Bài tập 11, § 5

Ngoại lệ, ta giả sử trong bài tập này rằng $k$ là một trường hoàn hảo có đặc số $p >0$.

Cho $\mathfrak{g}$ là một đại số Lie $p$ (Chương I, §1, Bài tập 20). Nếu $x\in \mathfrak{g}$, ký hiệu $\langle x\rangle$ là đại số con Lie $p$ nhỏ nhất chứa $x$. Nó giao hoán và được sinh như một không gian vectơ $k$ bởi các $x^{p^i}$ với $i= 0,1, . .$.. Khi đó $x$ được gọi là lũy linh (tương ứng nửa đơn) nếu ánh xạ $p$ của $\langle x\rangle$ là lũy linh (tương ứng song ánh).

a) Chứng minh rằng $x$ có thể được phân tích duy nhất dưới dạng $x=s+n$, với $s, n\in \langle x\rangle ,s$ nửa đơn và $n$ lũy linh (áp dụng Bài tập 23 của Chương I, §1). Nếu $f$ là một $p$-đồng cấu từ $\mathfrak{g}$ đến $\mathfrak{g}\mathfrak{l}$(V), $f(s)$ và $f(n)$ là các thành phần nửa đơn và lũy linh của tự đồng cấu $f(x)$; điều này đặc biệt áp dụng cho $f=$ ad.

b) Một đại số con của $\mathfrak{g}$ được gọi là phân tích được nếu nó chứa các thành phần nửa đơn và lũy linh của các phần tử của nó. Chứng minh rằng, nếu $\mathfrak{b}$ và $\mathfrak{c}$ là các không gian vectơ con của $\mathfrak{g}$ sao cho $\mathfrak{b}\subset \mathfrak{c}$, tập hợp các $x\in \mathfrak{g}$ sao cho $[x,\mathfrak{c}]\subset \mathfrak{b}$ là phân tích được (cùng chứng minh như Mệnh đề 3); đặc biệt, mọi đại số con Cartan của $\mathfrak{g}$ đều phân tích được.

c) Cho $\mathfrak{t}$ là một đại số con giao hoán của $\mathfrak{g}$ gồm các phần tử nửa đơn, và cực đại với tính chất này. Cho $\mathfrak{h}$ là hoán tập của $\mathfrak{t}$ trong $\mathfrak{g}$. Cho $x\in \mathfrak{h}$ và cho $x=s+n$ là phân tích chính tắc của nó; vì $\mathfrak{h}$ là phân tích được (xem $b$)$),s, n\in \mathfrak{h}$. Chứng minh rằng đại số con được sinh bởi $\mathfrak{t}$ và $s$ là giao hoán và gồm các phần tử nửa đơn, do đó trùng với $\mathfrak{t}$. Suy ra rằng ad$_{\mathfrak{h}}x=$ ad$_{\mathfrak{h}}n$ là lũy linh, và do đó $\mathfrak{h}$ là lũy linh. Vì $\mathfrak{h}=\mathfrak{g}^0(\mathfrak{h})$, $\mathfrak{h}$ là một đại số con Cartan của $\mathfrak{g}($§2, Mệnh đề 4).

Đặc biệt, mọi đại số Lie $p$ trên một trường hữu hạn đều có một đại số con Cartan.$^9$