令 $\mathfrak{h}'$ 为 $\mathfrak{g}$ 包含 $\mathfrak{h}$ 的幂零子代数。那么$\mathfrak{h}$是$\mathfrak{h}'$(例3)的嘉当子代数，所以$\mathfrak{h}=\mathfrak{h}'$(例1)。

存在不是嘉当子代数的最大幂零子代数（练习 2）。

嘉当子代数 / $\mathfrak{g}$ 是子代数 / 形式 $\prod_{i\in I}\mathfrak{h}_i$，其中 $\mathfrak{h}_i$

是嘉当子代数 / $\mathfrak{g}_i$。

如果使用标准化器$\mathfrak{n}_i$，$\mathfrak{h}_i$是$\mathfrak{g}_i$的子代数，则使用标准化器$\prod\mathfrak{n}_i$，$\prod\mathfrak{h}_i$是$\mathfrak{g}$的子代数；如果 $\mathfrak{h}_i$ 幂零，则 $\prod\mathfrak{h}_i$ 幂零；因此，如果$\mathfrak{h}_i$是$\mathfrak{g}_i$的嘉当子代数，则所有$i,\prod\mathfrak{h}_i$是$\mathfrak{g}$的嘉当子代数。相反，令$\mathfrak{h}$为$\mathfrak{g}$的嘉当子代数； $\mathfrak{h}$的投影$\mathfrak{h}_i$到$\mathfrak{g}_i$是$\mathfrak{g}_i$的幂零子代数，$\prod\mathfrak{h}_i$是$\mathfrak{g}$包含$\mathfrak{h}$的幂零子代数；因此$\mathfrak{h}=\prod\mathfrak{h}_i$（命题1）；因此，对于所有 $i,\mathfrak{h}_i$ 来说，它是 $\mathfrak{g}_i$ 中自己的标准化器，$\mathfrak{g}_i$ 的嘉当子代数也是如此。

事实上，$\mathfrak{h}$ 是幂零的当且仅当 $\mathfrak{h}\otimes_kk'$ 是（第 I, §4, no. 5）。另一方面，如果$\mathfrak{n}$是$\mathfrak{g}$中$\mathfrak{h}$的归一化器，则$\mathfrak{g}\otimes_kk'$中$\mathfrak{h}\otimes_kk'$的归一化器是$\mathfrak{n}\otimes_kk'$（第I, §3, no. 8章）。

如果$\mathfrak{g}^0(\mathfrak{h}) =\mathfrak{h},\mathfrak{h}$是它自己的标准化子（§1，命题10（i）），那么$\mathfrak{h}$是$\mathfrak{g}$的嘉当子代数。假设$\mathfrak{g}^0(\mathfrak{h})\not=\mathfrak{h}$。考虑通过商从伴随表示获得 $\mathfrak{g}^0(\mathfrak{h})/\mathfrak{h}$ 上 $\mathfrak{h}$ 的表示。通过应用恩格尔的定理（第I, §4, no. 2，第1章），我们看到存在$x\in \mathfrak{g}^0(\mathfrak{h})$使得$x \notin \mathfrak{h}$和$[\mathfrak{h}, x]\subset \mathfrak{h}$；然后$x$属于到$\mathfrak{g}$中$\mathfrak{h}$的归一化器，所以$\mathfrak{h}$不是$\mathfrak{g}$的嘉当子代数。

事实上，$\mathfrak{h}=\mathfrak{g}^0(\mathfrak{h})$，我们可以应用§1的第9（ii）号提案。

事实上，$f(\mathfrak{h})$是$\mathfrak{g}'$的幂零子代数。另一方面，考虑 $\mathfrak{g}'$ 上的表示 $x \rightarrow$ 和 $f(x)$ 的 $\mathfrak{h}$。根据§1, no. 3、$f(\mathfrak{g}^0(\mathfrak{h})) ={\mathfrak{g}'}^0(\mathfrak{h})$第 9 (iv) 号提案。现在$\mathfrak{g}^0(\mathfrak{h}) =\mathfrak{h}$，另一方面很明显${\mathfrak{g}'}^0(\mathfrak{h}) ={\mathfrak{g}'}^0(f(\mathfrak{h}))$。因此，$f(\mathfrak{h}) ={\mathfrak{g}'}^0(f(\mathfrak{h}))$ 就足以应用第 4 条命题。

