习题 15, § 1

令 $I$ 为$\mathbf{R}^n$ 中的封闭立方体，边长为 $2\pi$。 $I$ 中的映射点 $x = (x_i)$ 至点 $y = (y_j)$ $\mathbf{R}^{n+1}$ 使得

证明在此映射下I的像同胚于$\mathbf{T}^n$（$n$上归纳同胚证明：观察$r_p$对于$\leq p\ n$有$\sin x_p$的符号）。如果如此定义的$n = 2$、$\mathbf{R}^3$的子集称为旋转*环面。

(16) 令 G 为 $\mathbf{R}^n$ 的子群，其中包含是一个紧连接的子集 K，使得由 K 生成的仿射线性簇为维数 $p$。证明维数 $p$ 的 G 包含向量子空间。 [证明由归纳于$n$、利用习题 10 c) 于章VI, § 1。]

(17) 设E为$n$因子的乘积$(\mathbf{Q}_p)^n$等于$p$-adic数的域$\mathbf{Q}_p$(章III。§ 6， 习题 23)，赋予拓扑群结构，即因子$\mathbf{Q}_p$的加法拓扑结构的乘积，并且其$n$维向量空间结构超过域 $\mathbf{Q}_p$。如果$v$表示$\mathbf{Q}_p$的加法$p$-adic估值，则将所有$x \neq 0$的$x_p = p^{-v_p x}$放入$\mathbf{Q}_p$和$o_p = 0$；并为所有$x = (x_i)_{1 \leq i \leq n} \in E$放入$\|x\| = \sup x_i$（cf.章IX。§ 3，第2和3个）。

a) 子集 E 的 A 是相对紧的当且仅当

[注，$t_p$是$\mathbf{Q}_p$到$\mathbf{Z}$的连续映射（带有离散的拓扑）。]

b) 如果 G 是 E 的闭子群，则 G 是 $p$-adic 整数的环 $\mathbf{Z}_p$ 上的拓扑模；如果$x \in G$，对于所有$n \in \mathbf{Z}$，我们有$nx \in G$，并且$\mathbf{Z}$在$\mathbf{Z}_p$中是稠密的。

c) 如果 K 是 E 的紧致子群，则存在 E 的 $m \leq n$ 点 $a_i$ ($1 \leq i \leq m$) 的自由系统，使得 K 是 m 群 $\mathbf{Z}_p \cdot a_i$ 的直和。 [用a)证明，如果$(e_j)_{1 \leq j \leq n}$是E的规范基，则存在整数$k \in \mathbf{Z}$使得K包含在n个群$\mathbf{Z}_p \cdot p^k e_j$的直和中；然后将模的理论应用于主要理想环。]

d) 如果 G 是 E 的闭（但非紧）子群，则 G 包含向量子空间的维数 1、$\mathbf{Q}_p \cdot a$ 和 $a \neq 0$。 [令 C 为所有点 $x \in E$ 的 E 由……组成的紧凑子集，使得 $\|x\| = 1$；证明点$(x_r)_{r \in \mathbf{N}}$的$G \cap C$包含序列使得$p^{-r} x_r \in G$，并取$a$作为这个序列的集群点。]

e) 令G为E的闭子群，令V为G中包含的最大的向量子空间，并令W为与V互补的向量子空间；表明 $W \cap G$ 是紧致的，并且 G 是 V 和 $W \cap G$ 的直和（如 no. 2 的定理 2 所示）。

f) 给定 E 的子群 G，令 $G^*$ 表示所有 $u = (u_i) \in E$ 中的集合，使得

对于所有 $x = (x_i) \in G$，从属于到 $\mathbf{Z}_p$。证明 $G^*$ 在 E 中是闭集，$(\overline{G})^* = G^*$ 和 $(G^*)^* = \overline{G}$。

g) 陈述并证明E的闭子群的习题2到8的类似物。特别是，子群的每个闭子群和群的形式的每个Hausdorff商群

（其中F是$p$幂阶的循环群的有限数的乘积）是相同形式的群。