Bourbaki

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

§ 7。阿多的定理

回想一下，KK表示特征0的域，并且所有李代数都被假设为KK上的有限维。

1. 表示的系数

令 U 为 K 上的结合律代数与单位元，U* 向量空间 U 和 U 在向量空间 E 上的 ρ\rho 表示对偶。对于 e∈Ee \in E 和 e′∈E∗e' \in E^*，令 θ(e,e′)∈U∗\theta(e, e') \in U^* 为相应的的系数ρ\rho（代数、章VIII, § 13, no. 3）。回想一下，θ(e,e′)(x)=⟨ρ(x)e,e′⟩\theta(e, e')(x) = \langle \rho(x)e, e' \rangle和映射e↦θ(e,e′)e \mapsto \theta(e, e')用于将U模块E的e′e'同态固定到U的核心正则表示的U模块U*中（前述，命题1）；因此，由ρ\rho的系数生成的U*的向量子空间（子空间，在本段中我们将用C(ρ)C(\rho)表示）是U*的子U模块。如果(ei′)i∈I(e'_i)_{i \in I}是元素生成的E*在K上的族，映射e↦(θ(e,ei′))e \mapsto (\theta(e, e'_i))是E到C(ρ)IC(\rho)^I的单射U同态；对于θ(e,ei′)=0\theta(e, e'_i) = 0对于所有ii意味着⟨e,ei′⟩=⟨ρ(1)e,ei′⟩=θ(e,ei′)(1)=0\langle e, e'_i \rangle = \langle \rho(1)e, e'_i \rangle = \theta(e, e'_i)(1) = 0对于所有ii，因此e=0e = 0。

特别是，如果 U 是李代数 g 的包络代数，并且 ρ\rho 是 g 的表示（用 U 的表示标识）在 n 维向量空间 E 上，则 g 模 E 与 (C(ρ))n(C(\rho))^n 的子 g 模同构。

2. 扩张定理

设g=h+g′g = h + g'为李代数，即理想g′g'的直和和子代数hh，U为g的包络代数，U′⊂UU' \subset U为g′g'的包络代数。 U′U' 上存在且仅有一个 g 模结构，使得： (α) 对于 x∈g′x \in g' 和 u∈U′u \in U'，xU′u=−uxx_{U'}u = -ux； (β) 对于x∈hx \in h和u∈U′u \in U'，xU′u=xu−uxx_{U'}u = xu - ux（后者元素肯定在U′U'中，因为由x定义的U的内部推导离开g′g'，因此U′U'稳定）。对于条件 (α) 和 (β) 定义，唯一将 g 的线性映射 x↦xU′x \mapsto x_{U'} 转换为 LK(U′)\mathscr{L}_K(U')。因此，只要验证[x,y]U′=[xU′,yU′][x, y]_{U'} = [x_{U'}, y_{U'}]就足够了；只需要考虑以下几种情况：

(1) x∈g′,y∈g′x \in g', y \in g'：则

[x,y]U′u=−u(xy−yx)=(xU′yU′−yU′xU′)u; [x, y]_{U'}u = -u(xy - yx) = (x_{U'}y_{U'} - y_{U'}x_{U'})u;

(2) x∈h,y∈g′x \in h, y \in g'：则

[x,y]U′u=−u(xy−yx)=x(−uy)−(−uy)x+(xu−ux)y=(xU′yU′−yU′xU′)u; [x, y]_{U'}u = -u(xy - yx) = x(-uy) - (-uy)x + (xu - ux)y \\ = (x_{U'}y_{U'} - y_{U'}x_{U'})u;

(3) x∈h,y∈hx \in h, y \in h: then [x,y]U′[x, y]_{U'} and [xU′,yU′][x_{U'}, y_{U'}] are two derivations of U′U' whose restrictions to g′g' coincide with those of adg[x,y]\mathrm{ad}_g[x, y] and [adgx,adgy][\mathrm{ad}_g x, \mathrm{ad}_g y]; hence these derivations are equal.

我们还将考虑 g 在 U′∗{U'}^* 上的对偶表示 x↦txU′x \mapsto {}^t x_{U'}。对于x∈g′x \in g'，txU′{}^t x_{U'}是U′U'中的x对乘法的右转置；因此，U′U'的相应的表示是U′U'的核心正则表示。

定义 1 0A1F

令gg为李代数，gg的g′g'子代数以及V′V'上g′g'的ρ′\rho'表示。如果g′g'模块的单同态存在于g′g'模块VV中，则VV上gg的表示ρ\rho称为ρ′\rho'到gg的扩张。我们还说，gg-模块VV是g′g'-模块V′V'的扩张。

引用了 1

引用了 定理 1, I § 5

如果ρ′\rho'是有限维且g′g'是gg的可解理想，则有限维扩张的存在性需要[g,g′][g, g']包含在ρ′\rho'的最大的幂零理想中（§ 5, no. 3，定理） 1）。

