ 在右侧（no. 6）操作 $G$ 定义的，因此 $\theta_{L_u} \omega = 0$ 是因为 $\omega$ 是右不变的（\emph{可微分和解析流形}，R，8.4.5）；因此，如果 $f$ 是 $e$ 的开邻域中的解析函数，且 $K$ 中有值，则 $\theta_{L_u}(f \omega) = (\theta_{L_u} f) \omega$ (\emph{可微分且解析流形}, R, 8.4.8)。利用所做的辨识和\emph{可微分解析流形}， $L_u$ 的R，14.4.1，转置是 $-L_u$ ，即 $L_u^\nu$ 。

推论 0AC3

令 $G$ 为有限维实李群， $\mu$ （分别为 $\nu$ ）为 $G$ 、 $k$ 整数 $\geqslant 0$ 、 $u \in U_k(G)$ 和 $f$ 的左（或右）Haar 测度，并且 $G$ 上的类 $C^k$ 的 $g$ 实值函数具有紧凑的支持。然后

\int_G (R_u f) g \, d\mu = \int_G f (R_u^\nu g) \, d\mu

\int_G (L_u f) g \, d\nu = \int_G f (L_u^\nu g) \, d\nu.

引用了 1

引用了命题 57

这是从命题 57 和 \emph{可微分和解析流形}, R, 14.3.8 得出的。

17. 左差速器

定义 9 0AC4

设 $G$ 为李群，类 $C^r$ 的 $M$ 流形以及 $M$ 的类 $C^r$ 的 $f$ 映射入 $G$ 。 $f$ 的左（或右）微分是 $M$ 上次数 1 的微分形式与 $L(G)$ 中的值的微分形式，它与每个向量 $u \in T_m(M)$ 元素 $f(m)^{-1} \cdot (T_m f)(u)$ （或元素）相关联。 $(T_m f)(u) \cdot f(m)^{-1}$ ）。

引用了 1

引用了定义 8

在这个章中，我们将只考虑左微分，我们将其表示为 $f^{-1}.df$ ，并将将结果转换为右微分的任务留给读者。

如果 $f$ 是 $G$ 的恒等映射，则 $f^{-1}.df$ 是 $G$ 的规范左微分形式 $\omega$ 。回到定义 8 的一般情况，

(f^{-1}.df)_m = \omega_{f(m)} \circ T_m(f)

因此 $f^{-1}.df = f^*(\omega)$ 。这意味着 $f^{-1}.df$ 是类 $C^{r-1}$ 。

例 0AC5

(1) 如果 $G$ 是完全可规范空间的加法群，并且 $T_0(E)$ 与 $E$ 规范地一致，则 $f^{-1}.df$ 是微分和解析流形, R, 8.2.2 中定义的微分 $df$ 。

(2) 假设 $G$ 是乘法群 $A^*$ 与完全可规范代数 $A$ 相关联。 Then $f$ can be considered as a mapping of $M$ into $A$ and hence the differential $df$ in the sense of Differentiable and Analytic Manifolds, R, 8.2.2 is defined and the product $f^{-1}df$ in the sense of Differentiable and Analytic Manifolds, R, 8.3.2 is defined. 显然，后者形式与 $f$ 的左微分相同。

命题 58 0AC6

设 $G$ 和 $H$ 为两个李群、类 $C^r$ $M$ 流形、 $M$ 类 $C^r$ $f$ 映射》将 $G$ 的 $G$ 和 $h$ 态射转换为 $H$ 。然后

(h \circ f)^{-1}.d(h \circ f) = L(h) \circ (f^{-1}.df) = (h^{-1}.dh) \circ T(f).

引用了 1

引用了命题 5

对于所有 $x \in M$ 和 $u \in T_x(M)$ ，

(h \circ f)^{-1}.d(h \circ f)(u) = ((h \circ f)(x))^{-1}.T(h \circ f)(u).

一方面，后一个表达式等于

T(h)(f(x)^{-1}.T(f)(u)) \quad (§ 2, \text{Proposition 5})

= T_e(h)((f^{-1}.df)(u))

另一方面，

h(f(x))^{-1}T(h)(T(f)u)

= (h^{-1}.dh)(T(f)u).

命题 59 0AC7

令 $G$ 为李群、类 $C^r$ 、 $f$ 、 $M$ 流形以及 $M$ 的类 $C^r$ $g$ 映射代入 $TM$ 的 $G$ 和 $p$ 典范满射到 $M$ 。

引用了 1 · 被以下引用 2

引用了命题 7, III § 2

被以下引用推论 1, 推论 2

（一） $(fg)^{-1}.d(fg) = (\mathrm{Ad} \circ g \circ p)^{-1} \circ (f^{-1}.df) + g^{-1}.dg.$

(ii) 为所有 $m \in M$ 写 $h(m) = f(m)^{-1}$ ，

h^{-1}.dh = -(\mathrm{Ad} \circ f \circ p) \circ (f^{-1}.df).