事实上，推论2表明，$\mathfrak{g}/\mathscr{C}^n\mathfrak{g}$中$\mathfrak{h}$的像是$\mathfrak{g}/\mathscr{C}^n\mathfrak{g}$的嘉当子代数，因此等于$\mathfrak{g}/\mathscr{C}^n\mathfrak{g}$，因为$\mathfrak{g}/\mathscr{C}^n\mathfrak{g}$是幂零的（例1）。

(i) $\mathfrak{a}$ 等于$\mathfrak{g}$ 中它自己的标准化器。

(ii) 假设$k=\mathbf{R}$或$\mathbf{C}$；令 G 为李群和李代数 $\mathfrak{g}$，A 是 G 和李代数 $\mathfrak{a}$ 的积分子群。则 A 是 G 的 Lie 子群，并且它是 G 中 A 的归一化子的恒等分量。

令$\mathfrak{n}$为$\mathfrak{g}$中$\mathfrak{a}$的归一化器。由于$\mathfrak{h}$是$\mathfrak{n}$的嘉当子代数（例$3$）$,\{0\}$是$\mathfrak{n}/\mathfrak{a}$的嘉当子代数（Cor.2），因此等于$\mathfrak{n}/\mathfrak{a}$中的归一化器； in other 字, $\mathfrak{n}=\mathfrak{a}$. 断言 (ii) follows from (i) and Chap. III, §9, no. 4, Cor. of Prop. 11.

条件 is necessary (Prop. 4). Assume now that $E =\mathfrak{g}^0(E)$.根据§1, no. 1的命题2(ii)，E则为$\mathfrak{g}$的子代数。如果$x\in E$，则从$E\subset \mathfrak{g}^0(E)$开始，ad$_Ex$是幂零的； hence 代数 E is nilpotent. But then E is 嘉当子代数 by Prop. 4.

这是从 Cor 得出的。 5、由于条件$\mathfrak{h}=\mathfrak{g}^0(\mathfrak{h})$不涉及基域。

Assume that $\mathfrak{h}$ is 嘉当子代数 of $\mathfrak{g}$.从$[\mathfrak{c},\mathfrak{g}]\subset \mathfrak{h}$开始，我们有$\mathfrak{c}\subset \mathfrak{h}$。另一方面，Cor. 的$\mathfrak{h}/\mathfrak{c}$ 是$\mathfrak{g}/\mathfrak{c}$ 的嘉当子代数。 2 of Prop. 4.

假设$\mathfrak{h}\supset \mathfrak{c}$且$\mathfrak{h}/\mathfrak{c}$是$\mathfrak{g}/\mathfrak{c}$的嘉当子代数。令$f$为从$\mathfrak{g}$到$\mathfrak{g}/\mathfrak{c}$的规范态射。 代数 $\mathfrak{h}$，它是$\mathfrak{h}/\mathfrak{c}$的中心扩张，是幂零的。令$\mathfrak{n}$为$\mathfrak{g}$中$\mathfrak{h}$的标准化。如果$x\in \mathfrak{n}$，$[f(x),\mathfrak{h}/\mathfrak{c}]\subset \mathfrak{h}/\mathfrak{c}$，则$f(x)\in \mathfrak{h}/\mathfrak{c}$，等等$x\in \mathfrak{h}$。这就证明了$\mathfrak{h}$是$\mathfrak{g}$的嘉当子代数。

事实上，$\mathfrak{g}/\mathscr{C}_i\mathfrak{g}$的中心是$\mathscr{C}_{i+1}\mathfrak{g}/\mathscr{C}_i\mathfrak{g}$，并且推论直接从第5条命题归纳得出。

