App. 1. 附录 I 多项式映射和 ZARISKI 拓扑

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附录 I 多项式映射和 ZARISKI 拓扑

在这个附录中， $k$ 被假设为无穷大。

1. 扎里斯基拓扑

令 V 为有限维向量空间。 We denote by $A_V$ the algebra of polynomial functions on V with values in $k($ Algebra, Chap. IV, §5, no. 10, Def. 4). 这是分级代数；次数 1 的分量是 V 的对偶 $V^*$ 和 $V^*$ 的单射到 $A_V$ 扩展到同构，从对称代数 $\mathbf{S}(V^*)$ 到 $A_V($ 代数，第 1 章IV, §5, no. 11、注 2)。

如果 $(e_1, . . . , e_n)$ 是 V 的基，并且 $(X_1, . . . ,X_n)$ 序列是不定式，则映射从 $k[X_1, . . . ,X_n]$ 到 $A_V$ 取 $k[X_1, . . . ,X_n]$ 到函数的任何元素 $f$

\sum_{i=1}^n\lambda_ie_i \rightarrow f(\lambda_1, . . . , \lambda_n)

是代数的同构（代数，第IV, §5, no. 10章，第19号提案的Cor.）。

命题 1 00XC

令H为从 $A_V$ 到 $k$ 的代数同态的集合。对于任何 $x\in V$ ，令 $h_x$ 为从 $A_V$ 到 $k$ 的同态 $f \rightarrow f(x)$ 。那么，从V到H，映射 $x \rightarrow h_x$ 就是双射。

事实上，让 $H'$ 是从 $k[X_1, . . . ,X_n]$ 到 $k$ 的代数同态的集合。从 $H'$ 到 $k^n$ ，映射 $\chi \rightarrow (\chi (X_1), . . . , \chi (X_n))$ 显然是双射。

推论 00XD

对于任何 $x\in V$ ，设 $\mathfrak{m}_x=$ Ker( $h_x$ )。那么映射 $x \rightarrow \mathfrak{m}_x$ 是 $A_V$ 的理想 $\mathfrak{m}$ 从V到集合的双射，使得 $A_V/\mathfrak{m}=k$ 。

被以下引用 1

被以下引用命题 2

如果存在 $A_V$ 的元素的 $(f_i)_{i\in I}$ 族，使得 $x\in F\Leftarrow \Rightarrow x\in V$ 和 $f_i(x) = 0$ 对于所有 $i\in I$ 来说，V的子集F被认为是封闭的。

显然 $\emptyset$ 和V是闭的，并且闭的集合中的任意交都是闭的。如果 F 由 $f_i$ 的消失定义， $F'$ 由 $f'_j$ 的消失定义，则 $F\cup F'$ 由 $f_if'_j$ 的消失定义，因此是闭集。因此，V上存在拓扑，使得该拓扑的闭集合恰好是上述意义上的闭集合。这个拓扑称为V上的Zariski拓扑。对于任何 $f\in A_V$ ，我们用 $x\in V$ 的 $V_f$ 集合表示，使得 $f(x)\not= 0$ ；这是 V 的开子集。很明显，Zariski 拓扑的 $V_f$ 形式基。（如果 $k$ 是拓扑域，则V的规范拓扑比Zariski拓扑是更细。）

Cor 的映射 $x \rightarrow \mathfrak{m}_x$ 。命题1可以被认为是从V到 $A_V($ 交换代数的素谱Spec(A $_V$ )的映射 $\varepsilon$ ，第1章。 II, §4, no. 3，防御。 4). Spec(A $_V$ )的拓扑的 $\varepsilon$ 下的Zariski拓扑为逆像为直接的。

命题 2 00XE

向量空间V，配备Zariski拓扑，是不可约的诺特空间。特别是，V的每个非空开子集都是稠密的。

引用了 1

引用了推论

由于 $A_V$ 是诺特，Spec(A $_V$ )是诺特（交换代数，第II, §4, no. 3章，第11号提案第7章），诺特空间的每个子空间是诺特（前述，no. 2，第 8 号提案）。与Cor的记号。命题1中， $\mathfrak{m}_x$ 的交是 $\{0\}$ ， $\{0\}$ 是 $A_V$ 的素理想；因此 V 是不可约的（前述，no. 3，第 14 条命题）。

