Bài tập 4, § 7

Cho $g$ là một đại số Lie, $a$ là một đại số con dưới bất biến của $g$, $r(a)$ là căn của $a$ và $\rho$ là một biểu diễn hữu hạn chiều của $a$. Để $\rho$ có một mở rộng hữu hạn chiều lên $g$, điều kiện cần và đủ là $\mathscr{D}g \cap r(a)$ được chứa trong iđêan lũy linh lớn nhất của $\rho$. (Để chứng minh tính đủ, tiến hành như sau; cho $g = g_0 \supset g_1 \supset \cdots \supset g_k = a$ là một chuỗi phân tích của $g$ với các tính chất của Bài tập 11 (b) của § 6. Chứng minh bằng quy nạp sự tồn tại của một mở rộng $\rho_i$ của $\rho$ lên $g_i$, mà iđêan lũy linh lớn nhất của nó chứa $\mathscr{D}g \cap r(g_i)$. Theo ký hiệu của Bài tập 11 (b) của § 6, sự chuyển từ $\rho_{i+1}$ sang $\rho_i$ suy ra từ Định lý 1 khi $h_i$ là đơn, hoặc khi $h_i$ là 1-chiều và

Khi $\mathscr{D}g \cap r(g_{i+1}) \neq \mathscr{D}g \cap r(g_i)$, có thể giả sử rằng $h_i \subset \mathscr{D}g \cap r(g_i)$. Khi đó $r(g_i) = r(g) \cap g_i$ ($§ 5$, Bài tập 10) và Định lý 1 có thể được áp dụng.)