事实上，让$\Omega_0$是$\Omega$的非空开闭子集。令 $x\in X$ 且令 V 为 $x$ 的邻域，使得 $V\cap \Omega$ 相连。如果$x\in \overline{\Omega}_0$，

所以$V\cap \Omega \subset \Omega_0$。因而，由于$\Omega$在$X,\overline{\Omega}_0$中是稠密的，因此邻域是$x$。因而，$\Omega_0$非空、开闭，并且由于X是连通的，因而$\overline{\Omega}_0= X$。由于$\Omega_0$在$\Omega$中是闭合的，这意味着$\Omega_0=\Omega \cap \overline{\Omega}_0=\Omega$，从而证明$\Omega$是连通的。

U-- A 的密度由可微分和解析流形，结果，3.2.5 得出。首先假设$n= 1$。如果$f$的$a\in A$，幂级数展开关于$a($可微分和解析流形，结果，3.2.1）不减少到0，则存在邻域$V_a$ $a$ 在 U 中，使得 $f$ 不会在 $V_a$ -- $\{a\}$ 上消失。因而，$a$在A中是孤立的，这证明A是U的离散子集，因此可数，因为U在无穷大是可数的。令 $x, y\in U$ -- A. 连接 $x$（分别为 $y$）到 A 的点的实仿射线的并是微不足道的（一般拓扑，第 IX, §5, no. 2，定义 2）。因而，存在 $z\in U$ -- A，使得段 $[x, z]$ 和 $[y, z]$ 都不满足 A。 点 $x, y, z$ 因此属于与 U -- A 的相同连通分量，这证明了在这种情况下的引理 $n= 1$。我们转向一般情况。我们可以假设A是$f($一般拓扑的零的集合，第1章。 I, §11, no. 1，提案 1)。设 $x, y\in U$-- A 并设 L 为仿射线包含 $x$ 和 $y$。自$x\in L\cap U$以来，$f$到$L\cap U$的限制与零不相同。通过已经证明的，$x$和$y$属于到$(L\cap U)$--$(L\cap A)$的同一个连通分量，因此到U--A的同一个连通分量。

对于任何$x\in X$，都存在一个解析的函数胚芽$f_x$，并且不会消失

在$x$处，使得$x$处的A的胚芽包含在集合处的$x$处的胚芽中

零 $f_x$。

那么 X -- A 在 X 中是密集的并且是连通的。

密度 of X-- A 由可微分和解析流形，结果，3.2.5 得出。我们可以假设 A 是封闭的（通则拓扑，第 I, §11, no. 1 章，命题 1）。对于任何$x\in X$，存在$x$的开邻域V和同构$c$，从V到$\mathbf{C}^n$中的开球，使得$c(A\cap V)$包含在a的零的集合中全纯函数与$c(V)$ 上的零不相同。然后，通过引理 $2, V\cap (X$ -- A) 连接起来。鉴于引理 1，这证明X -- A 是连通的。