对于 W 中的 x、y、z。存在 G 的态射 $f'$ 到 H 中，使得 $f' \mid W = f \mid W$。

对于$(g, h) \in G \times H$和U，W中e的开邻域，对于$u \in U$，令$A(g, h, U)$为$(gu, hf(u)) \in G \times H$的集合。然后是$(g, h) \in A(g, h, U)$和$A(g, h, U_1) \cap A(g, h, U_2) = A(g, h, U_1 \cap U_2)$。令 $(s, t) \in A(g, h, U)$；然后 $s = gu$ 和 $t = hf(u)$ $u \in U$； W 中存在 e 的开邻域 $U'$，使得 $uU' \in U$；那么，对于$u' \in U'$，

† 参见。 一般拓扑的章XI（出现）。在此章中证明，若$G_1, G_2$拓扑连通群，则$\phi$是$G_1$到$G_2$与离散核的开连续同态，且$G_2$单连通，则$\phi$为同胚。另一方面，回想一下简单连接的空间是连通的。

因此$A(s, t, U') \subset A(g, h, U)$。那么$G \times H$上的拓扑的$A(g, h, U)$形式基。我们用拓扑表示$Y$集合$G \times H$，并用$p$表示$Y$的规范投影到$G$，它是开放的。 $p$到$A(g, h, U)$的限制是$A(g, h, U)$到$gU$的同胚。因此$(Y, p)$是$G$的覆盖空间。令$Y_0$为$A(e, e, W)$生成的$Y$的子群，并令$\mathfrak{B}$为$A(e, e, U)$的集合。显然，$\mathfrak{B}$满足*一般拓扑*、章III, § 1, no. 2的条件（GV$_1'$）和（GV$_1''$）。 $y \in Y_0$的集合$Y_0'$使得$Y_0$的映射$z \mapsto yzy^{-1}$和$z \mapsto y^{-1}zy$进入$Y_0$在$(e, e)$处是$Y_0$的子群连续。让$w \in W$。 $W$到$G$的映射$w' \mapsto ww'w^{-1}$是连续的，因此映射

$A(e, e, W)$ 到 $Y$ 在 $(e, e)$ 连续。现在$f(ww'w^{-1}) = f(w)f(w')f(w^{-1})$，因此$(ww'w^{-1}, f(ww'w^{-1})) = (w, f(w))(w', f(w'))(w, f(w))^{-1}$。

作为$w^{-1} \in W$，我们看到$(w, f(w)) \in Y_0'$。因此，$A(e, e, W) \subset Y_0'$，所以$Y_0' = Y_0$。 群$Y_0$，加上滤波器基$\mathfrak{B}$，因此满足*通用拓扑*、章III, § 1, no. 2的条件（GV$_{III}'$）。作为

$Y_0$ 是拓扑群，由于 $A(e, e, W)$ 是连通的，因此它也是连通的。那么$p(Y_0)$是$G$、从而$p(Y_0) = G$的开子群，因为$G$是连通的。 $p \mid Y_0$ 的核是离散的。由于$G$是单连通的，$p \mid Y_0$是$Y_0$到$G$的同胚。因此$Y_0$是$G$的态射$f'$到$H$的图。适用于 $g \in W$、$(g, f(g)) \in A(e, e, W) \subset Y_0$、从而 $f'(g) = f'(g)$。

$\phi$ 的存在性由引理 1 和§ 4, no. 1、定理 1 (i) 推出。 $\phi$ 的唯一性由§ 4, no. 1、定理 1 (ii) 得出，并且$G$ 是相连的。

存在 (章 I, § 7, 定理 2) 有限维向量空间 $E$ 和 $L(G)$ 的单射态射 $h$ 进入李代数 $\mathrm{End}(E)$。到定理 1，存在$G$的态射$\phi$进入$\mathbf{GL}(E)$，使得$L(\phi) = h$。因此 $\phi$ 是沉浸式的，因此它的核是离散的。

(i) 映射 H ↦ L(H) 是 G 的积分子群的集合的双射到 L(G) 的李子子代数的集合，承认拓扑补充。

(ii) 令 H 为 G 的积分子群。G 与李代数 L(H) 连接的每个李子群胚芽都是 H 的开子流形，其中生成 H。

(a) 设 h 是 L(G) 的谎言子代数，承认拓扑补充。令 H_1 为 G 的李子群胚芽，使得 L(H_1) = h (§ 4, 定理 3)。可以选择H_1以使其连接。令 H 为 H_1 生成的 G 的子群。 H 上存在（§ 1，命题 22 的推论）李群结构，使得 H_1 是 H 的开子流形，并且 H 到 G 的典范嵌入是浸没。由于 H_1 连通，因此 H 连通，因此是 G 的积分子群。则 L(H) = L(H_1) = h。这证明了 (i) 中考虑的映射是满射的。

