Bài tập 5, § 5

Cho $\mathfrak{g}$ là một đại số con Lie của $\mathfrak{g}\mathfrak{l}(V)$. Khi đó $\mathfrak{g}$ được gọi là đại số nếu, với mọi $x\in \mathfrak{g}$, các bản sao của $x$ (Chương I, §5, Bài tập 14) thuộc về $\mathfrak{g}$. Một đại số như vậy là phân tích được. a) Ký hiệu $a(\mathfrak{g})$ là đại số con đại số nhỏ nhất của $\mathfrak{g}\mathfrak{l}(V)$ chứa $\mathfrak{g}$. Khi đó

Hãy cho một ví dụ trong đó $a(\mathfrak{g})$ và $e(\mathfrak{g})$ là phân biệt (lấy V có chiều 2 và $\mathfrak{g}$ có chiều 1).

b) Chứng minh rằng, nếu $\mathfrak{n}$ là một iđêan của $\mathfrak{g},\mathfrak{n}$ và $a(\mathfrak{n})$ là các iđêan của $a(\mathfrak{g})$, và $[a(\mathfrak{g}), a(\mathfrak{n})] = [\mathfrak{g},\mathfrak{n}]$ (bắt chước chứng minh của Mệnh đề 4). Suy ra rằng $\mathscr{D}^ia(\mathfrak{g}) =\mathscr{D}^i\mathfrak{g}$ với $i\geq 1$ và rằng $\mathscr{C}^ia(\mathfrak{g}) =\mathscr{C}^i\mathfrak{g}$ với $i\geq 2$.

c) Chứng minh rằng mọi đại số Lie gồm các phần tử lũy linh đều là đại số.$^8$