Exercice 11, § 5

Exceptionnellement, on suppose dans cet exercice que $k$ est un corps parfait de caractéristique $p > 0$. Soit $g$ une $p$-algèbre de Lie (I, § 1, exerc. 20). Si $x \in g$, on note $\langle x \rangle$ la plus petite $p$-sous-algèbre de Lie contenant $x$. Elle est commutative et engendrée comme $k$-espace vectoriel par les $x^{p^i}$ où $i = 0, 1, \ldots$. On dit que $x$ est nilpotent (resp. semi-simple) si la $p$-application de $\langle x \rangle$ est nilpotente (resp. bijective). a) Montrer que l’on peut décomposer $x$ de manière unique sous la forme $x = s + n$, avec $s, n \in \langle x \rangle$, $s$ semi-simple et $n$ nilpotent (appliquer l’exerc. 23 de I, § 1). Si $f$ est un $p$-homomorphisme de $g$ dans $\mathfrak{gl}(V)$, $f(s)$ et $f(n)$ sont les composantes semi-simple et nilpotente de l’endomorphisme $f(x)$; ceci s’applique notamment à $f = \mathrm{ad}$. b) Une sous-algèbre de $g$ est dite scindable si elle contient les composantes semi-simples et nilpotentes de ses éléments. Montrer que, si $b$ et $c$ sont des sous-espaces vectoriels de $g$, tels que $b \subset c$, l’ensemble des $x \in g$ tels que $[x, c] \subset b$ est scindable (même démonstration que pour la prop. 3); en particulier, toute sous-algèbre de Cartan de $g$ est scindable. c) Soit $t$ une sous-algèbre commutative de $g$ formée d’éléments semi-simples, et maximale pour cette propriété. Soit $h$ le commutant de $t$ dans $g$. Soit $x \in h$, et soit $x = s + n$ sa décomposition canonique; comme $h$ est scindable (cf. b)), on a $s, n \in h$. Montrer que la sous-algèbre engendrée par $t$ et $s$ est commutative et formée d’éléments semi-simples, donc coïncide avec t. En déduire que $\mathrm{ad}_h x = \mathrm{ad}_h n$ est nilpotent, donc que $h$ est nilpotente. Comme $h = g^0(h)$, $h$ est une sous-algèbre de Cartan de $g$ (§ 2, prop. 4).

En particulier, toute $p$-algèbre de Lie sur un corps fini possède une sous-algèbre de Cartan.\footnote{Pour plus de détails, cf. G. B. Seligman, Modular Lie Algebras, chap. V, § 7, Springer-Verlag, 1967.}