断言 (i) 从§ 2, no. 2、命题 7 得出。断言 (ii) 从 (i) 得出 $g = h$ 。

推论 1 0AC8

设 $s \in G$ 和 $sg$ 为 $M$ 的映射 $x \mapsto sg(x)$ 到 $G$ 。然后

(sg)^{-1}.d(sg) = g^{-1}.dg.

引用了 1

引用了命题 59

这是从命题 59 (i) 将 $f$ 作为 $M$ 的常数映射 $x \mapsto s$ 到 $G$ 得出。

推论 2 0AC9

如果 $M$ 到 $G$ 的映射 $f$ 和 $g$ 具有相同的左微分，则映射到 $fg^{-1}$ 的切线处处都是零。如果进一步 $K$ 的特征为 0，则 $fg^{-1}$ 是局部常数。

引用了 1 · 被以下引用 1

引用了命题 59

被以下引用命题 15, III § 6

到命题59，

(fg^{-1})^{-1} \cdot d(fg^{-1}) = (\mathrm{Ad} \circ g \circ p) \circ (f^{-1}.df) - (\mathrm{Ad} \circ g \circ p) \circ (g^{-1}.dg).

如果 $f^{-1}.df = g^{-1}.dg$ ，则 $(fg^{-1})^{-1} \cdot d(fg^{-1}) = 0$ ，即所有 $x \in M$ 的 $T_x(fg^{-1}) = 0$ 。这就证明了第一个断言。第二个是*可微分和解析流形*，R，5.5.3。

命题 60 0ACA

如果 $K$ 的特征> 0，则令 $G$ 为有限维的李群，类 $C^r$ 的 $M$ 流形，类的 $f$ 映射将 $M$ 的 $C^r$ 分解为 $G$ 和 $\alpha$ $f$ 的左微分。然后 $d\alpha + [\alpha]^2 = 0$ .

引用了 1

引用了推论 1

令 $\omega$ 为 $G$ 的规范左微分形式。使用推论 1 到命题 51, no. 14，我们有

d\alpha = d(f^*(\omega)) = f^*(d\omega) = f^*(-[\omega]^2) = -[f^*(\omega)]^2 = -[\alpha]^2.

18. 李代数李群胚芽

在这个没有。 $(G, e, \theta, m)$ 表示李群胚芽。 § 的大部分结果部分对于相同的证明仍然成立。我们将回顾那些我们认为有用的内容。

18.1。令 $\Omega$ 为 $m$ 的定义中的集合。让 $(g, g') \in \Omega,\ t \in T_e^{(\infty)}(G),\ t' \in T_{g'}^{(\infty)}(G)$ 。如no. 1， $t$ 和 $t'$ 的卷积乘积，用 $t * t'$ 表示，是 $t \otimes t'$ 在 $m$ 下的像。我们写 $U(G) = T_e^{(\infty)}(G),\ U_s(G) = T_e^{(s)}(G),\ U^+(G) = T_e^{(\infty)+}(G),\ U_s^+(G) = T_e^{(s)+}(G)$ 。对于 $U(G)$ 中的 $t, t'$ ，定义 $t * t'$ 以及属于至 $U(G)$ 。通过卷积乘积， $U(G)$ 是代数与单位元 $\varepsilon_e$ 的关联，并由 $U_s(G)$ 过滤。 $U(G)$ 到 $TS(T_e(G))$ 的典范同构 $i_{G,e}$ 是代数同构。

18.2.设 $G, H$ 为李群细菌， $\phi : G \to H$ 态射。如果 $\phi_*$ 下的 $t$ $t \in U(G)$ 、像 $U(\phi)(t)$ 为 $U(H)$ 元素且 $U(\phi)$ 为代数为代数 $U(G)$ 态射 $U(H)$ 。将 $G$ 的映射 $\theta : x \mapsto x^{-1}$ 转换为 $G$ 定义映射 $t \mapsto t^\vee$ 将 $U(G)$ 转换为 $U(G)$ 。对于 $U(G)$ 中的 $t, t'$ ，相对于 $G^\vee$ 评估的乘积 $t * t'$ 等于相对于 $G$ 和 $(t * t')^\vee = {t'}^\vee * t^\vee$ 评估的乘积 $t' * t$ 。然后 $U(\phi)(t^\vee) = (U(\phi)t)^\vee$ 。如果 $G_1, \ldots, G_n$ 是李群细菌并且 $G = G_1 \times \cdots \times G_n$ ，则 $U(G_1) \otimes \cdots \otimes U(G_n)$ 到 $U(G)$ 的典范同构是代数同构；

