Exercice 5, § 5

Soit $g$ une sous-algèbre de Lie de $gl(V)$. On dit que $g$ est algébrique si, quel que soit $x \in g$, les répliques de $x$ (I, § 5, exerc. 14) appartiennent à $g$. Une telle algèbre est scindable. a) On note $a(g)$ la plus petite sous-algèbre algébrique de $gl(V)$ contenant $g$. On a

Donner un exemple où $a(g)$ et $e(g)$ sont distincts (prendre $V$ de dimension 2 et $g$ de dimension 1). b) Montrer que, si $n$ est un idéal de $g$, $n$ et $a(n)$ sont des idéaux de $a(g)$, et $[a(g), a(n)] = [g, n]$ (imiter la démonstration de la prop. 4). En déduire que $\mathscr{D}^i a(g) = \mathscr{D}^i g$ pour $i \geq 1$ et $\mathscr{C}^i a(g) = \mathscr{C}^i g$ pour $i \geq 2$. c) Montrer que toute algèbre de Lie formée d’éléments nilpotents est algébrique.$^1$