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1. Real number space $\mathbf{R}^n$

1. $\mathbf{R}^n$ 的拓扑

The open boxes in $\mathbf{R}^n$ form a base of the topology of $\mathbf{R}^n$ (Chapter I, § 4, no. 1); the open boxes which contain a point $x = (x_i)_{1 \leq i \leq n}$ of $\mathbf{R}^n$ form a fundamental system of neighbourhoods of $x$, and so do the closed boxes of $\mathbf{R}^n$ for which $x$ is an interior point.

$\mathbf{R}^n$ 中的每个非空开箱都与 $\mathbf{R}^n$ 同构（章 IV, § 4, no. 1，命题 1）。

由此可见，当$n \geq 1$时，$\mathbf{R}^n$中的每个非空开集合都有连续统的幂。

$\mathbf{R}^n$的*开*（或*闭*）*立方体*是一个开（或闭）盒子，它是$n$的乘积*相等长度*的有界间隔[对于$n = 2$，它被称为开（或闭）平方]；这些间隔的公共的长度称为立方体的边（或边长）。开放的立方体

形式点 $x = (x_i)$ 邻域的可数基本系统，因为 $m$ 穿过所有整数 $> 0$ 的集合或穿过整数递增的任何序列到无穷大。

$\mathbf{R}^n$中的每个开（或闭）盒子都是相连的（章I, § 11, no. 4，命题8）；特别地，$\mathbf{R}^n$是连通的并且是局部连通的。

如果$A$是$\mathbf{R}^n$中的非空开集合，则其分量因此是开集合（章I, § 11, no. 6，命题11）；这些分量中的集合是可数的，因为$\mathbf{R}^n$具有可数稠密子集（对于例$\mathbf{Q}^n$）。

考虑在什么情况下$\mathbf{R}^n$的条件子集$A$会相对紧凑。 根据吉洪诺夫的定理（章I, § 9, no. 5，定理3），$A$的投影在$\mathbf{R}^n$的因子上相对紧凑是充分必要的；根据 Borel-Lebesgue 定理 (章 IV, § 2, no. 2, 定理 2)，这相当于说，这些投影以 $\mathbf{R}$ 的子集为界。 We say that a subset $A$ of $\mathbf{R}^n$ is bounded if all its projections are bounded subsets of $\mathbf{R}$; thus we have proved:

2. 加法群$\mathbf{R}^n$

集合$\mathbf{R}^n$，赋予群结构即$\mathbf{R}^n$的$n$因子的加法群结构的乘积，为阿贝尔的群；我们使用$x = (x_i)$和$y = (y_i)$的添加剂记号、和，因此$x + y = (x_i + y_i)$。 数空间的拓扑与此群结构兼容；赋予这两个结构，$\mathbf{R}^n$是一个拓扑群，称为n维实数空间*的*加法群。 如果$n = 0$，我们约定$\mathbf{R}^0$仅表示单位元素中的群由……组成。

这个群的均匀度结构，称为$\mathbf{R}^n$的*加性均匀度*，是$\mathbf{R}^n$的因子均匀度的乘积（章III, § 3, no. 2）。如果，对于每个整数$p > 0$，$V_p$表示对$(x, y)$或$\mathbf{R}^n$的集合，使得$\max_{1 \leq i \leq n} |x_i - y_i| \leq 1/p$，集合$V_p$形式一个*基本* 系统这种一致性的随从。每当我们将 $\mathbf{R}^n$ 视为均匀性空间时，我们将始终牢记刚刚定义的加法均匀性，除非明确指出了相反的情况。有了这套制服结构，$\mathbf{R}^n$就是一套完整的制服空间（章II、、no. 5、命题10）

3. 向量空间$\mathbf{R}^n$

由于$\mathbf{R}$是域，我们可以在标量$t \in \mathbf{R}$的域$\mathbf{R}$、乘积$t x$上对$\mathbf{R}^n$向量空间结构进行定义并且点（或向量）$x = (x_i)$ / $\mathbf{R}^n$ 为点 $(t x_i)$。 注位似 $(t, x) \to t x$ 在 $\mathbf{R} \times \mathbf{R}^n$ 上连续。如果$e_i$表示$\mathbf{R}^n$中的向量，除了指标$i$的坐标等于1外，所有坐标均为零，则向量空间的$e_i$形式基 $\mathbf{R}^n$，称为这个空间的典范基。每个向量$x = (x_i) \in \mathbf{R}^n$都可以写成$x = \sum_{i=1}^n x_i e_i$，关系$\sum_{i=1}^n t_i e_i = 0$意味着$t_i = 0$对应$1 \leq i \leq n$。

因此，向量空间$\mathbf{R}^n$是维数$n$超过域$\mathbf{R}$，在代数（代数，章II, § 7, no. 2）的意义上；因此它的名称为$n$维实数空间。

令 $f$ 为向量空间 $\mathbf{R}^n$ 到向量空间 $\mathbf{R}^m$ 的仿射映射（$m$ 和 $n$ 整数 > 0）。如果我们把$g(x) = f(x) - f(0)$，$g$就是$\mathbf{R}^n$的线性映射放入$\mathbf{R}^m$。设$a_{ij}$($1 \leq j \leq m$)为$g(e_i)$在$\mathbf{R}^m$中的坐标，令$b_j$($1 \leq j \leq m$)为$f(0)$的坐标；如果 $x_i$ ($1 \leq i \leq n$) 是 $x \in \mathbf{R}^n$ 的第 $i$ 坐标，并且如果 $y_j$ 是 $y = f(x)$ 的第 $j$ 坐标，我们有