(b) 令 H 为 G 的积分子群，N_1 为 G 与李代数 L(H) 连接的李子群胚芽。由于 H 典范嵌入进入 G 是浸没，因此存在 H 的开子群胚芽 H_1，它同时是 G 的子流形，因此是 G 的李子群胚芽，具有李代数 L(H)。另一方面，令N为N_1生成的G的子群；由证明的部分(a)，它具有G的积分子群的结构，使得N_1是N的开子流形。由§ 4，定理3，H_1∩N_1在H_1和N_1中开。因此，由 H_1 ∩ N_1 生成的 G 的子群一方面等于 H，另一方面等于 N。因此李群 H 和 N 相等。这证明了(ii)，也证明了(i)中考虑的映射是单射的。

在注 1 的记号中，$\phi$ 是 M 的态射到 Y 中（*可微分和解析流形*，R，9.3.2），因此 $\phi(M) \subset H$ 因为 M 是连通的。

(i) 已被证明(§ 3, no. 8,命题28)。

当经过为商时，令$\psi$为G/N到H中的李群态射，由$\phi$导出；这是一种沉浸感（§ 3, no. 8，命题28）。通过命题 1，$\psi$ 是 G/N 的李群态射进入 H'。这个态射是 étale，因此 $\psi(G/N) = H'$ 因为 H' 是连通的；这就证明了(ii)。则$\psi : G/N \to H'$是双射且是李群同构，从而证明(iii)。

设$i_1 : H_1 \to G, i_2 : H_2 \to G$为典范嵌入。然后

映射 g \mapsto det Ad g 是 G 到 K* 的态射 $\phi$。 § 3、命题 35 (no. 10) 和 44 (no. 12)，$L(\phi)a = Tr\ ad\ a$ 适合所有 $a \in L(G)$。显然，Im $L(\phi) = \{0\}$ 或 K。在第一种（或第二种）情况下，根据推论 1，Im $\phi = \{1\}$（或 Im $\phi = K^*$），因此 G 是 § 3, no. 16 的单模（或非单模），推论为命题 55。

然后 (ii) $\Leftrightarrow$ (iii) $\Rightarrow$ (i)。如果 H 上的拓扑承认可数基，则三个条件是等价的。 (ii) $\Rightarrow$ (i) 和 (ii) $\Rightarrow$ (iii)：显而易见。 (iii)$\Rightarrow$(ii)：假设条件(iii)成立。通过*可微分和解析流形*，R，9.2.8，f是M的类C^r的态射进入与L(H)相关的左叶状结构。当 M 连通时，f(M) \子集 H。

如果 H 上的拓扑承认可数基，条件 (i) 意味着 f 是 M 的类 C^r 的映射到 H 中（*可微分和解析流形*，R，9.2.8）；因此 (i) $\Rightarrow$ (ii)。

由于 H 是连通且有限维的，因此它的拓扑承认可数的基。

并且，如果这些条件成立，则H_2是H_1的积分子群。

最后一个断言和蕴涵 $L(H_2) \subset L(H_1) \Rightarrow H_2 \subset H_1$ 从推论 2 到命题 1。逆命题蕴涵从命题 3。

这是从推论 2 得出的。

(iii) ⇒ (ii): 假设条件 (iii) 满足，并令H 为G 上李群结构诱导的结构。令h 与H 在e 处子代数相切。 H 的单位分量 H_0 是 G 的积分子群，使得 L(H_0) = h。我们证明 H = H_0。只需证明以下内容即可：设 I 为 K 的连通开子集，类的 f 映射 I 的C^r 到 G 中，使得 f(I) ⊂ H 和 λ 和 μ 的两个点 I；如果 f(λ) ∈ H_0，则 f(μ) ∈ H_0。但是，对于所有 v ∈ I，(T_v f)(K) ⊂ f(v)h 除以 h 的定义，因此我们的断言由命题 3 得出。

G 的子群 (G, G) 并不总是闭集 (§ 9, 习题 6)。

回想一下（§ 3, no. 11，推论 5 到命题 41），如果 a 是有限维代数，则 Aut(a) 是 GL(a) 的谎言子代数，并且 L(Aut(a)) 是 a 的推导的李代数。

(ii) 令 G_1 和 G_2 为两个连通的李群，其中 G_1 单连通。设 f 为 L(G_1) 的同构到 L(G_2)，G_1 的 φ 态射到 G_2，使得 L(φ) = f 且 φ 的 N 核。那么N是G_1的中心的离散子群和G_1/N到G_2的态射，从φ是李群同构导出。如果G_2是单连通的，则φ为同构。

