(i) ad$_{\mathfrak{g}}x$的半单和幂零分量分别是ad$_{\mathfrak{g}}s$和ad$_{\mathfrak{g}}n$。

(ii) $x$ 在 $\mathfrak{g}$ 中是正则的当且仅当 $s$ 是。

(iii) 如果$\mathfrak{g}'$是$\mathfrak{g}\mathfrak{l}(V)$包含$\mathfrak{g}$的子代数，则$\mathfrak{g}$扩展的每个初等自同构到$\mathfrak{g}'$的初等自同构。

输入$\mathfrak{a}=\mathfrak{g}\mathfrak{l}(V)$。由章。 ad$_{\mathfrak{a}}x$的I, §5, no. 4、引理2、半单和幂零分量是ad$_{\mathfrak{a}}s$和ad$_{\mathfrak{a}}n$；由此得出断言 (i)。我们推导出ad$_{\mathfrak{g}}x$和ad$_{\mathfrak{g}}s$的特征多项式是相同的；因此(ii)。如果 ad$_{\mathfrak{g}}x$ 幂零的，则 ad$_{\mathfrak{g}}x=$ ad$_{\mathfrak{g}}n$，因此 ad$_{\mathfrak{g}'}n$ 扩展 ad$_{\mathfrak{g}}x$，并且 $n$ 是 $\mathfrak{g}'$ 的幂零元，因此 (iii)。

设$\mathfrak{g}$是$\mathfrak{g}\mathfrak{l}(V)$的谎言子代数。我们知道（第 I, §6, no. 5，第 4 章）以下条件是等效的：

(i) $\mathfrak{g}$的身份表示是半单；

(ii) $\mathfrak{g}$ 是约数，$\mathfrak{g}$ 中心的每元素是半单自同态。

这些条件实际上相当于以下内容：

(iii) $\mathfrak{g}$ 是$\mathfrak{g}\mathfrak{l}(V)$ 中的约子代数。

事实上，(i) $=\Rightarrow$ (iii) 由第 1 章提供。 I, §6, no. 5，科。 3 Th。 4，和（iii）$=\Rightarrow$（i）章。 I, §6, no. 6，科。提案 7 的第 1 条。我们将证明，如果 $\mathfrak{g}$ 满足这些条件，则 $\mathfrak{g}$ 是可分解的。更一般地说：

(i) $\mathfrak{g}$ 和 $\pi (\mathfrak{g})$ 是可分解的。

(ii) The semi-simple (resp. nilpotent) elements of $\pi (\mathfrak{g})$ are the images under $\pi$ of the semi-simple (resp. nilpotent) elements of $\mathfrak{g}$.

(iii) If $\mathfrak{h}$ is a decomposable subalgebra of $\mathfrak{g}\mathfrak{l}(V)$ contained in $\mathfrak{g},\pi (\mathfrak{h})$ is a decomposable subalgebra of $\mathfrak{g}\mathfrak{l}(E)$.

(iv) 如果$\mathfrak{h}'$是$\mathfrak{g}\mathfrak{l}(E),\pi^{-1}(\mathfrak{h}')$的可分解的子代数，则子代数是$\mathfrak{g}\mathfrak{l}(V)$的可分解的子代数。