由于$x_1, x_2, \ldots, x_n$中的每个线性多项式在$\mathbf{R}^n$上一致连续，因此$\mathbf{R}^n$到$\mathbf{R}^m$的每个仿射映射在$\mathbf{R}^n$上一致连续（章II, § 2, no. 6，命题7）。

特别是，我们知道 $\mathbf{R}^n$ 对自身的每个仿射映射都是双射的，并且它的逆也是仿射映射；因此，$\mathbf{R}^n$对自身的每个仿射映射都是同胚（以及$\mathbf{R}^n$的一致结构的自同构）。

设$(a_i)_{1 \leq i \leq n}$为$\mathbf{R}^n$的$n$向量的自由系统[在向量空间$\mathbf{R}^n$的其他字基]；如果$b$是$\mathbf{R}^n$的任何点，点$x = b + \sum_{i=1}^{n} u_i a_i$的集合 P，使得$1 \leq i \leq n$的$-1 \leq u_i \leq 1$是$b$的紧凑邻域；因为存在 $\mathbf{R}^n$ 自身的双射仿射映射 $f$，使得 $f(b) = 0, f(b + a_i) = e_i$ 对于 $1 \leq i \leq n$； $f(P)$是$n$因子空间中$n$区间$[ -1, +1 ]$的立方乘积。 $P$ 与中心 $b$ 和基向量 $a_i$ 称为闭平行同位素。 $P$的内部由点$b + \sum_{i=1}^{n} u_i a_i$组成，使得$-1 < u_i < 1$代表$1 \leq i \leq n$；它被称为开放平行空间，具有中心$b$和基向量$a_i$。

4. $\mathbf{R}^n$ 中的仿射线性簇

给定$\mathbf{R}^n$中的$p$维仿射线性簇$V$，存在$\mathbf{R}^n$自身的仿射映射$f$，将变换$V$转换为$p$维坐标簇，即向量子空间$V'$由典范基$(e_i)$$\mathbf{R}^n$向量$p$生成。存在$V'$到$\mathbf{R}^p$的映射，即向量空间结构的同构和$V'$的拓扑到$\mathbf{R}^p$的相应的结构（而且通常很方便）到认同$\mathbf{R}^p$，具有这样的坐标变化$V'$，例如，具有由$e_1, e_2, \ldots, e_p$生成的向量子空间）。在加法中，$V'$是$\mathbf{R}^n$的闭子集（章I, § 4, no. 3，命题7的推论）；因此：

5. 拓扑向量空间和代数超过域 $\mathbf{R}$

设$E$为维数$n$除域$\mathbf{R}$之向量空间；如果$(a_i)_{1 \leq i \leq n}$是$E$的*基*，那么每个点$x \in E$都可以唯一地写成形式$x = \sum_{i=1}^n x_i a_i$，其中$x_i$是实数；因此，映射$(x_i) \to \sum_{i=1}^n x_i a_i$是$\mathbf{R}^n$到$E$的双射线性映射。

如果我们通过这个映射*迁移*到$\mathbf{R}^n$的$E$拓扑，则$E$被赋予与其加法群结构兼容的拓扑，以及映射$(t, x) \to tx$ $\mathbf{R} \times E$到$E$相对于此拓扑是连续的。这个拓扑*独立于$E$中选择的基*；因为如果$(a')$是$E$的另一个基，并且如果$x = \sum_{i=1}^n x'_i a'_i = \sum_{i=1}^n x_i a_i$，$\mathbf{R}^n$的映射$(x_i) \to (x'_i)$自身是线性的，因此是同胚。

这一事实使人们怀疑，在$E$上定义的拓扑应该能够在没有$E$的基帮助的情况下实现刻画。事实上，我们稍后会看到，这是$E$上*唯一的*Hausdorff 拓扑，其中函数$x - y$（在$E \times E$上）和$tx$（在$\mathbf{R} \times E$上）是连续的。

如果现在$A$是有限秩$n$超过域$\mathbf{R}$的*代数*，则$A$上的上述拓扑（被视为$\mathbf{R}$上的$n$维向量空间）不仅兼容$A$ 的加法群结构，还有它的 环 结构。这是以下更一般结果的推论：

6. 拓扑矩阵空间超过 $\mathbf{R}$

向量空间超过$\mathbf{R}$的重要例是*矩阵的空间$\mathbf{M}_{m,n}(\mathbf{R})$，有m行和n个列*，其元素属于到$\mathbf{R}$；这是维数$mn$超过$\mathbf{R}$的空间，因此与$\mathbf{R}^{mn}$同胚。 通过§ 5的命题5，两个矩阵$X \in \mathbf{M}_{m,n}(\mathbf{R}), Y \in \mathbf{M}_{n,p}(\mathbf{R})$的乘积$X.Y$是$(X, Y)$的连续函数。 In particular, the topology of the space $\mathbf{M}_n(\mathbf{R})$ of square matrices of order $n$ is compatible with the ring structure on $\mathbf{M}_n(\mathbf{R})$. 此外：

习题

参见习题为 § 1。