习题 11, § 5

特殊情况下，我们假设在这个习题中$k$是特征$p >0$的完美域。

令 $\mathfrak{g}$ 为李$p$-代数（第 I, §1 章，练习 20）。如果$x\in \mathfrak{g}$，则用$\langle x\rangle$最小的谎言$p$-子代数包含$x$表示。它是可交换的，并由 $x^{p^i}$ 生成为 $k$-向量空间，其中 $i= 0,1, . .$.. 如果 $\langle x\rangle$ 的 $p$-映射是幂零的（分别是双射），则 $x$ 被称为幂零（分别是半单）。

a) 证明$x$可以在形式$x=s+n$中唯一分解，$s, n\in \langle x\rangle ,s$半单和$n$幂零（应用第I, §1章的练习23）。如果$f$是从$\mathfrak{g}$到$\mathfrak{g}\mathfrak{l}$(V)的$p$同态，$f(s)$和$f(n)$是半单和自同态$f(x)$的幂零分量；这尤其适用于 $f=$ 广告。

如果包含半单及其元素的幂零分量，则称$\mathfrak{g}$的$b) A$子代数是可分解的。证明，如果$\mathfrak{b}$和$\mathfrak{c}$是$\mathfrak{g}$的向量子空间，使得$\mathfrak{b}\subset \mathfrak{c}$、$x\in \mathfrak{g}$的集合使得$[x,\mathfrak{c}]\subset \mathfrak{b}$可分解（与命题相同的证明）。 3）；特别是，$\mathfrak{g}$中的每个嘉当子代数都是可分解的。

c) 令$\mathfrak{t}$为半单元素的$\mathfrak{g}$由……组成中的交换子代数，并以此性质为最大。令$\mathfrak{h}$为$\mathfrak{t}$在$\mathfrak{g}$的交换子。令$x\in \mathfrak{h}$并令$x=s+n$为其规范分解；因为 $\mathfrak{h}$ 是可分解的 (cf. $b$)$),s, n\in \mathfrak{h}$。证明由 $\mathfrak{t}$ 和 $s$ 生成的子代数是可交换的，并且由半单元素组成，因此重合和 $\mathfrak{t}$。推断 ad$_{\mathfrak{h}}x=$ ad$_{\mathfrak{h}}n$ 是幂零的，因此 $\mathfrak{h}$ 是幂零的。由于$\mathfrak{h}=\mathfrak{g}^0(\mathfrak{h})$，$\mathfrak{h}$是$\mathfrak{g}($§2的嘉当子代数，命题4）。

特别是，每个超过有限域的李$p$代数都有嘉当子代数.$^9$