(i) $\mathfrak{g}$的元素$x$在$\mathfrak{g}$中是正则当且仅当$x\otimes 1$在$\mathfrak{g}'$中是正则。

(ii) rk($\mathfrak{g}$) $=$ rk($\mathfrak{g}'$)。

这是从注 2 得出的。

(i) $\mathfrak{g}$ 的元素 $(x_i)_{i\in I}$ 在 $\mathfrak{g}$ 中是正则当且仅当 $i\in I,x_i$ 在 $\mathfrak{g}_i$ 中是正则。

(ii) rk($\mathfrak{g}$) $=\sum_{i\in I}$ rk($\mathfrak{g}_i$)。

事实上，对于任何$x= (x_i)_{i\in I}\in \mathfrak{g}$，ad$_{\mathfrak{g}}x$的特征多项式是ad$_{\mathfrak{g}_i}x_i$的特征多项式的乘积。

(i) 如果$x$是正则元素，$\mathfrak{g},f(x)$在$\mathfrak{g}'$中是正则。如果 Ker $f$ 包含在 $\mathfrak{g}$ 的中心中，则逆命题为 true。

(ii) rk($\mathfrak{g}$)$\geq$ rk($\mathfrak{g}'$)。

将 rk($\mathfrak{g}$) $=r$，rk($\mathfrak{g}'$) $=r'$。让$x\in \mathfrak{g}$。 ad $x$、ad $f(x)$、ad $x|$Ker $f$的特征多项式为形式

其中 $a_i, b_i, c_i$ 是 $\mathfrak{g}$ 上的多项式函数，还有 $a_r\not= 0, b_{r'}\not= 0, c_{r''}\not= 0$。我们有 P = QR，因此 $r=r'+r''$ 和 $a_r(x) =b_{r'}(x)c_{r''}(x)$，这证明了 (ii) 和 (i) 的第一个断言。如果 Ker $f$ 包含在 $\mathfrak{g}$、$R(T) = T^{n''}$ 的中心中，因此$a_r(x) =b_{r'}(x)$，因此是 (i) 的第二个断言。

对于$x\in \mathfrak{g}'$，ad$_{\mathfrak{g}}x$到$\mathfrak{g}'$的限制是ad$_{\mathfrak{g}'}x$，因此向量空间$\mathfrak{g}/\mathfrak{g}'$的定义自同态$u(x)$通过商。令$d_0(x)$（或$d_1(x)$）为ad$_{\mathfrak{g}'}(x)$（或$u(x)$）零空间的维数，并令$c_0$（或$c_1$）为$d_0(x)$（或$d_1(x)$）的最小值当$x$属于到$\mathfrak{g}'$时。从 $\mathfrak{g}'$ 到 $k$ 存在非零多项式映射 $p_0, p_1$ 使得

由于$k$是无限的，$x\in \mathfrak{g}'$的集合 S使得$d_0(x) =c_0$和$d_1(x) =c_1$非空。 S 的每个元素在 $\mathfrak{g}'$ 都是正则。另一方面，S 是 $\mathfrak{g}'$ 的元素的集合，使得 ad$_{\mathfrak{g}}x$ 的零空间具有最小维数，因此 $\mathfrak{g}$ 中 $\mathfrak{g}'$ 的每个元素都有包含。

(i) 如果$x$是$\mathfrak{g},\mathfrak{g}^0(x)$的正则元素，那么嘉当子代数等于$\mathfrak{g}$。

(ii) 如果$\mathfrak{h}$是$\mathfrak{g}$的最大幂零子代数，并且如果$x\in \mathfrak{h}$在$\mathfrak{g}$中是正则，则$\mathfrak{h}=\mathfrak{g}^0(x)$。

(iii) 如果$\mathfrak{h}$是$\mathfrak{g}$的嘉当子代数，则dim($\mathfrak{h}$)$\geq$rk($\mathfrak{g}$)。

