Bài tập 15, § 1

Cho $I$ là một hình lập phương đóng trong $\mathbf{R}^n$ có cạnh $2\pi$. Ánh xạ mỗi điểm $x = (x_i)$ của $I$ vào điểm $y = (y_j)$ của $\mathbf{R}^{n+1}$ sao cho

Chứng minh rằng ảnh của I qua ánh xạ này là đồng phôi với $\mathbf{T}^n$ (chứng minh bằng quy nạp theo $n$: nhận xét rằng $r_p$ có dấu của $\sin x_p$ đối với $\leq p\ n$). Nếu $n = 2$, tập con của $\mathbf{R}^3$ được xác định như trên được gọi là một xuyến tròn xoay.

(16) Cho G là một nhóm con của $\mathbf{R}^n$ chứa một tập con liên thông compact K sao cho đa tạp tuyến tính affine sinh bởi K có chiều $p$. Chứng minh rằng G chứa một không gian vectơ có chiều $p$. [Chứng minh bằng quy nạp theo $n$, sử dụng Bài tập 10 c) của Chương VI, § 1.]

(17) Cho E là tích $(\mathbf{Q}_p)^n$ của $n$ nhân tố bằng trường $\mathbf{Q}_p$ các số $p$-adic (Chương III. § 6, Bài tập 23), được trang bị cấu trúc nhóm tôpô là tích của các cấu trúc tôpô cộng tính của các nhân tố $\mathbf{Q}_p$, và với cấu trúc không gian vectơ $n$-chiều trên trường $\mathbf{Q}_p$. Nếu $v$ biểu thị định giá $p$-adic cộng tính trên $\mathbf{Q}_p$, đặt $x_p = p^{-v_p x}$ với mọi $x \neq 0$ trong $\mathbf{Q}_p$, và $o_p = 0$; và đặt $\|x\| = \sup x_i$ với mọi $x = (x_i)_{1 \leq i \leq n} \in E$ (xem Chương IX. § 3, các số 2 và 3).

a) Một tập con A của E là tương đối compact khi và chỉ khi

[Chú ý rằng $t_p$ là một ánh xạ liên tục từ $\mathbf{Q}_p$ vào $\mathbf{Z}$ (với tôpô rời rạc).]

b) Nếu G là một nhóm con đóng của E, thì G là một môđun tôpô trên vành $\mathbf{Z}_p$ các số nguyên $p$-adic; nếu $x \in G$, ta có $nx \in G$ với mọi $n \in \mathbf{Z}$, và $\mathbf{Z}$ là trù mật trong $\mathbf{Z}_p$.

c) Nếu K là một nhóm con compact của E, tồn tại một hệ tự do gồm $m \leq n$ điểm $a_i$ ($1 \leq i \leq m$) của E, sao cho K là tổng trực tiếp của m nhóm $\mathbf{Z}_p \cdot a_i$. [Sử dụng a) để chứng minh rằng, nếu $(e_j)_{1 \leq j \leq n}$ là cơ sở chính tắc của E, thì tồn tại một số nguyên $k \in \mathbf{Z}$ sao cho K được chứa trong tổng trực tiếp của n nhóm $\mathbf{Z}_p \cdot p^k e_j$; sau đó áp dụng lý thuyết môđun trên một vành iđêan chính.]

d) Nếu G là một nhóm con đóng (nhưng không compact) của E, thì G chứa một không gian con vectơ có chiều 1, $\mathbf{Q}_p \cdot a$ với $a \neq 0$. [Cho C là tập con compact của E gồm tất cả các điểm $x \in E$ sao cho $\|x\| = 1$; hãy chỉ ra rằng $G \cap C$ chứa một dãy các điểm $(x_r)_{r \in \mathbf{N}}$ sao cho $p^{-r} x_r \in G$, và lấy a là một điểm tụ của dãy này.]

e) Cho G là một nhóm con đóng của E, cho V là không gian con vectơ lớn nhất được chứa trong G và cho W là một không gian con vectơ bù của V; hãy chỉ ra rằng $W \cap G$ là compact và rằng G là tổng trực tiếp của V và $W \cap G$ (lập luận như trong Định lý 2 của no. 2).

f) Cho một nhóm con G của E, gọi $G^*$ là tập hợp của tất cả các $u = (u_i) \in E$ sao cho

thuộc $\mathbf{Z}_p$ với mọi $x = (x_i) \in G$. Hãy chứng minh rằng $G^*$ là đóng trong E, rằng $(\overline{G})^* = G^*$ và rằng $(G^*)^* = \overline{G}$.

g) Hãy phát biểu và chứng minh các tương tự của các Bài tập 2 đến 8 kể cả đối với các nhóm con đóng của E. Đặc biệt, mọi nhóm con đóng và mọi nhóm thương Hausdorff của một nhóm có dạng

(trong đó F là tích của một số hữu hạn các nhóm cyclic có cấp là lũy thừa của $p$) đều là một nhóm cùng dạng.