习题 5, § 5

设$\mathfrak{g}$是$\mathfrak{g}\mathfrak{l}(V)$的谎言子代数。 那么 $\mathfrak{g}$ 被称为代数，如果对于所有 $x\in \mathfrak{g}$，$x$（第 I, §5，练习 14）属于到 $\mathfrak{g}$ 的副本。 Such an algebra is decomposable. a) Denote by $a(\mathfrak{g})$ the smallest algebraic subalgebra of $\mathfrak{g}\mathfrak{l}(V)$ containing $\mathfrak{g}$. 然后

给出例，其中$a(\mathfrak{g})$和$e(\mathfrak{g})$不同（取维数2的V和维数1的$\mathfrak{g}$）。

b) 证明如果$\mathfrak{n}$是$\mathfrak{g},\mathfrak{n}$的理想，$a(\mathfrak{n})$是$a(\mathfrak{g})$和$[a(\mathfrak{g}), a(\mathfrak{n})] = [\mathfrak{g},\mathfrak{n}]$的理想（模仿命题4的证明）。推导出 $i\geq 1$ 为 $\mathscr{D}^ia(\mathfrak{g}) =\mathscr{D}^i\mathfrak{g}$，并为 $i\geq 2$ 推导出 $\mathscr{C}^ia(\mathfrak{g}) =\mathscr{C}^i\mathfrak{g}$。

c) 证明幂零元的每个李代数由……组成都是代数。$^8$