Exercice 15, § 1

Topologie générale, VII, p. 22

It is set in small type as supplementary.

Soit $I$ un cube fermé dans $\mathbf{R}^n$ , de côté $2\pi$ ; à tout point $\mathbf{x} = (x_i)$ de $I$ , on fait correspondre le point $\mathbf{y} = (y_j)$ de $\mathbf{R}^{n+1}$ tel que

\begin{align*} y_1 &= \sin x_1 \\ y_2 &= (2 + \cos x_1) \sin x_2 \\ &\vdots \\ y_p &= \left(2^{p-1} + \sum_{k=1}^{p-1} 2^{p-k-1} \cos x_{p-k} \cos x_{p-k+1} \ldots \cos x_{p-1}\right) \sin x_p \quad (2 \leq p \leq n) \\ &\vdots \\ y_{n+1} &= \sum_{k=1}^{n-1} 2^{n-k-1} \cos x_{n-k} \cos x_{n-k+1} \ldots \cos x_n. \end{align*}

Montrer que l’image de $I$ par cette application est homéomorphe à $\mathbf{T}^n$ (raisonner par récurrence sur $n$ , en observant que $y_p$ est toujours du signe de $\sin x_p$ pour $p \leq n$ ). Pour $n = 2$ , la partie de $\mathbf{R}^3$ ainsi définie est appelée tore de révolution.*

Solution

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