2. Dominant polynomial maps

令 $V,W$ 为有限维向量空间。令 $f$ 为从 V 到 W 的多项式映射（代数，第 IV, §5, no. 10 章，定义 4）。如果 $\psi \in A_W,\psi \circ f\in A_V$ （参见第 17 条提案）。映射 $\psi \rightarrow \psi \circ f$ 是从 $A_W$ 到 $A_V$ 的同态，据说与 $f$ 相关。它的核由函数 $\psi \in A_W$ 组成，在 $f(V)$ 上消失（因此也在Zariski拓扑中的 $f(V)$ 闭合时消失）。

定义 1 00XF

如果与 $f$ 关联的从 $A_W$ 到 $A_V$ 的同态是单射的，则称多项式映射 $f: V\rightarrow W$ 是显性的。

鉴于前述，当且仅当 $f(V)$ 在 Zariski 拓扑中的 W 中稠密时， $f$ 占主导地位。

命题 3 00XG

假设 $k$ 是代数闭的。设 $f: V\rightarrow W$ 为支配多项式映射。 V 包含的任何密集开子集 $f$ 下的像 W 的密集开子集。

引用了 1

引用了命题 19, A IV § 5

足以证明，对于 $A_V,f(V_{\varphi})$ 包含的每个非零元素 $\varphi$ ，W.认同 $A_W$ 的密集开子集和 $A_V$ 的子代数通过同态关联到 $f$ 。存在 $A_W$ 的非零元素 $\psi$ ，使得每个同态 $w: A_W\rightarrow k$ 不会湮灭 $\psi$ 扩展到同态 $v: A_V\rightarrow k$ 不会湮灭 $\varphi ($ 交换代数，第 1 章V, §3, no. 1，科。 3 Th。 1）。现在，这样的 $w$ （或 $v$ ）可以与 $W_{\psi}$ （或 $V_{\varphi}$ ）的元素识别，并且说 $v$ 、扩展、 $w$ 意味着 $f(v) =w$ 。因此， $W_{\psi}\subset f(V_{\varphi})$ 。 Q.E.D.

令 $f: V\rightarrow W$ 为多项式映射，且 $x_0\in V$ 。从V到W的映射 $h \rightarrow f(x_0+h)$ 是多项式。将其分解为齐次多项式映射的有限和：

f(x_0+h) =f(x_0) + D_1(h) + D_2(h) +\cdots

其中 $D_i: V\rightarrow W$ 是次数 $i($ 代数的齐次，第 1 章。 IV, §5, no. 10，提案 19）。直线映射 $D_1$ 称为 $f$ 在 $x_0$ 的切线映射。我们用 $Df(x_0)$ 表示。

命题 4 00XH

设 $f: V\rightarrow W$ 为多项式映射。假设存在 $x_0\in V$ 使得 $(Df)(x_0)$ 是满射的。那么 $f$ 占主导地位。

被以下引用 1

被以下引用推论

应用 V 的翻译和 W 的翻译，我们可以假设 $x_0= 0$ 和 $f(x_0) = 0$ 。 $f$ 的分解可以写成齐次元素的和

$f=f_1+f_2+\cdots$ 度数 $f_i=i$ ，

线性映射 $f_1$ 与假设满射。假设 $f$ 不占优势。那么存在 $A_W$ 的非零元素 $\psi$ 使得 $\psi \circ f= 0$ 。设 $\psi =\psi_m+\psi_{m+1}+\cdots$ 为 $\psi$ 的分解并入齐次元素，度为 $\psi_i=i$ 和 $\psi_m\not= 0$ 。然后

0 =\psi \circ f=\psi_m\circ f+\psi_{m+1}\circ f+\cdots

=\psi_m\circ f_1+\rho

其中 $\rho$ 是次数 $> m$ 的齐次多项式映射的和。由此可见 $\psi_m\circ f_1= 0$ 。由于 $f_1$ 是满射， $\psi_m= 0$ 是矛盾的。

推论 00XI

如果 $k$ 是代数闭的，并且如果 $f$ 满足命题4的假设，则像位于V包含的任何稠密开子集的 $f$ 下，W的稠密开子集。

引用了 1

引用了命题 4

这是从 Props 得出的。 3和4。

习题

用 V 表示 $k$ 上的有限维向量空间。

参见习题附录 1。