令$\mathfrak{s}= [\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$且$\mathfrak{c}$为$\mathfrak{g}$的中心。 然后是$\mathfrak{g}=\mathfrak{s}\times \mathfrak{c}$和$\pi (\mathfrak{g}) =$$\pi (\mathfrak{s})\times \pi (\mathfrak{c})$。 I, §6, no. 4，科。提案 5。 让$y\in \mathfrak{s}, z\in \mathfrak{c}, y_s$和$y_n$半单以及$y$的幂零分量。 那么$y_s, y_n\in \mathfrak{s}$（第I, §6, no. 3章，提案$3$）$,y_s+z$是半单（代数，第VII, §5, no. 7章，第16号提案的Cor.），并且$y_n$与$y_s+z$通勤。 因此，半单和$y+z$的幂零分量是$y_s+z$和$y_n$。 因此，$\mathfrak{g}$是可分解的。 由于 $\pi (\mathfrak{g})$ 在 $\mathfrak{g}\mathfrak{l}$(E) 中是可还原的，因此相同的论证适用于 $\pi (\mathfrak{g})$ 并表明 $\pi (\mathfrak{g})$ 是可分解的。 此外，$\mathfrak{g}$（或$\pi (\mathfrak{g})$）的幂零元是$\mathfrak{s}$（或$\pi (\mathfrak{s})$）的幂零元。 因此，$\pi (\mathfrak{g})$的幂零元是$\mathfrak{g}$的幂零元的$\pi$下的像（第I, §6, no. 3章，第4条命题）。 The semi-simple elements of $\mathfrak{g}$ (resp. $\pi (\mathfrak{g})$) are the sums of the semi-simple elements of $\mathfrak{s}$ (resp. $\pi (\mathfrak{s})$) and the elements of $\mathfrak{c}$ (resp. $\pi (\mathfrak{c})$). 因此，$\pi (\mathfrak{g})$的半单元素是像在半单元素的$\pi$之下，$\mathfrak{g}$（第I章，前述）。 因此(ii)。

断言 (iii) 和 (iv) 紧随 (i) 和 (ii) 之后。

把$\mathfrak{g}=\mathfrak{g}\mathfrak{l}(V)$； $z\in \mathfrak{g}\mathfrak{l}(\mathfrak{g})$的$\mathfrak{g}\mathfrak{l}(\mathfrak{g})$由……组成的子代数$\mathfrak{h}'$使得$z(\mathfrak{c})\subset \mathfrak{b}$可分解（例1）。令$\pi :\mathfrak{g}\rightarrow \mathfrak{g}\mathfrak{l}(\mathfrak{g})$为$\mathfrak{g}$的伴随表示。应用于 $\pi$ 的命题 2 (iv) 表明 $\pi^{-1}(\mathfrak{h}')$ 是可分解的。因而$\mathfrak{a}'=\mathfrak{a}\cap \pi^{-1}(\mathfrak{h}')$也是如此。

这是通过取$\mathfrak{c}=\mathfrak{n},\mathfrak{b}=\mathfrak{n}$（或$\mathfrak{c}=\mathfrak{n},\mathfrak{b}=\{0\}$）得出的命题3。

这是从推论 1 得出的。

令$\mathfrak{g}_1$为$x\in \mathfrak{g}\mathfrak{l}(V)$的集合，使得$[x,\mathfrak{n}]\subset [\mathfrak{g},\mathfrak{n}]$。这是 $\mathfrak{g}\mathfrak{l}$(V)、包含 $\mathfrak{g}$ 的可分解谎言子代数，因而$e(\mathfrak{g})$、cf. no. 1，命题 3；其他字、$[e(\mathfrak{g}),\mathfrak{n}]\subset [\mathfrak{g},\mathfrak{n}]$。令 $\mathfrak{n}_1$ 为 $y\in \mathfrak{g}\mathfrak{l}(V)$ 的集合，使得

这是前面的 $\mathfrak{g}\mathfrak{l}(V)$ 包含 $\mathfrak{n}$ 的可分解谎言子代数，因此是包含 $e(\mathfrak{n})$；其他字$[e(\mathfrak{g}), e(\mathfrak{n})]\subset [\mathfrak{g},\mathfrak{n}]$，所以

由此可见$[e(\mathfrak{g}),\mathfrak{n}]\subset [e(\mathfrak{g}), e(\mathfrak{n})]\subset \mathfrak{n}$，因而$\mathfrak{n}$和$e(\mathfrak{n})$是$e(\mathfrak{g})$的理想。

(ii) 如果 $\mathfrak{g}$ 是可交换的（或幂零、或可解），则 $e(\mathfrak{g})$ 是可交换的（或幂零、或可解）。

断言 (i) 由 $i$ 上的归纳由第 4 条命题得出，(ii) 由 (i) 得出。

事实上，$e(\mathfrak{r})$ 是第 4 号提案和 Cor.4 的 $\mathfrak{g}$ 的可解理想。 1，因而$e(\mathfrak{r}) =\mathfrak{r}$。

