足以证明两个无处稠密集合$A, B$的并无处稠密，并且不失一般性，我们可以假设$A$和$B$是闭集。 命题则相当于两个密开集合$\overline{C}A, \overline{C}B$的交密的说。现在，如果 $U$ 是非空开集合，则 $U \cap \overline{C}A$ 是开且非空，因此

是开放且非空的。

设$Y$为拓扑空间$X$的子空间。如果 $A$ 在被视为拓扑空间 $Y$ 的子集时不稠密，则 $Y$ 的子空间 $A$ 被认为是*相对于* $Y$ 来说是*不稠密的。

假设 $A$ 相对于 $Y$ 来说并不稠密。如果$X$包含中$A$的闭包$\overline{A}$是一个非空开集合$U$，则$U \cap A$不为空（通过闭包的定义）；因此$U \cap Y$是相对于$Y$的非空开集合，并且包含在$A$相对于$Y$的闭包$\overline{A} \cap Y$中，这与假设相反。

现在假设$Y$在$X$中开，并且$A \subset Y$相对于$X$来说并不稠密。如果 $U$ 在 $Y$ 中开且不为空，则 $U$ 在 $X$ 中开，因此包含是一个非空集合 $V$，它在 $X$ 中开（以及 $Y$ 中的 更不必说）并且不满足$A$；因此$A$相对于$Y$来说并不稠密。

如果$Y$未在$X$中打开，则命题2的第二个部分显然无效；例如，考虑$Y \neq \emptyset$在$X$和$A = Y$中不稠密的情况。

这是从 (EB") 得出的，对于 $Y$ 中的每个开路（分别为微量）集合在 $X$ 中都是开路（分别为微量）。

从命题 3 可以得出，Baire 空间的每个点都有一个邻域的基本系统，每个空间都是一个Baire 空间。反过来：

令$A$为$X$中的非空开集合，令$x \in A$并令$V$为$x$的开邻域，即Baire空间。如果$A$在$X$中微薄，那么$V \cap A$在$V$中微薄而在$V$中开放，这与假设相反。

令$A$为$X$中微薄的集合；那么它在$X$中的补集$Y = \complement_A$在$X$中是稠密的。令$B$相对于$Y$来说是微不足道的集合； $B$ 相对于 $X$ 来说也微不足道，因此 $A \cup B$ 相对于 $X$ 来说微不足道。因此，$X$中$A \cup B$的补集，也是$Y$中$B$的补集，在$X$中是稠密的，并且在$Y$中是*更不必说*稠密的。因此 $Y$ 是 Baire 空间。

我们将证明在每种情况下都满足公理（EB）。 令$(A_n)$为$X$中密集开集合的序列，并令$G$为任意非空开集合。 然后我们可以归纳非空开集合的定义序列$(G_n)$使得$G_1 = G$和$\overline{G}_{n+1} \subset G_n \cap A_n$：因为从假设$G_n$不为空，$G_n \cap A_n$是非空开集合；并且由于 $X$ 在所设想的两种情况下都是“常规”，因此存在一个非空开集合 $G_{n+1}$，使得 $\overline{G}_{n+1} \subset G_n \cap A_n$。 因此，集合$G_n$的集合$G \cap \bigcap_{n=1}^\infty A_n$包含交，等于集合$\overline{G}_n$的交；因此只要证明$\bigcap_{n=1}^\infty \overline{G}_n \neq \varnothing$就足够了。 现在，如果$X$是局部紧致的，我们可以假设$\overline{G}_2$是紧致的；在紧凑空间 $\overline{G}_2$ 中，非空封闭集合的 $\overline{G}_n (n \geq 2)$ 形式递减序列，因此根据公理 (C'')，它们的交不为空 (cf. 章 I, § 9, no. 1， 定义1]。 If $X$ is a complete metric space (with respect to a metric compatible with its topology) we may suppose that $\overline{G}_n$ has been chosen so that its diameter (with respect to this metric) tends to 0 as $n$ tends to $+\infty$; the $\overline{G}_n$ therefore form a Cauchy filter base which converges to a point $x$, and $x$ necessarily belongs to the intersection of the sets $\overline{G}_n$.

Q.E.D.

这个定理也可以在形式中表示，邻域中点的集合（其中族$(f_\alpha)$均匀有界于其上）是密集开集合。

令$f = \sup_\alpha f_\alpha$为家庭$(f_\alpha)$的上层信封。 函数 $f$ 是下半连续 (章 IV, § 6, no. 2, 定理 4)，并且在 $X$ 的每点处有限。因此，在家庭 $(f_\alpha)$ 由单个函数 $f$ 组成的情况下，进行证明就足够了。令$A_n$为点$x \in X$中的集合，使得$f(x) \leq n$； $A_n$是闭集（章IV, § 6, no. 2，命题1），假设意味着$X$是集合$A_n$的并；因此，至少其中一个 $A_n$ 具有内部点，因此存在一个非空开集合，其上有 $f$ 边界（由整数 $n$）。如果我们将此结果应用于$X$的任何非空开子集（这个子空间也是no. 3的命题 3的贝尔空间），我们有定理。

在定理的应用中，通常情况是$f_\alpha$在$X$上连续。