如果 $\mathscr{C}^k g = \{0\}$（或 $\mathscr{C}_k g = g$），显然序列 $\mathscr{C}^1 g, \ldots, \mathscr{C}^k g$（或 $\mathscr{C}_k g, \mathscr{C}_{k-1} g, \ldots, \mathscr{C}_0 g$）具有定义 1 的性质，因此 $g$ 是幂零的。反之，假设存在序列 $(g_i)_{0 \leq i \leq p}$，其性质为定义 1。由归纳在$n$上看出$g_i \supset \mathscr{C}^{i+1} g$和$g_{p-i} \subset \mathscr{C}_i g$。因此$\mathscr{C}^{p+1} g = \{0\}$和$\mathscr{C}_p g = g$。由此我们证明条件 (a)、(b) 和 (c) 是等价的。另一方面，$\mathscr{C}^1 g$是形式元素线性组合集合

其中$x_1, x_2, \ldots, x_i$穿过$g$。因此条件 (b) 和 (d) 是等价的。最后，如果存在序列 $(g_i)_{0 \leq i \leq p}$ 具有以下属性的理想

定义1，存在维数$n, n-1, n-2, \ldots, 0$$g$向量子空间递减序列$(\mathfrak{h}_i)_{0 \leq i \leq n}$和指标序列

与 $g_0 = \mathfrak{h}_{i_0}, g_1 = \mathfrak{h}_{i_1}, \ldots, g_p = \mathfrak{h}_{i_p}$；那么 $[g, \mathfrak{h}_{i_k}] \subset \mathfrak{h}_{i_{k+1}}$ $\mathfrak{h}_i$ 是理想的，$[g, \mathfrak{h}_i] \subset \mathfrak{h}_{i+1}$ 对于所有 $i$ 来说都是理想的。因此条件 (a) 和 (e) 是等价的。

定义 1 和命题 2 证明幂零李代数恰好是由中心扩张的李代数交换序列得到的代数。

证明在$g$的维数$n$继续进行归纳。如果$n = 0$，则定理是明显的。假设对于维数 $< n$ 的代数成立。

设$h$是维数$m < n$的$g$的谎言子代数。如果 $x \in h$ 和 $\mathrm{ad}_g x$ 映射 $h$ 自身和定义对经过的商自同态 $\sigma(x)$ 与空间 $g/h$。到引理 1 $\mathrm{ad}_g x$ 是幂零的，因此 $\sigma(x)$ 是幂零的。到归纳假设时，存在 $g/h$ 的非零元素，它被所有 $\sigma(x),\ x \in h$ 湮灭。由此可见，$h$是$g$的某个$(m+1)$维子代数中的理想。

我们结论（通过从$h = \{0\}$开始迭代）$g$的理想$h$为维数$n-1$。让$a \in g,\ a \notin h$。我们再次使用归纳假设：$u \in V$，使得$x.u = 0$对于所有$x \in h$形式，向量子空间U为V的非零向量子空间U。这个子空间在$a$（§ 3, no. 5，命题5）下是稳定的。由于$a$是V的幂零自同态，因此存在U的非零元素，它被$a$湮灭，因此被$g$的每个元素湮灭。

条件是必要的 (命题 1)。假设对于维数$< n$($n \neq 0$)的李代数已证明其充分性。令$g$为$n$维李代数，使得对于所有$x \in g$，$\mathrm{ad}\ x$是幂零的。 定理 1，应用于$\mathrm{ad}\ x\ (x \in g)$的集合，证明$g$的中心$c$非零。那么$g$是李代数$g/c$的中心扩张，它对于我们的归纳假设是幂幂的。 证明由应用命题 2 完成。

让$x \in g$。由于$g/h$幂零，因此存在整数$k$使得$(\mathrm{ad}\ x)^k(g) \subset h$。到假设时，存在整数$k'$使得$(\mathrm{ad}\ x)^{k'}(h) = \{0\}$。因此$(\mathrm{ad}\ x)^{k+k'}(g) = \{0\}$。因此，推论 2 是推论 1 的推论。

这直接从引理 1 和推论 1 得出。

令 N 为 $m \in M$ 的 M 由……组成的子空间，使得所有 $x \in a$ 都有 $x_M.m = 0$。 定理1、$N \neq \{0\}$。另一方面，对于所有$y \in g$，N 在$y_M$（§ 3, no. 5，命题 5）下是稳定的。因此$N = M$，证明了引理。

K 和 $(M_i)_{0 \leq i \leq n}$ $g$-模块 $M$ 的 Jordan-Hölder 级数。以下条件是等效的：

(a) 对于所有 $x \in a$，$x_M$ 是幂零的； (b) 对于所有 $x \in a$，$x_M$ 属于由 1 和 $y_M$ 生成的结合词代数 $A$ 的雅各布森根式，其中 $y \in g$； (c) 对于所有$x \in a$，

如果满足这些条件，则$a$就与$g$模块$M$相关联的双线性形式而言与$g$正交。

(b) $\Rightarrow$ (a)：由于 $A$ 是 $K$ 上的有限维，$A$ 的雅各布森根是幂零理想 (代数, 章 VIII, § 6, no. 4, 定理 3)，因此每个该根式的元素幂幂。

(a) $\Rightarrow$ (c)：每个 $Q_i = M_i/M_{i+1}$ ($0 \leq i < n$) 都是一个简单的 $g$ 模块。对于所有 $x \in a$，如果条件 (a) 成立，则自同态 $x_{Q_i}$（通过将 $M_i$ 和经过限制为商而从 $x_M$ 导出）是幂零的，因此零乘以引理 2；其他字、$x_M(M_i) \subset M_{i+1}$。

(c) $\Rightarrow$ (b)：假设条件 (c) 成立；让$x \in a$和$z \in A$。然后$z(M_i) \subset M_i$（$0 \leq i < n$），因此$(zx_M)^n(M) = \{0\}$；因此 $Ax_M$ 是 $A$ 的左 Nilideal，因此包含在 $A$ 的 Jacobson 根式中（*代数*，章 VIII, § 6, no. 3，推论 3 到定理 1）。

最后，假设条件 (a)、(b) 和 (c) 成立。设$x \in a$和$y \in g$。我们刚刚看到$y_M x_M$是幂零的，因此$\operatorname{Tr}(y_M x_M) = 0$，它证明了最后一个断言或引理。

(a) $g$ 的理想$a$ 使得$x_M$ 对所有$x \in a$ 幂幂都包含在其中一个$n$ 中。

(b) 理想的$n$是$x \in g$的集合，使得$x_M$属于为$A$的雅各布森根式。

(c) 令$(M_i)_{0 \leq i \leq n}$为$g$模块$M$的Jordan-Hölder级数；那么 $n$ 也是 $x \in g$ 的集合，使得 $(x)_{M_i/M_{i+1}} = 0$ 对于所有 $i$。

(d) $n$关于与$\varphi$相关的双线性形式与$g$正交。

$x \in g$的集合使得$x_M$属于对于$A$的雅各布森根显然是$g$的理想。 命题紧接着是引理 3。

应该注意的是，$g/n$可以有非零幂零理想。