如果$x\in \mathfrak{t}$，ad$_{\mathfrak{g}}x$是半单且幂零，因此零，因而$x$是$\mathfrak{g}$的中心。因而，$\mathfrak{t}$是$\mathfrak{g}$和$\mathfrak{t}\cap \mathfrak{n}_V(\mathfrak{g}) = 0$的理想。由于$\mathfrak{g}$可分解，$\mathfrak{g}=\mathfrak{t}+\mathfrak{n}_V(\mathfrak{g})$，因此命题。

(i) 对于$\mathfrak{h}\in \mathscr{H}$，令$\varphi (\mathfrak{h})$为集合/半单元素/$\mathfrak{h}$。然后$\varphi (\mathfrak{h})\in \mathscr{T}_1$。

(ii) 对于$\mathfrak{t}\in \mathscr{T}_1$，令$\psi (\mathfrak{t})$为$\mathfrak{t}$在$\mathfrak{g}$的交换子。然后$\psi (\mathfrak{t})\in \mathscr{H}$。

(iii) 映射$\varphi$和$\psi$是从$\mathscr{H}$到$\mathscr{T}_1$以及从$\mathscr{T}_1$到$\mathscr{H}$的逆双射。

(iv) 如果 $k$ 是代数闭集，则 Aut$_e(\mathfrak{g})$ 在 $\mathscr{T}_1$ 上传递运算。

设$\mathfrak{h}\in \mathscr{H}$，并放入$\mathfrak{t}=\varphi (\mathfrak{h})$。根据 Prop. 5 和 Cor. $3,\mathfrak{t}\in \mathscr{T}$ 和 $\mathfrak{h}=\mathfrak{t}\times \mathfrak{n}_V(\mathfrak{h})$ 提案 2。对于$\mathfrak{g}$的任何子代数$\mathfrak{u}$，我们用$\psi (\mathfrak{u})$表示$\mathfrak{u}$在$\mathfrak{g}$的交换子。那么$\mathfrak{h}\subset \psi (\mathfrak{t})$和$\psi (\mathfrak{t})\subset \mathfrak{g}^0(\mathfrak{h})$，因为$\mathfrak{n}_V(\mathfrak{h})$的元素是幂零的，所以$\mathfrak{h}=\psi (\mathfrak{t})$。如果$\mathfrak{t}'\in \mathscr{T}$和$\mathfrak{t}\subset \mathfrak{t}'$，我们有$\mathfrak{t}'\subset \psi (\mathfrak{t}) =\mathfrak{h}$，所以$\mathfrak{t}'=\mathfrak{t}$，因此有$\mathfrak{t}\in \mathscr{T}_1$。

设$\mathfrak{t}\in \mathscr{T}_1$，并放入$\mathfrak{c}=\psi (\mathfrak{t})$。设$\mathfrak{h}$为$\mathfrak{c}$中的嘉当子代数。根据§2, no. 3、提案$10,\mathfrak{h}\in \mathscr{H}$ 和$\mathfrak{t}\subset \mathfrak{h}$。把$\mathfrak{t}_1=\varphi (\mathfrak{h})\in \mathscr{T}$。然后$\mathfrak{t}\subset \mathfrak{t}_1$所以$\mathfrak{t}=\mathfrak{t}_1$，以及前面的$\mathfrak{h}=\psi (\mathfrak{t}_1) =\psi (\mathfrak{t}) =\mathfrak{c}$。因此，$\psi (\mathfrak{t})\in \mathscr{H}$和$\varphi (\psi (\mathfrak{t})) =\mathfrak{t}$。

这样我们就证明了(i)、(ii)和(iii)。假设 $k$ 是代数闭的。由于 Aut$_e(\mathfrak{g})$ 在 $\mathscr{H}($§3, no. 2 上传递操作，Th。 1)、Aut$_e(\mathfrak{g})$在$\mathscr{T}_1$上传递操作。

如果$x\in \mathfrak{g}$是正则，则$\mathfrak{g}^0(x)$是$\mathfrak{g}($§2, no. 3的嘉当子代数，Th。 1（一））；此外，如果$x$是半单，则$\mathfrak{g}^0(x)$是$x$在$\mathfrak{g}$的集中器。相反，令$\mathfrak{h}$为$\mathfrak{g}$的嘉当子代数。存在$\mathfrak{t}\in \mathscr{T}_1$使得$\mathfrak{h}=\psi (\mathfrak{t})$。根据第7条命题§1, no. 2，存在$x\in \mathfrak{t}$使得$\mathfrak{h}=\mathfrak{g}^0(x)$；从$x\in \mathfrak{t}$、$\mathfrak{g}^0(x) =\mathfrak{g}_0(x)$开始。星期四 §3, no. 3 之前2 (ii), $x$ 是正则。

(i) The subgroup of Aut($\mathfrak{g}$) consisting of the $e^{adx}, x\in \mathscr{C}^{\infty}\mathfrak{g}$ (cf. §3, no. 4), operates transitively on $\mathscr{T}_1$.

