$G \cap P$ 是紧凑且离散的，因此*有限*。令$x$为$G$中的任意点；它等于具有实数系数的$a_i$的线性组合$\sum_{i=1}^p t_i a_i$。对于每个整数$m > 0$，考虑点

它位于属于到$G$，从$0 \leq mt_i - [mt_i] < 1$开始，它位于$P$。因此，首先是$x = z_1 + \sum_{i=1}^p [t_i] a_i$，从而由$G \cap P$生成$G$；其次，由于$G \cap P$是有限的，因此存在两个不同整数$h, k$使得$z_h = z_k$，从而$(h - k)t_i = [ht_i] - [kt_i]$小于($1 \leq i \leq p$)，因此$t_i$是有理数。

(*) 我们记得 (章 IV, § 8, no. 2)，对于每个实数 $x, [x]$ 是 $x$ 的积分部分，即最大的有理整数 $\leq x$。

命题 1 表明条件是必要的。这也是足够的，因为如果满足，我们可以写$t_i = m_i/d$，其中$d$和$m_i$是整数（$1 \leq i \leq p$）；因此，$b$ 是 $p$ 点 $(1/d)a_i$ 的线性组合，系数为整数；因此$G$是这些$p$点生成的离散群的子群，因此它本身也是离散的。

The result of Proposition 1 can be expressed as follows: if $q$ points $x_i$ ($1 \leq i \leq q$) of a discrete subgroup $G$ of $\mathbf{R}^n$ form a system which is dependent with respect to $\mathbf{R}$, then they form a system which is dependent with respect to $\mathbf{Q}$. 紧接着，$\mathbf{R}^n$ 的离散子群的*有理秩* 等于它的*秩*。

命题 1 的推论，应用于 $a_i$ 是 $\mathbf{R}^n$ 的典范基的 $n$ 向量 $e_i$ 的情况，给出以下命题：

凭借前面提到的群与$\mathbf{Z}^p$同构的性质，足以证明$G$是由$p$点的自由系统生成的离散群的*子群*。现在，由于$G$是秩$p$，因此存在$p$点$a_i$（$1 \leq i \leq p$）的$G$的自由系统，使得每个$x \in G$等于线性组合具有实系数的$a_i$的$\sum_{i=1}^p t_i a_i$；由于 $G$ 是离散的，命题 1 表明 $t_i$ 是*有理数*。此外，命题 1 表明$G$ 是由点的*有限* 数生成的；由于这些点是具有有理系数的$a_i$的线性组合，因此存在整数$d$，使得它们是线性组合，其中$p$点$(1/d)a_i = a'_i$的*整数*系数。由此可见，$G$是由$a'_i$生成的群中的子群。

定理 1 也可以不借助不变量因子 (cf. 习题 1) 理论来证明。

$\mathbf{R}^n$ 的离散子群秩 $n$ 也称为$\mathbf{R}^n$ 中的*格子*。

令$(x_p)_{p \in \mathbf{N}}$为$G$的点的无限序列，使得$x_p \neq o$和$\lim_{p \to \infty} x_p = o$；到假设这样的序列就存在了。令 $P$ 为一个开放立方体，其中包含中心 $o$、包含和 $x_p$。令$k_p$表示最大的整数$h > 0$，使得$hx_p \in P$（因为$P$是有界框且$x_p \neq o$，$k_p$的存在性遵循阿基米德公理）。 点$k_p x_p$位于紧集$\overline{P}$，因此序列$(k_p x_p)_{p \in \mathbf{N}}$有一个集群点$a \in \overline{P}$。如果$\| (k_p + 1)x_p - a \| \leq \varepsilon$，我们有

并且从$\lim_{p \to \infty} x_p = o$开始，$a$也是序列$((k_p + 1)x_p)$的集群点，其点属于到闭集合$\mathbf{C}P$，通过定义 $k_p$；因而$a \in \overline{P} \cap \mathbf{C}P$（$P$的边界，图5），这意味着$a \neq o$。此外，由于$G$关闭，我们还有$a \in G$。设$t$为任意实数；因为$|tk_p - [tk_p]| < 1$，关系$\| k_p x_p - a \| \leq \varepsilon$意味着$\| [tk_p]x_p - ta \| \leq |t| \varepsilon + \| x_p \|$；由于 $\lim_{p \to \infty} x_p = o$，$ta$ 是

!图5 图 5.