(iv) 维数rk($\mathfrak{g}$)的$\mathfrak{g}$的嘉当子代数是$\mathfrak{g}^0(x)$，其中$x$是正则元素。

令$x$为$\mathfrak{g}$的正则元素，并令$\mathfrak{h}=\mathfrak{g}^0(x)$。显然$\mathfrak{h}^0(x) =\mathfrak{h}$。由于$x$在$\mathfrak{h}$（命题9）中是正则，rk($\mathfrak{h}$)$=$暗淡($\mathfrak{h}$)，所以$\mathfrak{h}$是幂零的。另一方面，$\mathfrak{h}=\mathfrak{g}^0(x)\supset \mathfrak{g}^0(\mathfrak{h})\supset \mathfrak{h}$，所以$\mathfrak{h}=\mathfrak{g}^0(\mathfrak{h})$是$\mathfrak{g}$的嘉当子代数（命题4）。这就证明了(i)。

如果$\mathfrak{h}$是$\mathfrak{g}$的最大幂零子代数，并且如果$x\in \mathfrak{h}$在$\mathfrak{g}$中是正则，则$\mathfrak{h}\subset \mathfrak{g}^0(x)$和$\mathfrak{g}^0(x)$通过(i)是幂零的，所以$\mathfrak{h}=\mathfrak{g}^0(x)$，这证明了(ii)。

如果$\mathfrak{h}$是$\mathfrak{g}$的嘉当子代数，则存在$x\in \mathfrak{h}$使得$\mathfrak{h}=\mathfrak{g}^0(x)$（命题4的Cor.1），因此dim($\mathfrak{h}$)$\geq$rk($\mathfrak{g}$)，从而证明(iii)。如果加法 dim($\mathfrak{h}$) $=$ rk($\mathfrak{g}$)$,x$ 是正则。最后，如果$x'$在$\mathfrak{g},\mathfrak{g}^0(x')$中是正则，则由(i)得到嘉当子代数，并且显然是维数rk($\mathfrak{g}$)。这就证明了(iv)。

我们将在§3，Th 中看到。 2、当$k$为特征零时，$\mathfrak{g}$中的所有嘉当子代数都有维数rk($\mathfrak{g}$)。

让$\mathfrak{a}=f^{-1}(\mathfrak{h}')$。由科. $1,\mathfrak{a}$有嘉当子代数$\mathfrak{h}$。由科. $4,f(\mathfrak{h}) =\mathfrak{h}'$ 提案 2。我们证明$\mathfrak{h}$是$\mathfrak{g}$的嘉当子代数。令$\mathfrak{n}$为$\mathfrak{g}$中$\mathfrak{h}$的归一化器。足以证明$\mathfrak{h}=\mathfrak{n}$。如果$x\in \mathfrak{n},f(x)$属于是$\mathfrak{g}'$中$\mathfrak{h}'$的归一化器，那么$f(x)\in \mathfrak{h}'$和$x\in \mathfrak{a}$；但是 $\mathfrak{h}$ 是 $\mathfrak{a}$ 中它自己的标准化器，所以$x\in \mathfrak{h}$。

The sum $\mathfrak{s}$ of the Cartan subalgebras of $\mathfrak{g}$ contains the set of regular elements of $\mathfrak{g}$ (Th. 1 (i)). 由于对于 Zariski 拓扑、$\mathfrak{s}=\mathfrak{g}$，集合在$\mathfrak{g}$ 中是稠密的。

设$\mathfrak{h}$为$\mathfrak{c}$的嘉当子代数。由于$\mathfrak{a}$包含在$\mathfrak{c},\mathfrak{a}\subset \mathfrak{z}\subset \mathfrak{h}$的中心$\mathfrak{z}$中（命题5）。令$\mathfrak{n}$为$\mathfrak{g}$中$\mathfrak{h}$的标准化。然后

由于 ad$_{\mathfrak{g}}x,x\in \mathfrak{a}$ 是半单并且彼此可交换，因此可以从第 1 章的代数得出。 VIII, §5, no. 1，存在$\mathfrak{n}$的向量子空间$\mathfrak{d}$在ad$_{\mathfrak{g}}\mathfrak{a}$下稳定且$\mathfrak{n}=\mathfrak{h}\oplus \mathfrak{d}$。然后$[\mathfrak{a},\mathfrak{d}]\subset \mathfrak{h}\cap \mathfrak{d}= 0$，所以$\mathfrak{d}\subset \mathfrak{c}$。因此，$\mathfrak{n}$是$\mathfrak{c}$中$\mathfrak{h}$的规范化器，因此$\mathfrak{n}=\mathfrak{h}$，因此$\mathfrak{h}$是$\mathfrak{g}$包含于$\mathfrak{a}$的嘉当子代数。