(ii) 如果$\mathfrak{t}\in \mathscr{T}_1,\mathfrak{g}$是$\mathfrak{t}$和$\mathfrak{n}_V(\mathfrak{g})$的半直接乘积。

断言 (i) 源自以下事实：$e^{adx},x\in \mathscr{C}^{\infty}\mathfrak{g}$ 的群在$\mathscr{H}($§3, no. 4、Th 上传递操作。 3）。

我们证明(ii)。令$\mathfrak{t}\in \mathscr{T}_1$，并令$\mathfrak{h}=\psi (\mathfrak{t})$为$\mathfrak{g}$的相应的嘉当子代数。鉴于提案$5,\mathfrak{h}=\mathfrak{t}+\mathfrak{n}_V(\mathfrak{h})\subset \mathfrak{t}+\mathfrak{n}_V(\mathfrak{g})$。另一方面，$\mathfrak{g}=\mathfrak{h}+ [\mathfrak{g},\mathfrak{g}] ($§2, no. 1，Cor。命题 4 中的 3) 和 $[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]\subset \mathfrak{n}_V(\mathfrak{g})$，因此 $\mathfrak{g}=\mathfrak{t}+\mathfrak{n}_V(\mathfrak{g})$。但很明显$\mathfrak{t}\cap \mathfrak{n}_V(\mathfrak{g}) =\{0\}$。因此，代数$\mathfrak{g}$是$\mathfrak{t}$的半直接乘积和理想的$\mathfrak{n}_V(\mathfrak{g})$。

(i) 存在$\mathfrak{g}$的谎言子代数$\mathfrak{m}$，在$\mathfrak{g}\mathfrak{l}(V)$中还原，使得$\mathfrak{g}$是$\mathfrak{m}$和$\mathfrak{n}_V(\mathfrak{g})$的半直接乘积。

(ii) 具有 (i) 中属性的 $\mathfrak{g}$ 的任何两个谎言子代数在 Aut$_e(\mathfrak{g})$ 下都是共轭。

$\mathfrak{g}$的部首$\mathfrak{r}$是可分解的（no. 2，第4条命题的Cor.2）。由科.根据命题6的2，存在$\mathfrak{r}$的交换子代数$\mathfrak{t}$，半单元素的由……组成，使得$\mathfrak{r}=\mathfrak{t}\oplus \mathfrak{n}_V(\mathfrak{r})$。由于 ad$_{\mathfrak{g}}\mathfrak{t}$ 由半单元素组成，$\mathfrak{g}$ 是 $[\mathfrak{t},\mathfrak{g}]$ 的直和以及 $\mathfrak{t}$ 的扶正器 $\mathfrak{z}$（第 I, §3, no. 5 章，第 6 条）。从$[\mathfrak{t},\mathfrak{g}]\subset \mathfrak{r},\mathfrak{g}=\mathfrak{z}+\mathfrak{r}$开始。因而，如果$\mathfrak{s}$是$\mathfrak{z}$的李维子代数（第I, §6章，第$8$）$,\mathfrak{g}=\mathfrak{s}+\mathfrak{r}$，那么$\mathfrak{s}$是$\mathfrak{g}$的李维子代数。输入$\mathfrak{m}=\mathfrak{s}\oplus \mathfrak{t}$。由于$[\mathfrak{s},\mathfrak{t}] =\{0\},\mathfrak{m}$是$\mathfrak{g}$的谎言子代数，由第1章在$\mathfrak{g}\mathfrak{l}(V)$中还原。 I, §6, no. 5，周四。 4. 此外，

