习题 4, § 7

令$g$为李代数，$a$为$g$的次不变量子代数，$r(a)$为$a$的根式，$\rho$有限维表示为$a$的根式。 为了让$\rho$承认有限维扩张到$g$，$\mathscr{D}g \cap r(a)$包含在$\rho$的最大的幂零理想中是充分必要的。 （对于充分性，进行如下操作；令 $g = g_0 \supset g_1 \supset \cdots \supset g_k = a$ 为 $g$ 的分解级数，具有 § 6 的习题 11 (b) 的性质。 由归纳证明$\rho$到$g_i$的扩张$\rho_i$的存在性，其最大的幂零理想包含$\mathscr{D}g \cap r(g_i)$。 In the notation of Exercise 11 (b) of § 6, the passage from $\rho_{i+1}$ to $\rho_i$ follows from Theorem 1 when $h_i$ is simple, or when $h_i$ is 1-dimensional and

When $\mathscr{D}g \cap r(g_{i+1}) \neq \mathscr{D}g \cap r(g_i)$, it can be assumed that $h_i \subset \mathscr{D}g \cap r(g_i)$. 然后可以应用$r(g_i) = r(g) \cap g_i$（$§ 5$，习题10）和定理1。）