令 L 为有限维李代数。存在有限维向量空间 E，使得 L 可以用 End(E) 的谎言子代数来识别（章 I, § 7，定理 2）。设 H 为 GL(E) 的积分子群，其中

李代数L。令 $\hat{H}$ 为其通用覆盖 ($§ 1$, no. 9, 注)。那么$L(\hat{H})$同构于L、从而(i)。

令 $G_1, G_2, f, \phi, N$ 如 (ii) 中所示。那么$\phi$是étale，因此$\phi(G_1)$是$G_2$的开子群，因此$\phi(G_1) = G_2$。另一方面，N 是离散的，因此包含在 $G_1$ 的中心中（*整的*、章 VII、$§ 3$、引理 4）。显然，从$\phi$派生出$G_1/N$到$G_2$的态射是李群同构。如果$G_2$是单连通的，则$G_1$到$G_2$的每个étale映射都是单射的，因此$N = \{e\}$。

由$§ 4$，no. 2，推论2到定理2，足以证明$L'$的结构在Ad G下是不变的。设$\phi$是G的映射指数。由$§ 4$，no. 4，推论3(i)至命题8，$L(G)$中存在0的邻域V，使得$L'$的结构在Ad$\phi(V)$下不变。但 Ad $\phi(V)$ 生成 G 因为 G 是连通的。

如果不假设 G 是连通的（习题 7），命题 5 的结论不一定成立。

G 到 $\mathscr{L}(L(G))$ 的全纯映射 $g \mapsto \mathrm{Ad}\,g$ 是常数（*可微且解析流形*，R，3.3.7），因此对于所有$a \in L(G)$（$§ 3$，no. 12，$\mathrm{ad}\,a = 0$， 命题44）。因此 G 是可交换的（$§ 4$，推论 3 到定理 1）。

在 $L(G)$ 中存在 0 的凸开邻域 U，并且在 U 上定义 G 的指数映射。可以假设，通过选择足够小的 U，

让$a \in L(G)$。存在整数$n > 0$使得$\frac{1}{n} a \in U$。如果 m 是另一个整数使得 $\frac{1}{m} a \in U$，则 $\frac{1}{nm} a \in U$ 和关系 (1) 意味着

因此$\left( \phi \left( \frac{1}{n} a \right) \right)^n = \left( \phi \left( \frac{1}{m} a \right) \right)^m$。存在$\phi$的扩张$\psi : L(G) \to G$使得$\psi(a) = \left( \phi \left( \frac{1}{n} a \right) \right)^n$对于$a \in L(G)$和$n$整数$> 0$使得$\frac{1}{n} a \in U$。显然 $\psi$ 是解析的，并且是 $G$ 的指数映射。如果$\psi' : L(G) \to G$是$G$的指数映射，则$\psi$和$\psi'$重合在邻域上为0，因此它们相等，因为$L(G)$是连通的。

今后，当我们谈到$G$的*指数映射*时，我们指的是在定理4中考虑的映射。如果不存在混淆的风险，它将用$\exp_G$或$\exp$表示。

到命题 7，这是从 § 4, no. 3 的命题 4 开始，取$\lambda = \frac{1}{n}$。

这是从§ 4, no. 3的命题5以及$\exp_G$和$\exp_{G'}$的解析性得出的。

指数映射

等式(i)的两侧将$L(G)$的映射解析为$H$，其中重合在0的邻域中（$§ 4$，命题8，no. 4），因此相等。 断言 (ii) 是 (i) 的特例。

根据 Hausdorff 公式，$(\exp x)(\exp y) = \exp(x + y)$ 对于 $x, y$ 足够接近 0，因此对于 $L(G)$ 中的所有 $x, y$ 通过解析延拓。因此 $\exp$ 是群同态并且是 étale 因为

因此(i)。 断言 (ii) 源自 (i) 和*一般拓扑*、章 VII, § 1、命题 9。

两侧是 $x$ 的解析函数，并且对于足够接近 0 的 $x$ 是相等的（§ 4, no. 3、命题 6）。

积分函数$z \mapsto \sum_{n \geqslant 0} \frac{1}{(n + 1)!} z^n$，等于$z \neq 0$的$\frac{e^z - 1}{z}$，承认$2\pi i \mathbf{Z} - \{0\}$的零点，都是简单的零。然后从命题 12 和以下引理得出推论：