定理 1（扎森豪斯） 0A1G

令g=g′+hg = g' + h为李代数，即理想g′g'的直和和g′g'的子代数hh和ρ′\rho'有限维表示，其最大的幂零理想包含 [h,g′][h, g']。

引用了 1 · 被以下引用 4

引用了 推论, I § 2

被以下引用 习题 4, § 7, 引理 1, 命题 1, 习题 27, § 9

(a) 存在 ρ′\rho' 到 gg 的有限维扩张 ρ\rho，其最大的幂零理想包含 ρ′\rho'。

(b) 如果ad⁡gx\operatorname{ad}_gx的所有x∈hx \in h限制到g′g'都是幂零的，则可以选择ρ\rho使得ρ\rho包含于hh的最大的幂零理想。

令 U′U' 为 g′g' 的包络代数。假设 U′U' 和 U′∗{U'}^* 具有在此编号开头定义的 gg 模块结构。

U′∗Let I⊂U′ be the kernel of ρ′ (identified with a representation of U′). It is a two-sided ideal of U′ of finite codimension. The subspace C(ρ′) of U′∗ (cf. no. 1) is orthogonal to I. Let S be the sub-g-module of U′∗ generated by C(ρ′).C(ρ′) \begin{array}{ll} {U'}^* & \text{Let } I \subset U' \text{ be the kernel of } \rho' \text{ (identified with a representation of } U'). \text{ It is a two-sided ideal of } U' \text{ of finite codimension. The subspace } C(\rho') \text{ of } {U'}^* \text{ (cf. no. 1) is orthogonal to } I. \text{ Let } S \text{ be the sub-} g \text{-module of } {U'}^* \text{ generated by } C(\rho'). \\ C(\rho') \end{array}

现在我们证明 SS 是 KK 上的有限维。令V′V'为ρ′\rho'运行的空间，以及V′=V0′⊃V1′⊃⋯⊃Vd′={0}V' = V'_0 \supset V'_1 \supset \cdots \supset V'_d = \{0\}为g′g'模块V′V'的Jordan-Hölder级数。令 ρi′\rho'_i 为从ρ′\rho' (1≤i≤d1 \leq i \leq d) 导出的Vi−1′/Vi′V'_{i-1}/V'_i 上g′g' 的表示。令I′⊂U′I' \subset U'为ρi′\rho'_i的核的交（用U′U'的表示来识别）。然后

I′d⊂I⊂I′ {I'}^d \subset I \subset I'

且I′∩g′I' \cap g'是ρ′\rho'的最大的幂零理想。根据§ 2, no. 6，命题 6 的推论，I′d{I'}^d 是U′U' 中的有限余维。如果将U′U'映射g′g'的x∈hx \in h、推导u↦xu−uxu \mapsto xu - ux转化为[h,g′]⊂I′[h, g'] \subset I'，则将U′U'转化为I′I'，从而将I′d{I'}^d转化为I′d{I'}^d。另一方面，显然I′d{I'}^d是U′U'的子g′g'模块。因此I′d{I'}^d是U′U'的子gg模块。 U′∗{U'}^*中I′d{I'}^d的正交是一个有限维子gg模，其中包含C(ρ′)C(\rho')，因此SS。这表明 SS 是 KK 上的有限维。 For x∈I′∩g′x \in I' \cap g', xdx^d is obviously contained in 湮没子 of the gg-module U′/I′dU'/{I'}^d and hence also in 湮没子 of the gg-module SS.

我们在no. 1中看到g′g'模块V′V'同构于乘积(C(ρ′))n(C(\rho'))^n的子g′g'模块。因此，gg-模块SnS^n提供了ρ′\rho'到gg的有限维扩张ρ\rho。此外，ρ(x)\rho(x)对于x∈I′∩g′x \in I' \cap g'是幂零的； as I′∩g′I' \cap g' is an ideal of gg (for it 包含于 [h,g′][h, g'] by 假设), we see that I′∩g′I' \cap g' is contained in 最大的 nilpotency ideal of ρ\rho.从而(a)得证。

最后假设对于adψx\mathrm{ad}_{\psi}x的所有x∈hx \in h限制到g′g'都是幂零的。由于hh的元素通过推导对U′U'进行操作，因此对于所有u∈U′u \in U'和所有x∈hx \in h整数ee，存在(xU′)e.u=0(x_{U'})^e.u = 0；因此，从xU′x_{U'}在U′/I′dU'/{I'}^d和SS（有限维空间）上派生的自同态是幂零的。因此ρ(x)\rho(x)对于所有x∈hx \in h来说是幂幂的。我们之前已经看到，对于 x∈I′∩g′x \in I' \cap g' 也是如此。由于I′∩g′I' \cap g'是g′g'包含于[h,g′][h, g']的理想，和h+(I′∩g′)h + (I' \cap g')也是gg的理想。 定理 1 的断言 (b) 然后由以下引理得出：