$U(G)$ 、 $(t_1 \otimes \cdots \otimes t_n)^{\vee} = t_1^{\vee} \otimes \cdots \otimes t_n^{\vee}$ 中的 $t_1, \ldots, t_n$ 。设 $H$ 是 $G$ 和 $i : H \to G$ 典范嵌入的谎言子群胚芽。那么 $U(i)$ 就是代数 $U(H)$ 的单同态变成 $U(G)$ 并且

U(i)(t^{\vee}) = (U(i)(t))^{\vee}

对于所有

t \in U(H)

。通过

G

上流形结构定义的卷积乘积和余积，

U(G)

是一个大数，

U(\phi)

是一个大数态射。

18.3。设 $G$ 为李群胚芽，类 $C^r$ $X$ 流形和 $G$ 类 $C^r$ 左运算块 $\psi$ 律 $X$ 。令 $\Omega$ 为 $\psi$ 的定义中的集合。如果 $t \in T^{(s)}_g(G)$ 、 $u \in T^{(s')}_x(X)$ 、 $(g, x) \in \Omega$ 和 $s + s' \leq r$ ，令 $t * u$ 表示 $\psi_*$ 下 $t \otimes u$ 的像。设 $t \in T^{(s)}_g(G)$ ， $t' \in T^{(s')}_x(G)$ ， $u \in T^{(s'')}_x(X)$ ；如果定义了 $s + s' + s'' \leq r$ 和 $gg'$ 、 $(gg')x$ 、 $g'x$ 、 $g(g'x)$ ，则

(t * t') * u = t * (t' * u).

设

x_0 \in X

和

\rho(x_0)

为映射

g \mapsto gx_0

，它是在

e

的开邻域中定义的。如果

t \in U_r(G)

，则

\rho(x_0)_*t = t * \varepsilon_{x_0}

。在这里以及本篇的其余部分，我们将把翻译右运算的律块的结果的任务留给读者。

18.4。保留 18.3 的记号，令 $t \in U_s(G)$ 与 $s \leq r$ 。令 $f$ 为类 $C^r$ 在 $X$ 上的函数，其中值在 Hausdorff 多范数空间中。让 $t * f$ 表示 $X$ 上的函数定义为

\begin{align*} (t * f)(x) &= \langle t, g \mapsto f(\psi(\theta(g), x)) \rangle \\ &= \langle t^{\vee}, f \circ \rho(x) \rangle = \langle \rho(x)_*(t^{\vee}), f \rangle = \langle t^{\vee} * \varepsilon_x, f \rangle. \end{align*}

如果

t \in U_s(G)

、

t' \in U_{s'}(G)

和

s + s' \leq r

，则

\langle t', t * f \rangle = \langle t^{\vee} * t', f \rangle

和

(t * t') * f = t * (t' * f)

。令

t \in U_s(G)

、

f

和

f'

为

X

上类

C^r

的函数，其中值在Hausdorff多范数空间

F, F'

和

(u, u') \mapsto u.u'

为将

F \times F'

的连续双线性映射转换为豪斯多夫多范数空间；让

\sum_{i=1}^n t_i \otimes t'_i

是余积下

t

的像；如果

s \leq r

，那么

t * (ff') = \sum_{i=1}^n (t_i * f)(t'_i * f').

18.5。保留 18.3 的记号，令 $t \in U_s(G)$ 与 $s \leq r$ 。映射 $x \mapsto t * \varepsilon_x$ 称为 $t$ 和律运算块定义的点分布的域，并且有时由 $D_t^{\psi}$ 或 $D_t$ 表示。如果 $f : X \to F$ 是类 $C^r$ 中的函数，则 $X$ 上的函数 $t^{\vee} * f$ 也表示为 $D_t f$ ；如果 $s < \infty$ ，则为类 $C^{r-s}$ 。如果 $t \in U_s(G)$ 、 $t' \in U_{s'}(G)$ 和 $s + s' \leq r$ ，则 $D_{t*t'} f = D_{t'}(D_t f)$ 。如果 $G$ 和 $X$ 是有限维的，则 $D_t$ 是阶 $\leq s$ 和类 $C^{r-s}$ 的 $X$ 上的微分算子（如果 $s < \infty$ ）。那么在这个微分算子下，函数 $D_t f$ 就是 $f$ 的变换。

18.6。令 G 为李群胚芽和 $t \in U(G)$ 。 $L_t$ 表示 G 上点分布 $g \mapsto \varepsilon_g * t$ 的域和 G 上点分布 $g \mapsto t * \varepsilon_g$ 的 $R_t$ 域。如果 $f \in C^\omega(G, F)$ ，则 $L_t f \in C^\omega(G, F)$ 和 $R_t f \in C^\omega(G, F)$ 。对于 $U(G)$ 、 $L_{t \circ t'} = L_t \circ L_{t'}$ 、 $R_{t \circ t'} = R_{t'} \circ R_t$ 、 $L_t \circ R_{t'} = R_{t'} \circ L_t$ 、 $\theta(L_t) = R_t^V$ 中的 $t, t'$ 。

18.7。由于 $T_e(G)$ 是 $U(G)$ 的原语元素的集合，

[T_e(G), T_e(G)] \subset T_e(G).