（对于 $f(u)$ 的定义，请参阅光谱理论，章 I, § 4, no. 8。）

$\Omega$ 上存在全纯函数 g，处处非零，因此 $f(z) = (z - z_1)^{h_1} \ldots (z - z_n)^{h_n} g(z)$。然后$g(u)g^{-1}(u) = g^{-1}(u)g(u) = 1$，因此$\mathrm{Ker}\ f(u) = \mathrm{Ker} \prod_{i=1}^n (u - z_i)^{h_i}$。将 $\mathrm{Ker}\ f(u)$ 视为 $\mathbf{C}[X]$ 模块，通过外法则 $(h, x) \mapsto h(u)x$ 对应 $h \in \mathbf{C}[X]$、$x \in \mathrm{Ker}\ f(u)$，我们看到 Ker $f(u)$ 是 $\mathrm{Ker}(u - z_i)^{n_i}$ 的直和，使用 代数， 章VII, § 2, no. 1、命题1。

(i) $\varphi(g)x \equiv x \pmod{E_2}$ 对于所有 $g \in G$ 和所有 $x \in E_1$； (ii) $L(\varphi)(L(G))$ 映射 $E_1$ 变为$E_2$。

另一方面，如果$u \in \mathscr{L}(E)$，那么

从而命题。

用命题 13 取$E_1 = E_2$就够了。

这是从推论 1 得出的。

在命题 13 中取$E_1 = Kx$ 和$E_2 = 0$ 就足够了。

(i) $T\varphi(g) = \varphi'(g)T$ 对于所有 $g \in G$； (ii) $TL(\varphi)(a) = L(\varphi')(a)T$ 对于所有 $a \in L(G)$。

令$\sigma$为$\mathscr{L}(E, E')$上$G$的线性表示，源自$\varphi$和$\varphi'$（§ 3, no. 11，推论1至命题41）。 条件 (i) 意味着$T$ 在$\sigma(G)$ 下不变。 条件 (ii) 意味着$T$ 被$L(\sigma)(L(G))$ 湮灭。那么应用推论 3 就足够了。

这是推论4的一个特例。

为了使$L_t$（或$R_t$）右（或左）不变，$\varepsilon_g * t = t * \varepsilon_g$对于所有$g \in G$是必要且充分的，即$(\mathrm{Int}\, g)_* t = t$。存在整数$n$使得$t \in U_n(G)$。根据推论3和§ 3, no. 12的命题 45，$(\mathrm{Int}\, g)_* t = t$对于所有$g \in G$当且仅当$[a, t] = 0$对于所有$a \in L(G)$，即当且仅当$t$与$U(G)$通勤。

$\mathrm{Ad}\, g = T_e(\mathrm{Int}\, g)$。因此，通过结构的迁移，$(\mathrm{Int}\, g)(H_1)$有李代数$(\mathrm{Ad}\, g)(L(H_1))$。由于$H_1$和$H_2$有可数的基，所以说集合$H_2$和$(\mathrm{Int}\, g)(H_1)$相等相当于说积分子群$H_2$和$(\mathrm{Int}\, g)(H_1)$相等（no. 2，推论 3 至命题 3）。然后从定理 2 (i) 得出引理。

等价 (i) $\Leftrightarrow$ (ii) 由引理 3 得出。如果进一步连接$G$，条件 (ii) 等价于说，$L(H)$ 在$\mathrm{ad}\, L(G)$ 下稳定（no. 5，推论 1 为命题 13 和 § 3, no. 12、命题 44）。

假设$G$是单连通的，并且$L(H)$是$L(G)$中有限余维的理想。通过no. 3的定理 3，存在单连通李群$G'$，使得$L(G')$与$L(G)/L(H)$同构的。存在$L(G)$到$L(G')$和核$L(H)$的连续态射$f$。通过no. 1的定理 1，存在$G$的态射$\phi$进入$G'$，使得$L(\phi) = f$。这个态射是一个淹没，因此它的核$N$是$G$的谎言子群使得$L(N) = \mathrm{Ker}\, f = L(H)$。因此，$H$是$N$的恒等分量，因此是G的谎言子群。设$\psi$是$G/H$的态射到从$\phi$导出的$G'$，当经过为商时。这个态射是étale；由于 G 是单连通的，$\psi$ 是 $G/H$ 的同构到 $G'$。

到命题 14 时，H 是 G 的正规李子群，并且李群 G/H 是单连通的。令 $\pi$ 为 G 在 G/H 上的规范态射。 M 中存在 G/H 的态射 $\theta$，使得 $L(\theta)$ 是 $L(G)/L(H) = L(G)/h$ 到 $L(M) = m$ 的典范同构。然后

因此$\pi \circ \theta = \mathrm{Id}_{G/H}$。由no. 1，推论1到命题1，$\theta(G/H) = M$。通过§ 1, no. 4的命题8，M是G的谎言子群，李群G是H对M的半直乘积。