从$\mathfrak{n}_V(\mathfrak{g}) =\mathfrak{n}_V(\mathfrak{r})$开始。因而(i)。

现在让$\mathfrak{m}'$是$\mathfrak{g}$的谎言子代数与$\mathfrak{n}_V(\mathfrak{g})$互补并在$\mathfrak{g}\mathfrak{l}(V)$中还原。我们证明，在 Aut$_e(\mathfrak{g})$ 下，$\mathfrak{m}'$ 是共轭到 $\mathfrak{m}$。我们有$\mathfrak{m}'=\mathfrak{s}'\oplus \mathfrak{t}'$，其中$\mathfrak{s}'= [\mathfrak{m}',\mathfrak{m}']$是半单，$\mathfrak{m}'$的中心$\mathfrak{t}'$由半单元素组成。然后$\mathfrak{r}=\mathfrak{t}\oplus \mathfrak{n}_V(\mathfrak{g}) =\mathfrak{t}'\oplus \mathfrak{n}_V(\mathfrak{g})$。鉴于科尔。根据第 6 条命题 2，我们被简化为情况$\mathfrak{t}=\mathfrak{t}'$。然后$\mathfrak{s}'\subset \mathfrak{z}$；由于dim$\mathfrak{s}'=$dim$\mathfrak{s}$，$\mathfrak{s}'$是$\mathfrak{z}$的Levi 子代数。由章。 I, §6, no. 8，周四。 5、存在$x\in \mathfrak{n}_V(\mathfrak{z})$使得$e^{adx}(\mathfrak{s}) =\mathfrak{s}'$；由于$x$与$\mathfrak{t}$通勤，我们还有$e^{adx}(\mathfrak{t}) =\mathfrak{t}$。

(i) 设$\rho$为W上$\mathfrak{n}$的有限维线性表示，使得$\rho (\mathfrak{n})$的元素幂零，W的$W'$向量子空间在$\rho ,\rho_1$和$\rho_2$下稳定子表示和由 N 的 $W',\pi , \pi_1, \pi_2$ 表示定义的 $\rho$ 的商表示与 $\rho , \rho_1, \rho_2($§3, no. 1 相容的）。那么$\pi_1, \pi_2$就是子表示和$W'$定义的$\pi$的商表示。

(ii) 令$\rho_1, \rho_2$为$\mathfrak{n}$的有限维线性表示，使得$\rho_1(\mathfrak{n})$和$\rho_2(\mathfrak{n})$的元素幂零，并且N的$\pi_1, \pi_2$表示与$\rho_1, \rho_2$相容的。那么$\pi_1\otimes \pi_2$是N中与$\rho_1\otimes \rho_2$兼容的表示。

(iii) 设$\rho_1, \rho_2$为向量空间$V_1,V_2$上$\mathfrak{n}$的有限维线性表示，使得$\rho_1(\mathfrak{n})$和$\rho_2(\mathfrak{n})$的元素幂零，$\rho$表示 $\mathfrak{n}$ 在 Hom(V$_1,V_2$) 由 $\rho_1, \rho_2$ 确定。令$\pi_1, \pi_2$为与$\rho_1, \rho_2$兼容的N的表示，以及由$\pi_1, \pi_2$确定的Hom(V$_1,V_2$)上的N的$\pi$表示。那么$\pi$是N中与$\rho$兼容的表示。

断言 (i) 很清楚。让 $\rho_1, \rho_2, \pi_1, \pi_2$ 如 (ii) 中所示。如果$x\in \mathfrak{n}$，自从$\rho_1(x)\otimes 1$和$1\otimes \rho_2(x)$通勤以来，我们有，

指数（$\rho_1(x)\otimes 1 + 1\otimes \rho_2(x)$）$=$ 指数（$\rho_1(x)\otimes 1$）。经验值(1 $\otimes \rho_2(x)$)

= (经验$\rho_1(x)$)$\otimes 1.1\otimes$ (经验$\rho_2(x)$)

= (经验$\rho_1(x)$)$\otimes$ (经验$\rho_2(x)$)

$=\pi_1$(预计$x$)$\otimes \pi_2$(预计$x$)