相反，令$\mathfrak{h}$为$\mathfrak{g}$包含于$\mathfrak{a}$中的嘉当子代数。然后$\mathfrak{h}=$$\mathfrak{g}^0(\mathfrak{h})\subset \mathfrak{g}^0(\mathfrak{a})$，再到假设$\mathfrak{g}_0(\mathfrak{a}) =\mathfrak{g}^0(\mathfrak{a}) =\mathfrak{c}$。因此，$\mathfrak{a}\subset \mathfrak{h}\subset \mathfrak{c}$和$\mathfrak{h}$是$\mathfrak{c}$的嘉当子代数（因为它等于$\mathfrak{g}$中它自己的归一化器，因此$\mathfrak{c}$中的更不必说）。

把$\mathfrak{a}=\mathfrak{g}^0(\mathfrak{n})$。那么 $\mathfrak{n}\subset \mathfrak{a}$ 因为 $\mathfrak{n}$ 是幂零的。如果$x\in \mathfrak{a}$，则令$P(x)$为广告$x$定义的$\mathfrak{g}/\mathfrak{a}$的自同态的行列式。用$x\in \mathfrak{a}$的$\mathfrak{a}'$集合表示$P(x)\not= 0$，它是Zariski拓扑中$\mathfrak{a}$的开子集； 关系 $x\in \mathfrak{a}'$ 和 $\mathfrak{g}^0(x)\subset \mathfrak{a}$ 等效。根据§1, no. 2的命题7(ii)，存在$y\in \mathfrak{n}$使得$\mathfrak{g}^0(y) =\mathfrak{a}$，并且存在$y\in \mathfrak{a}'$所以$\mathfrak{a}'$非空。由于$\mathfrak{a}'$是开放的，所以它的交和$\mathfrak{a}$的正则元素的集合都是非空的。令 $x$ 为该交的元素。那么$\mathfrak{g}^0(x)\subset \mathfrak{a}$和$\mathfrak{g}^0(x)$是$\mathfrak{a}$的嘉当子代数，因此是幂零的。另一方面，§1, no. 3的第10（i）条命题表明，$\mathfrak{g}^0(x)$是$\mathfrak{g}$自身的归一化器；因此，它是 $\mathfrak{g}$ 的嘉当子代数，从而完成证明。

由于 $\mathfrak{h}=\mathfrak{g}^0(\mathfrak{h}),\mathfrak{h}$ 是可还原的（§1，命题 11），因此由于它是幂零的，因此可交换。另一方面，$\mathfrak{g}$到$\mathfrak{h}$的伴随表示的限制是半单（前述），所以$\mathfrak{h}$的元素是$\mathfrak{g}$中的半单 （代数，第VIII, §5, no. 1）。

事实上，$\mathfrak{g}^{\lambda(x)}(x) =\mathfrak{g}_{\lambda(x)}(x)$，因为广告$x$是半单。

事实上，这样的元素属于到嘉当子代数（no. 3，Th.1（i））。

a$)\mathfrak{h}$ 是可交换的。

b) 如果$\rho$是$\mathfrak{g}$的有限维半单表示，则$\rho (\mathfrak{h})$的元素是半单。

令$\mathfrak{c}$为$\mathfrak{g}$的中心，并由$\mathfrak{s}$派生出代数。然后$\mathfrak{g}=\mathfrak{c}\times \mathfrak{s}$，所以$\mathfrak{h}=\mathfrak{c}\times \mathfrak{h}'$，其中$\mathfrak{h}'$是$\mathfrak{s}$的嘉当子代数（命题2）。鉴于 Th. $2,\mathfrak{h}'$ 是可交换的，因此 $\mathfrak{h}$ 也是可交换的。此外，$\rho (\mathfrak{h}')$由半单元素组成，$\rho (\mathfrak{c})$也是如此（I, §6, no. 5章，第4章）； 断言 b)如下。