可范空间 $T_e(G)$ 与括号一起是可范李代数，称为G的可范李代数（或G的李代数），记为 $L(G)$ 。令 $E(G)$ 为 $L(G)$ 的包络代数。将 $L(G)$ 的典范嵌入转换为 $U(G)$ 定义同态 $\eta$ 将代数 $E(G)$ 转换为代数 $U(G)$ ；如果K的特征为0，则 $\eta$ 是一个大数同构，通过它 $U(G)$ 可以与 $E(G)$ 识别。使用 18.3 的记号，对于所有 $a \in L(G)$ ，令 $D_a$ 为 $a$ 在 X 上定义的点分布的域。映射 $(a, x) \mapsto D_a(x)$ 是向量丛 $L(G) \times X$ 的类 $C^{r-1}$ 到向量丛 $T(X)$ 的态射。令I是K包含0的开子集和类 $C^r$ 的 $\gamma : I \to G$ 映射，使得 $\gamma(0) = e$ 。让 $a = T_0(\gamma) l \in L(G)$ 。如果 $f : X \to F$ 是类 $C^r$ 中的函数，那么

(D_a f)(x) = \lim_{k \in K^*, k \to 0} k^{-1}(f(\gamma(k)x) - f(x)).

若 $r \geq 2$ ，映射 $a \mapsto D_a$ 为X上 $L(G)$ 的类 $C^{r-1}$ 左无穷小运算律。

18.8。设G和H为李群细菌，G的 $\phi$ 态射为H。 $U(\phi)$ 到 $L(G)$ 的限制，即 $T_e(\phi)$ ，是 $L(G)$ 到 $L(H)$ 的连续态射，其中我们用 $L(\phi)$ 表示。如果 $\psi$ 是态射的H进入李群胚芽，则 $L(\psi \circ \phi) = L(\psi) \circ L(\phi)$ 。为了使 $\phi$ 成为浸没， $L(\phi)$ 是 $L(G)$ 的同构到 $L(H)$ 的谎言子代数上是必要且充分的，该谎言承认拓扑补充。特别是，如果 G 是 H 的李子群胚芽，并且 $\phi$ 是典范嵌入，则 $L(G)$ 可以通过 $L(\phi)$ 与 $L(H)$ 的李子代数进行识别。如果 $(G_i)_{i \in I}$ 是李群细菌的有限家族，G 是它们的乘积，则 $L(G)$ 被规范地识别为 $\prod_{i \in I} L(G_i)$ 。

18.9。如果 K 的特征 > 0，则令 G 为有限维的李群胚芽。设 F 为完全可范空间。令 $\alpha$ 为 G 上次数 k 的微分形式与 F 中的值。如果 $\alpha_g$ 由 $\alpha_e$ 通过 e 的邻域的映射 $h \mapsto gh$ 推导出来，则 $\alpha$ 称为 G 上的左不变量邻域克。如果 $\alpha$ 保持不变，则 $\alpha$ 是解析的。 The mapping $\alpha \mapsto \alpha_e$ is a bijection of the set of left invariant differential forms of degree k on G with values in F onto the set of continuous alternating k-linear mappings of $T_e(G)$ into F. 如果 $\alpha_e = \mathrm{Id}_{T_e(G)}$ ， $\alpha$ 称为G*的*左规范微分形式。右不变微分形式的定义和G的右典型微分形式是类似的。如果 $\omega$ 是G的左规范微分形式，则 $d\omega + [\omega]^2 = 0$ 。设M为G中的类 $C^r$ 之流形和M的类 $C^r$ 之 $f$ 映射。 $f$ 的左微分，用 $f^{-1}.df$ 表示，是M上次数1与 $L(G)$ 中值的微分形式，与每个向量 $u \in T_m(M)$ 元素 $f(m)^{-1}.(T_{m,f})(u)$ 相关联。然后是 $f^{-1}.df = f^*(\omega)$ 和 $d\alpha + [\alpha]^2 = 0$ 。如果M到G中的两个映射、 $f$ 和 $g$ 具有相同的左微分且K的特征为0，则 $fg^{-1}$ 局部常数。

习题

§ 3](exercises/s3/)参见[习题。