$= (\pi_1\otimes \pi_2$)(exp $x$),

因而(ii)。令 $\rho_1, \rho_2, \rho , \pi_1, \pi_2, \pi ,V_1,V_2$ 如 (iii) 中所示。如果 $v_1\in$ EndV$_1$ 和 $v_2\in$ EndV$_2$，则用 $R_{v_1}$ 和 $L_{v_2}$ 映射 $u \rightarrow uv_1$ 和 $u \rightarrow v_2u$ 从 Hom(V$_1,V_2$) 到自身；这些映射通勤和$\rho (x)u= (L_{\rho_2(x)}-R_{\rho_1(x)})u$，所以

经验$\rho (x).u=$ 经验$L_{\rho_2(x)}$。经验$R_{-\rho_1(x)}.u$

$=\pi$(exp $x$)$.u$,

因而(iii)。

(ii) 令$(e_1, . . . , e_n)$为$k^n,\theta$的典范基，以及$\bigwedge(k^n)$上$\mathfrak{g}\mathfrak{l}(n, k)$的规范表示，以及$x\in \mathfrak{g}\mathfrak{l}(n, k)$。那么 $x\in \mathfrak{n}(n, k)$ 当且仅当

$1\leq d\leq n$。

(i) 如果$x(W)\subset W$，则显然$\theta (x)D\subset D$。相反，假设$\theta (x)D\subset D$。令$u$为D的非零元素，并令$y\in W$。然后$y\wedge u= 0$。由于 $\theta (x)$ 是 $\bigwedge V$ 的推导，这意味着

现在$\theta (x)u\in ku$，所以$y\wedge \theta (x)u= 0$，最终$\theta (x)y\wedge u= 0$。 代数，第 1 章III, §7, no. 9，第13条命题，这意味着$\theta (x)y\in W$，即$x(y)\in W$，从而证明了$x(W)\subset W$。

(ii) (ii) 中所述的条件对于$x\in \mathfrak{n}(n, k)$显然是必要的。假设它是满意的。到(i)为止，$x$离开

$^2$ 在这个引理中，$k$可以是任意（可交换的）域。

稳定，因为 $d= 1, . . . , n,x$ 是下三角的。放

我们有$0 =x(e_n) =x_{nn}e_n$，所以$x_{nn}= 0$。让$i < n$，并假设我们已经证明了$x_{jj}= 0$对于$j > i$。然后

所以$x_{ii}= 0$。因此，$x\in \mathfrak{n}(n, k)$。

(i) V的位似的$\rho$下的像可对角化；

(ii) F 在 $\rho (\mathfrak{q})$ 下稳定；

(iii) $\mathfrak{n}$ 是$x\in \mathfrak{g}\mathfrak{l}(V)$ 的集合，使得$\rho (x)(F) = 0$。

让$n=$变暗V。根据恩格尔的定理，V可以与$k^n$等同，$\mathfrak{n}\subset \mathfrak{n}(n, k)$。令 P 为 $\mathfrak{g}\mathfrak{l}(n, k)$ 上多项式函数的代数。对于$i= 0,1, . .$.，令$P_i$为次数$i$的P齐次的元素集合。令N = exp $\mathfrak{n}$，即严格下三角群 T 的子群。令J 为P 的元素的集合，其在N 上为零；这是 P 中的理想。设 $N_J$ 为 $x\in \mathfrak{g}\mathfrak{l}(n, k)$ 的集合，这样对于所有 $p\in J$ 来说，$p(x) = 0$。然后$N\subset N_J$。相反，设$x\in N_J$。用 $p_{ij}$ 多项式函数表示，给出 $\mathfrak{g}\mathfrak{l}(n, k)$ 的元素条目。理想的 J 包含、$p_{ij}$（对于 $i < j$）和 $p_{ii}-1$；因此$x\in T$。另一方面，如果$u$在$\mathfrak{g}\mathfrak{l}(n, k)$上是线性形式，即$\mathfrak{n}$上的零，则存在$p_u\in P$，使得对于所有$z\in T ($§3, no. 1，$p_u(z) =u$(log $z$)， 引理 1 (i));我们有 $p_u\in J$，所以 $u$(log $x$) $= 0$。因此，将$x$属于记录到$\mathfrak{n}$，因此$x\in N$、证明即$N = N_J$。