!图6 图 6.

序列 ([tk_p]x_p) 的集群点；但是这个序列属于的点到 G，因而 ta ∈ G，因为 G 是闭集的。这样就完成了证明。

让我们首先证明V的存在性，证明G中通过o的所有线的并是向量子空间：实际上，这些线的并生成的向量子空间与它们的子群相同生成。 群G是V和$W \cap G$中的直和；对于如果$x \in G$，我们有$x = y + z$，其中$y \in V$和$z \in W$；从$V \subset G$、$z = x - y \in G$开始，因而$z \in W \cap G$。仍有待证明 $W \cap G$ 是离散的；这是从命题 3开始的，因为$W \cap G$是一个封闭的子群，而包含没有线路，因为定义是V。

如果$G \neq V$，我们可以说G是可数无穷线性簇的并，平行于离散群$W \cap G$的V和经过到点（图6）。

如果$p$是向量子空间V的维数，我们有$p \leq r$，$W \cap G$是秩$r - p$的离散群。

这是从应用于离散群 $W \cap G$ 的定理 2 和定理 1 或 no. 1 得出的。

这是推论1的直接的推论。定理2的推论2表明，$\mathbf{R}^n$的闭子群G完全由两个整数$\geq 0$决定，直到同构：它的秩，我们记为$r(G)$，G中包含的最大的向量子空间的维数，我们称之为G的维数，记为$d(G)$。

这些整数必须满足唯一的条件是不等式$0 \leq d(G) \leq r(G) \leq n$。

对于每个$x \in G$，让$f_x(u)$表示$(u|x)$； $f_x$ 是线性形式，因此是连续的。由于$G^*$是集合$f_x^{-1}(z)$的交，因为$x$贯穿$G$，并且由于这些集合中的每一个都是封闭的，因此$G^*$也是封闭的。另一方面，如果$u \in G^*$，对于所有$x \in G$，我们有$(u|x) \in \mathbf{Z}$，因此，由于$\mathbf{Z}$在$\mathbf{R}$中闭合，因此对于所有$y \in \overline{G}$，$(u|y) \in \mathbf{Z}$；因此$u \in (G)^*$。但我们有$(\overline{G})^* \subset G^*$（从$G \subset \overline{G}$开始），所以$(\overline{G})^* = G^*$。

当$G$*关闭*时，考虑$G^*$的结构。根据no. 2的推论1到定理2，存在$\mathbf{R}^n$的基$(a_i)_{1 \leq i \leq n}$使得$G$重合以及集合为点

其中$t_i$取所有实数值，$n_j$取所有整数值。因此，对于*所有*这些点$x$，$(u|x)$是整数当且仅当$(u|a_i) = 0$对于$1 \leq i \leq p$并且$(u|a_i)$对于$p+1 \leq i \leq p+q$是整数。让我们用 $\mathbf{R}^n$ 的 $(a'_i)_{1 \leq i \leq n}$ 基表示，这样 $(a'_i|a_j) = 0$ 代表 $i \neq j$ 并且

() 这个概念是局部紧致阿贝尔的群的对偶性*理论中的一般概念的特殊情况，相应的到群$\mathbf{R}^n$（参见，例如，A. Weil，“L'Integration dans les 群拓扑和应用”，*Act. Sci. et Ind.* no. 869，Paris，Hermann，1950 年，第 108-109 页）。读者将观察到 $\mathbf{R}^n$ 中关联的子群的属性与向量空间及其对偶的*正交* 向量子空间的属性之间存在密切的类比。