引理 1 0A1H

令g=g′+hg = g' + h为李代数，即理想的g′g'和子代数hh的和。令 σ\sigma 为 gg 的有限维表示。假设σ(x)\sigma(x)对于所有x∈g′x \in g'和所有x∈hx \in h都是幂零的。那么σ(x)\sigma(x)对于所有x∈gx \in g来说是幂幂的。

引用了 3

引用了 推论 6, I § 5, 习题 4, § 7, 定理 1（扎森豪斯）

经过除以核与 σ\sigma 的商，σ\sigma 可以被认为是忠实的。那么g′g'和hh是幂零的，因此gg是可解的，它是hh除以g′g'的商的扩张。那么hh和g′g'包含在σ\sigma的最大的幂零理想中（§ 5, no. 3，推论6到定理1）。

改善定理 1、cf. 习题 4。

3. 阿多的定理

命题 1 0A1I

设gg为李代数，nn其最大的幂零理想，aagg和ρ\rho有限维表示为aa，使得每元素 ρ(a)\rho(a) 幂零。然后ρ\rho承认有限维扩张σ\sigma到gg，使得σ(n)\sigma(n)的每个元素都是幂零的。

引用了 4 · 被以下引用 1

引用了 命题 1, I § 4, 定理 1（扎森豪斯）, 命题 2, I § 5, 定理 5（列维-马尔切夫）, I § 6

被以下引用 定理 3（废话）

令 a=n0⊂n1⊂⋯⊂np=na = n_0 \subset n_1 \subset \cdots \subset n_p = n 为 nn 的子代数的序列，使得 ni−1n_{i-1} 是 1≤i≤p1 \leq i \leq p 余维 1 的 nin_i 的理想 (§ 4, no. 1, 命题 1 (e))。因此，代数nin_i是ni−1n_{i-1}的直和和一维子代数。由于adnx\mathrm{ad}_{n}x对于所有x∈nx \in n都是幂零的，因此可以（定理 1）一一找到ρ\rho到n1,n2,…,np=nn_1, n_2, \ldots, n_p = n的有限维扩张ρ1,ρ2,…,ρp=ρ′\rho_1, \rho_2, \ldots, \rho_p = \rho'，使得ρ′(n)\rho'(n)的每个元素都是幂零的。

令rr为gg的根式，并令n=r0⊂r1⊂⋯⊂rq=rn = r_0 \subset r_1 \subset \cdots \subset r_q = r为rr的子代数的序列，使得ri−1r_{i-1}是1≤i≤q1 \leq i \leq q的余维1的rir_i的理想（§ 5, no. 1， 命题 2 (d))。因此，代数rir_i是ri−1r_{i-1}的直和和一维子代数。作为[r,r]⊂n[r, r] \subset n，可以（定理 1）一一找到ρ′\rho'到r1,r2,…,rq=rr_1, r_2, \ldots, r_q = r的有限维扩张ρ1′,ρ2′,…,ρq′=ρ′′\rho'_1, \rho'_2, \ldots, \rho'_q = \rho''，使得ρ′′(n)\rho''(n)的每个元素都是幂零的。

最后gg是rr和子代数ss的直和（§ 6, no. 8，定理5）。作为[s,r]⊂n[s, r] \subset n，可以（定理 1）找到ρ′′\rho''到gg的有限维扩张σ\sigma，使得σ(n)\sigma(n)的每个元素都是幂零的。

定理 2 0A1J

每个李代数都有一个有限维忠实的线性表示。

被以下引用 2

被以下引用 推论, III § 6, 定理 3, III § 6

更准确地说：

定理 3（废话） 0A1K

设gg为李代数，nn其最大的幂零理想。存在 gg 的有限维忠实表示 φ\varphi，使得 φ(n)\varphi(n) 的每个元素都是幂零的。

引用了 1

引用了 命题 1

一维李代数 KK 承认有限维忠实表示 τ\tau，使得 τ(K)\tau(K) 的每个元素都是幂零的，对于例表示

λ↦(00λ0). \lambda \mapsto \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ \lambda & 0 \end{pmatrix}.

很容易推断出，gg的中心cc，即一维代数的乘积，承认有限维忠实的表示σ\sigma，使得σ(c)\sigma(c)的每个元素都是幂零的。令σ1\sigma_1为σ\sigma到gg的有限维扩张，使得σ1(n)\sigma_1(n)的每个元素都是幂零的（命题1）；如果kk表示σ1\sigma_1的核，则k∩c={0}k \cap c = \{0\}。另一方面，令σ2\sigma_2为gg的伴随表示，其核为cc； σ2(n)\sigma_2(n) 中的每一个元素都是幂零的。 σ1\sigma_1和σ2\sigma_2的直和ρ\rho是有限维的； ρ(n)\rho(n) 中的每一个元素都是幂零的； ρ\rho的核包含在kk和cc中，是零，所以ρ\rho是忠实的。

习题

§ 7 的约定仍然有效，除非另有提及。

参见习题为 § 7。

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。