对于所有$p\in P$和$g\in \mathbf{G}\mathbf{L}_n(k)$，令$\lambda (g)p$为$\mathfrak{g}\mathfrak{l}(n, k)$上的函数$x \rightarrow p(g^{-1}x)$；那么$\lambda (g)p\in P,\lambda (g)$是代数P的自同构，$\lambda$是P上$\mathbf{G}\mathbf{L}_n(k)$的表示，这使得每个$P_i$稳定。我们表明

如果$x\in N, p\in J, y\in N$，则从$x^{-1}y\in N$起$(\lambda (x)p)(y) =p(x^{-1}y) = 0$；因此$\lambda (x)p\in J$，所以$\lambda (x)J = J$。设$x\in \mathbf{G}\mathbf{L}_n(k)$使得$\lambda (x)J = J$；让 $p\in J$；然后$p(x^{-1}) = (\lambda (x)p)(e) = 0$，所以$x^{-1}\in N_J= N$和$x\in N$。这就证明了(i)。

理想的 J 是有限的型（交换代数，第 III, §2, no. 10 章，Th.2 的 Cor.2）。因此，存在整数 $q$，如果 $W = P_0+ P_1+\cdots + P_q$，则 $J\cap W$ 生成 J 作为理想。表示由$P_J$（分别由W）定义的$\lambda$的$\lambda_j$（分别$\lambda '$）子表示。由(1)，

我们证明，对于所有$j$，$P_j$上存在李代数$\mathfrak{g}\mathfrak{l}(n, k)$的表示$\sigma_j$，使得：

$\sigma_j|\mathfrak{n}(n, k)$ 与 $\lambda_j|T$ 相容的（§$3$，无$.1$）。 (3)

对于所有 $x\in k.1_n, \sigma_j(x)$ 都是位似。 (4)

由于$\lambda_j$是$\lambda_1$的第$j$对称幂，因此足以证明$\sigma_1$、cf.引理1的存在性。现在$\lambda_1$是表示的同余表示 $\mathfrak{g}\mathfrak{l}(n, k)$ 上的 $\mathbf{G}\mathbf{L}_n(k)$ 的 $\gamma$ 给出

设$c$为$\mathfrak{g}\mathfrak{l}(n, k)$上李代数$\mathfrak{g}\mathfrak{l}(n, k)$的表示，由下式给出

$c|\mathfrak{n}(n, k)$和$\gamma |T$兼容的是直接的，并且对于所有$x\in k.1_n$来说$c(x)$是位似。因此，只需将$c$的对偶表示视为$\sigma_1$即可（第I, §3, no. 3章）。

现在让 $\sigma '$ 为由 $\sigma_j, 0\leq j\leq q$ 的直和给出的 W 上 $\mathfrak{g}\mathfrak{l}(n, k)$ 的表示。鉴于 (2) 和关系

$\lambda '$(exp($x$)) $=$ exp($\sigma '(x)$) 和 $\sigma '$(log($y$)) $=$ log($\lambda '(y)$)$, x\in \mathfrak{n}(n, k), y\in T$,

我们有

让 $d=$ 变暗（J $\cap W$），并让 $\tau =\bigwedge^d\sigma '$。让$D =\bigwedge^d(J\cap W)$。由 (5) 和引理 2 (i)，

但$\tau (\mathfrak{n}(n, k))$由幂零自同态组成，所以(6)也可以写成

现在让 $E =\bigwedge^dW\oplus \bigwedge^1V\oplus \bigwedge^2V\oplus \cdots \oplus \bigwedge^nV$；令$\rho$为$\tau$的直和，以及$\bigwedge^1V, . . . ,\bigwedge^nV$上$\mathfrak{g}\mathfrak{l}(n, k)$的规范表示。令$E_0\subset E$为$D =\bigwedge^d(J\cap W)$的和以及$e_{n-j+1}\wedge \cdots \wedge e_n$为$j= 1, . . . , n$生成的线。由(7)和引理2(ii)，

如果$x\in k.1_n,\rho (x)$可对角化的，则直接的。最后，如果 F 是被 $\rho (\mathfrak{n}), F$ 湮灭的 E 的元素的集合，则在 $\rho (\mathfrak{q})$ 下是稳定的（第 I, §3, no. 5 命题 5），并且通过 (8)，