[基“对偶”到$(\mathbf{a}_i)$]；如果我们放入$u = \sum_{i=1}^n u_i a'_i$，很明显，点$u \in G^*$具有以下条件的特征：$u_i = 0$代表$1 \leq i \leq p$，$u_i \in \mathbf{Z}$代表

因此$G^*$是向量子空间$W$的直和和$a'_i$的基由……组成使得$p + q + 1 \leq i \leq n$，以及由$a'_i$生成的离散子群使得$p + 1 \leq i \leq p + q$。在其他字中：

让我们将位于子群$G$闭包中的点的刻画应用于由典范基$(1 \leq j \leq n)$的$n$向量$e_j$和任意生成的子群$G$的情况数$m$共点$a_i$$(1 \leq i \leq m)$共$\mathbf{R}^n$。说$1 \leq j \leq n$的$(u|e_j)$是整数，意味着$u$的$n$坐标是整数；所以：

$n$ 整数中不存在有限序列 $(r_j)$，而不是全部零，是充分必要的，使得$m$ 数 $\sum_{j=1}^n a_{ij} r_j$ 中的每一个都是整数。

因为如果$G$在$\mathbf{R}^n$中稠密，即如果$\overline{G} = \mathbf{R}^n$，则$G^* = \{0\}$，反之亦然。

特别是$(m = 1)$：

* 不存在形式* $\sum_{j=1}^n r_j \theta_j = h$ 中的关系是必要且充分的，*其中 $r_j$ 是 $n$ 整数不全是零，并且 $h$ 是整数* [这特别意味着$\theta_j$ 和比率$\theta_j / \theta_k$ ($j \neq k$) 必须是*无理数*]。

我们可以这样解释这个结果：对于每个整数$q \in \mathbf{Z}$，让$x_q$表示点，坐标为$q \theta_j - [q \theta_j]$（$1 \leq j \leq n$）；那么推论 2 给出了点 $x_q$ 的集合在$\mathbf{R}^n$ 的因子中的乘积 $n$ 区间 $[0, 1]$ 的立方体中的“密集”的充分必要条件。

对于所有 $x \in G_1$ 和所有 $y \in G_2$，实数 $(u|x + y)$ 是整数当且仅当对于所有 $x \in G_1$ $(u|x)$ 是整数，并且对于所有 $y \in G_2$，$(u|y)$ 是整数，因为$(u|x + y) = (u|x) + (u|y)$；因而

对于 $\mathbf{R}^n$ 中的任意两个子群 $G_1, G_2$。如果现在我们假设 $G_1$ 和 $G_2$ 是闭集，则我们有 $(G_1^* + G_2^*)^* = G_1 \cap G_2$ × 命题 6；因而，再次取相关的子群和应用命题 6，

乘积空间 $T^n$（滥用语言，拓扑群 $T^n$）被称为*n维环面*；通过章 V, § 1, no. 2 的命题 4，$T^n$ 是紧凑、连通且局部连通的。

此外，如果 $C$ 表示 $\mathbf{R}^n$ 中边 1 的闭立方体，则 $T^n$ 同胚于 $C$ 的空间除以等价关系“$x_i \equiv y_i \pmod{1}$ ($1 \leq i \leq n$)”，在点 $x = (x_i)$ 和$y = (y_i)$ 共 $C$。因而$T^n$是由立方体$C$通过“相对面的识别”形成的。

因为$T^n = (R/Z)^n$与$R^n/Z^n$同构的（章III, § 2, no. 9，命题26的推论），$Z^n$是$R^n$的离散子群（章III, § 2, no. 6，命题19）。

由此可见群 $R^p \times T^{n-p}$ 都局部同构于 $R^n$ ($0 \geq p \geq n$)；在§ 2, no. 2中，我们将看到它们是唯一具有此性质的*连接*群。